【数学】2019届一轮复习苏教版排列组合、概率期望学案

【数学】2019届一轮复习苏教版排列组合、概率期望学案

‎ 讲练测之核心热点 【江苏版】‎ 热点二十六 排列组合、概率期望 ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ 例1 【2012江苏高考】设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ ‎ 例2 【2014江苏高考】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.‎ ‎（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；‎ ‎（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意；‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。而排列组合成了古典概型计算的基础，二项式定理成了二项概型的基础.‎ ‎2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.‎ ‎3. 预计16年考查随机变量分布与期望的可能性较大.‎ ‎【最新考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 计数原理 加法原理与乘法原理 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 排列与组合　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二项式定理　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 概率统计　　‎ 离散型随机变量及其分布列　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 超几何分布　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 次独立重复试验的模型及二项分布　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎√‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,各事件概率之和为1.‎ ‎2.求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 ‎3.若随机变量服从二项分布,则对应的事件是两两独立重复的,概率为事件成功的概率.‎ ‎4.求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若,则 ‎5.区别超几何分布. 若,则 ‎【应试技巧点拨】‎ 利用离散型随机变量的均值与方差的定义,也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差,但计算较繁.因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键.判断方法有两个,一是从字面上理解是否符合独立重复条件,二是通过计算,归纳其概率规律是否满足二项分布.‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1.目标要求：一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差 ‎2.注意问题：注意事件中所包含关键词,如至少,至多,恰好,都是,不都是,都不是等的含义.‎ ‎3.经验分享：分类讨论要保证不重不漏,且相互互斥.灵活运用排列组合相应方法进行计数.等可能性是正确解题的关键,在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性.‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，由若干个小正方形组成的 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第 层有 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为.‎ ‎ （1）当 =4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？‎ ‎ （2）当 =11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？ ‎ ‎（第23题图）‎ ‎【答案】（1）8（2）640‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题方法为逆推：设第4层标注数字依次为，则第3层标注数字依次为 ‎，第2层标注数字依次为，所以第1层标注数字=为2的倍数，即是2的倍数，共有1++1=8种标注方法.（2）同样设第11层标注数字依次为，则第10层标注数字依次为 ‎，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=是3的倍数，即只要是3的倍数. 共有（1+）=640种标注方法.‎ ‎ （2）当 =11时，第11层标注数字依次为，第10层标注数字依次为 ‎，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=. …………………………6分 因为均为3的倍数，所以只要是3的倍数，即只要是3的倍数. ………………8分 所以四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+）=640种标注方法. …………………………10分 ‎2．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设f(n)＝(a＋b)n（n∈N*，n≥2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P．‎ ‎（1）求证：f(7)具有性质P；‎ ‎（2）若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）1934．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用等差数列性质列等量关系：观察可得当n=7, ‎ ‎=1时满足（2）化简为一个方程：4 2－4n ＋(n2－n－2)＝0，解这个不定方程的正整数解的关键是配方：(2 －n)2＝n＋2，所以n＋2为完全平方数．又n≤2016，所以n的最大值为442－2＝1934，此时 ＝989或945．‎ 试题解析：解：（1）f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为 ‎＝7，＝21，＝35，‎ 因为＋＝2，即，，成等差数列，‎ 所以f(7)具有性质P． ‎ 考点：组合数性质，不定方程的正整数解 ‎3．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分）‎ ‎ 一位 民在 上光顾某 店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向.已知该 民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为.假设该 民是否购买这三种商品相互独立.‎ ‎（1）求该 民至少购买2种商品的概率；‎ ‎（2）用随机变量表示该 民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）至少购买2种商品包括恰好购买2种商品及恰好购买3种商品，其中恰好购买3种商品包含一种情形，而恰好购买2种商品包含3中情形，所求概率为这四种情形概率的和：（2）先确定随机变量可能取值为,再分别求对应概率，（1）中已求出，，只需再求，，注意概率和为1，最后利用数学期望公式求数学期望 试题解析：解：（1）记“该 民购买i种商品”为事件，则：,‎ ‎, ………………………3分 ‎ iyuan u 所以该 民至少购买2种商品的概率为 . ‎ ‎ 答：该 民至少购买2种商品的概率为. …………………………5分 ‎4. