河北省承德市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

河北省承德市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

承德一中2019-2020学年度第一学期第三次模拟考试 高三文科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式不等式的解法得到集合B，再由集合的交集运算得到结果.‎ ‎【详解】集合，集合，‎ 根据集合的交集运算得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以应选答案A。‎ ‎3.命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ）‎ A. 若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数 B. 若两个整数，不都是奇数，则不是偶数 C. 若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数 D. 若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义，先否定原命题的条件做结论，再否定原命题的结论做条件，就得到原命题的逆否命题．‎ ‎【详解】解：由逆否命题定义可知：‎ 命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化，属基础题．‎ ‎4.函数与图像的交点个数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数与的图象的交点个数即函数的零点的个数．‎ 显然，和是函数的两个零点．‎ 再由，，‎ 可得，‎ 故函数在区间上有一个零点．‎ 故函数与的图象的交点个数为．‎ 故选．‎ 点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 ‎5.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．‎ ‎【详解】解：要使函数有意义，‎ 有：，解得，‎ 所以函数的定义域为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．‎ ‎6.函数的单调递增区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，‎ 令t=，则y=lnt，‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数；‎ y=lnt为增函数，‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，‎ 故选：D.‎ 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；‎ 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎7.已知，为单位向量，设与的夹角为，则与的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，，，∴，故选B．‎ ‎8.设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线（）,过直线与直线的交点时,目标函数（）取得最大12,即,即,而。‎ ‎9.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（　　）‎ ‎ ‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．‎ 考点：程序框图、茎叶图．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．‎ ‎10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为(　　)‎ A. 3 B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合求出各棱的长，可得答案．‎ ‎【详解】由三视图可得几何体的直观图如图所示：‎ 有：面，，‎ 中，，边上的高为2，‎ ‎。‎ 该三棱锥最长的棱的棱长为.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图，根据已知画出满足条件的直观图是解答的关键，属于中档题．‎ ‎11.已知函数恰有两个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得的取值范围．‎ ‎【详解】函数 ‎ 由于函数的两个极值点为，‎ 即，是方程的两个不等实根 即方程有两个不等式实根，且，‎ 设，‎ 在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；‎ 要使这两个函数有个不同的交点，应满足如图所示的位置关系 临界状态为图中虚线所示切线 恒过，设与曲线切于点 则 ‎ 若有个不同的交点，则 解得：‎ 所以的取值范围是 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求得临界值．‎ ‎12.正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为 A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积。‎ ‎【详解】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心 因为底面边长AB=3，所以 ‎ 当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图 此时有 ，即 可解得h=3‎ 因而棱柱的体积 ‎ 当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图 ‎ ‎ 有，即 可解得h=1‎ 所以 综上，棱锥的体积为或 所以选B ‎【点睛】本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点,=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得，，代值计算即可。‎ ‎【详解】由题可得，‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算，属于基础题。‎ ‎14.在中，角,,的对边分别为，，.已知，，,则角的大小为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，求出sinB，进而求出B的大小.‎ ‎【详解】∵，，,‎ 由正弦定理,可得，‎ 可得，又，所以或,‎ 故答案为或.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的直接应用，属于简单题.‎ ‎15.已知数列为 ；其前n项和为_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数列的通项化简，将其裂项，利用裂项求和法求出前项和。‎ ‎【详解】，设该数列的前项和为，‎ 因此，，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查数列的裂项求和法，要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求，同时要注意裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎16.奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，‎ 则，‎ 由条件得当时，，‎ ‎∴函数上单调递减．