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.‎ ‎（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金元的概率；‎ ‎（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）正确理解题意是解决概率问题的关键：参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元是指“参与者在乙箱中摸到红球，且在甲箱中摸到黑球”，因此所求概率为（2）参与者摸球的顺序有两种，需分别讨论：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取，求出对应概率，算出数学期望值；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取，同样求出对应概率，算出数学期望值；比较两个数学期望值的大小，作出判断.‎ ‎②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取 则 ‎ …………8分 ‎ ‎ 当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；‎ 当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；‎ 当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．‎ 答：当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． …………10分 ‎ ‎4. 【盐城2015三模】‎ ‎．‎ ‎（1）若数列的各项均为1，求证：；‎ ‎（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由二项式定理得，令，即可得，所以得证；‎ ‎（2）使用数学归纳法即可证明．‎ 试题解析：（1）因数列满足各项为1，即，‎ 由，令，‎ 则，即．‎ ‎（2）当时，，即，所以数列的前3项成等差数列．‎ 假设当时，由，可得数列的前项成等差数列， ‎ 因对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，所以成立，‎ 所以，‎ 两式相减得，‎ ‎，‎ 因，‎ 所以，‎ 即，‎ 由假设可知也成等差数列，从而数列的前项成等差数列．‎ 综上所述，若对任意恒成立，则数列是等差数列．‎ ‎5．【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】(本小题满分10分)‎ ‎ 某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文 学，4门为自然 学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.‎ ‎ (1)求某同学至少选修1门自然 学课程的概率;‎ ‎ (2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文 学，2门自然 学，若该同学通过人文 学课程的概率都是，自然 学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布列和数学期望。‎ ‎【答案】(1) ，(2) 的分布列为 试题解析：(1) 记“某同学至少选修1门自然 学课程”为事件A，‎ 则，………………………………………………………2分 所以该同学至少选修1门自然 学课程的概率为.……………………………3分 ‎(2)随机变量的所有可能取值有．……………………………………………4分 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，……………………………………………………………8分 所以的分布列为 所以.………………………………10分 ‎6．【扬州2015一模】射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。‎ ‎（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分的分布列和数学期望E；‎ ‎（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。‎ ‎【答案】（1）的分布列为：‎ 资*源 库 iyuan u ‎ ‎（2）选择方案2通过测试的概率更大．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）命中甲靶则结束，若甲靶不中，则乙靶必须射击两次，共有5种射击情况，4种得分情况，即，依次列出概率，再根据数学期望定义求数学期望，（2）实质比较两个方案概率大小：方案1通过测试的情况为：甲中，甲不中乙中两次；方案2通过测试的情况为：乙前两次中，乙前两次仅中一次第三次中.‎ ‎ iyuan u 的分布列为：‎ ‎， ……7分 ‎⑵射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 ,‎ ‎；‎ ‎, ……9分 因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分 ‎7．【泰州2015一模】(本小题满分10分) ‎ 记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足 的二元数组中的，其中，每一个（0,1,2,…,）都等可能出现．求．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：关键解组合不等式，由于，所以先具体探究，再分类说明。随机变量可以取0,1,2,…,10，当时，满足的共9个；当时，满足的共9个；当时，满足的共9个；当时，满足的共3个；当时，满足的共3个；依次验证得 ‎０‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ ‎６‎ ‎７‎ ‎８‎ ‎９‎ ‎１０‎ 试题解析：∵ ，‎ 当时，‎ ‎，，，，‎ ‎∴当时，的解为．　　………………3分 当， ，‎ 由可知：‎ 当时，成立，‎ 当时，（等号不同时成立），即．……………6分 ‎０‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ ‎６‎ ‎７‎ ‎８‎ ‎９‎ ‎１０‎ ‎…………………………………………8分 ‎∴．…………………10分 ‎8．【苏州2015一模】（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10 ，可能损失10 ，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果投资乙项目，一年后可能获利20 ，可能损失20 ，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.‎ ‎（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）.‎ ‎（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）投资收益能获利10 ，可能损失10 ，可能为零，概率分别为，根据数学期望定义可得（2）先求10万元资金投资乙项目的平均收益，即数学期望，再根据不低于投资甲项目的平均收益列不等关系，得α的取值范围 ‎9．【常州2015一模】(本小题满分10分)‎ 一位 民在 上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 五种商品有购买意向.已知该 民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该 民是否购买这五种商品相互独立.‎ ‎（1）求该 民至少购买4种商品的概率；‎ ‎（2）用随机变量表示该 民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）随机变量的概率分布为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎.‎ 试题解析：（1）记“该 民购买i种商品”为事件，则：,‎ ‎ ,……………2分 ‎ 所以该 民至少购买4种商品的概率为 .‎ ‎ 答：该 民至少购买4种商品的概率为. ………………………3分 ‎（2）随机变量的可能取值为，‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎. ………………………8分 所以：随机变量的概率分布为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故.………………………10分 ‎10.电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．‎ ‎（1）求跳三步跳到的概率；‎ ‎（2）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布及数学期望．‎ ‎【答案】将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为.‎ ‎（1）P＝P（0123）＝1＝； ………4′‎ ‎（2）X＝0,1，2. P（X＝1）＝P（010123）＋P（012123）＋P（012321）‎ ‎＝11＋1＋11‎ ‎＝，P（X＝2）＝P（012323）＝11＝ ，‎ P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝‎ 或P（X＝0）＝P（010101）＋P（010121）＋P（012101）＋P（012121）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ‎＝111＋11＋11＋1＝，‎ ‎ E（X）＝1＋2＝.…………10′‎ ‎11．某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．‎ ‎ (1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；‎ ‎ (2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1.袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.‎ ‎（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；‎ ‎（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E.‎ ‎【解析】（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为 ………2分 从8个球中摸出2个小球的种数为 ………………3分 故所求概率为 ………………………………6分 ‎2. 小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.‎ ‎（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ ‎（Ⅱ）写出数量积X的所有可能取值，并求X分布列与数学期望 ‎【解析】（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种。 ‎ 而对取出两个向量的数量积进行计算，得到的所有可能取值为； ‎ 求小波去下棋的概率，这显然是古典概型，只需找出总的事件数有种，因为就去下棋，只需在下表计算结果中，找出小于零的次数为， ‎ 有古典概型的概率求法知：小波去下棋的概率为 ， ‎ 小波不去唱歌的概率，它的对立事件为，去唱歌，而就去唱歌，‎ 在下表中，共有四次，故去唱歌的概率为,‎ 由对立事件的概率求法知：小波不去唱歌的概率． ‎ ‎１‎ ‎０‎ ‎０‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎１‎ ‎－１‎ ‎－２‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎０‎ ‎１‎ ‎０‎ ‎１‎ ‎（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，故所有可能的情况共有15种. 所以其概率分别为，,． ‎ 故其分布列为:‎ X ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 故 EX=. ‎ ‎3.其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查.‎ ‎（I）求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数；‎ ‎（II）若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X) .‎ ‎【解析】（1）抽取大型超市个数：（个）‎ 抽取中型超市个数：（个）‎ 抽取小型超市个数：（个） ‎ ‎（2） ; ‎ ‎; ‎ 分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所以 ‎ ‎4.为了参加2013年东亚运动会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员 如下表：‎ 对别 北京 上海 天津 广州 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（1）从这18名对员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；‎ ‎（2）比赛结束后，若要求选出两名队员代表发言，设其中来自北京的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望.‎ ‎【解析】（1）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件，‎ 则. ‎ ‎（2）的所有可能取值为0，1，2. ‎ ‎ ∵，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎∴. ‎ ‎5.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，‎ ‎，，，，．‎ ‎（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ ‎【解析】（1）六个函数中是奇函数的有，，，‎ 由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数． ‎ 记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，‎ 由题意知；‎ ‎（2）可取1,2,3,4 ，, ‎ ‎, ， ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 答：的数学期望为.‎ ‎6.在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. ‎ ‎（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？； ‎ ‎（2）从盒子里任取3枝，设为取出的3枝里一等品的枝数，求的分布列及数学期望. ‎ ‎【解析】（1），‎ ‎（2），‎ ‎， ，，‎ ‎. ‎ 所以的分布列是：‎ ‎ ‎ ‎. ‎