‎ 又函数为偶函数，‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎①当时，，不等式可化为，‎ ‎∴；‎ ‎②当时，，，不等式可化为，‎ ‎∴．‎ 综上可得不等式的解集为．‎ 答案：‎ 点睛：对于给出含有导函数的不等式来解不等式或比较大小的问题，往往采用构造新函数的方法，然后判断出新函数的单调性，再结合单调性进行解题．在构造新函数时，要注意观察所给的不等式的特征，根据乘积、商的导数的求导法则进行构造，并根据条件中所给出的不等式判断出所构造的函数的单调性．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前项的和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）基本量法，即用表示已知条件，列出关于的方程组，解出，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）由，得，用错位相减法求数列的前项和即可.‎ 试题解析： （Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意知：，，‎ 可得……（2分）‎ 解得（4分）‎ 所以．…………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以．…………（6分）‎ ‎①……（7分）‎ ‎②……（8分）‎ ‎①②，得：‎ ‎（9分）‎ 故：………（10分）‎ 即．…………（12分）‎ 考点：1.等差数列的定义与性质；2.错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、错位相减法求和，属中档题；数列前项和常用的方法有六种：(1)公式法；（2）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；‎ ‎（3）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（4）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（5）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．（6）倒序相加法.‎ ‎18.已知中，角,,所对的边分别为，且 ‎（1）求角的大小：‎ ‎（2）若，的外接圆半径,为边上一点，且,求的内切圆半径.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由余弦定理，得，进而求出B,（2）利用正弦定理得b再求出c,利用△BCD为直角三角形即可求出内切圆的半径.‎ ‎【详解】（1）由得.‎ 故 又，‎ ‎(2)由得，‎ 由,解的，‎ 由余弦定理得 的内切圆半径.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查公式的运用，是中档题.‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的图象关于轴对称，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)最小正周期为,单调递减区间为 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用周期公式即可求得函数的最小正周期，利用复合函数单调性规律及余弦函数的单调性列不等式：，解不等式即可求得函数的单调递减区间.‎ ‎（2）利用三角函数图像变换，写出变换后的三角函数解析式为：，即可求得其对称轴方程为：，利用函数的图象关于轴对称即可列方程：，解得：，再利用即可求得的最小值，问题得解。‎ ‎【详解】（1）由题可得：，‎ 令：，整理得：‎ 解得：，‎ 所以函数的单调递减区间为：.‎ ‎（2）‎ 令：，，所以 所以的对称轴为:‎ 又函数的图象关于轴对称，所以 解得：，由可知：‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的周期公式及利用复合函数单调性规律知识求函数的单调区间，还考查了三角函数图像的平移、伸缩变换及三角函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎20.已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）当时，求函数最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；‎ ‎（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.‎ ‎【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；‎ ‎（2）由（1）可知：，‎ 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，‎ ‎，，故函数的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知．‎ ‎(I)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；‎ ‎(II)若在处取得极大值，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I） ； （II） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用导函数与原函数切线的关系可得关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.‎ ‎(Ⅱ)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定实数a的取值范围.‎ ‎【详解】(I)因为,的定义域为，‎ 所以，‎ 由题设知，即解得．‎ 此时，所以的值为． ‎ ‎（II）由(I)得.‎ ‎① 若，则当时，所以；‎ 当时，所以．‎ 所以在处取得极大值.‎ ‎② 若，则当时，，，所以．‎ 所以不是f (x)极大值点．‎ 综上可知，a的取值范围是（，+∞）．‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 选做题：本小题满分10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及的普通方程；‎ ‎（2）已知点，直线的参数方程为（为参数），设直线与曲线 相交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程；曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程． （2）将直线的参数方程代入，得，利用韦达定理，能求出的值．‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 所以直角坐标方程，‎ 因为，‎ 所以的普通方程为 ‎（2）由题知点在直线上 将直线的参数方程代入得，‎ 设两点对应的参数为 则 所以 ‎【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程、普通方程的求法，考查两线段的倒数和的求法，充分利用根与系数的关系解题，是中档题 ‎23.选修4—5；不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由带入后，利用零点分区间讨论法解绝对值不等式；由于，则，，因此和可以去掉绝对值符号，化为，对和分情况进行讨论解决.‎ ‎（Ⅰ）原问题等价于 若，则，解得；‎ 若，则，不符合题意，舍；‎ 若，则，解得；‎ 不等式的解集为 ‎ ‎（Ⅱ） 对恒成立 时， ‎ 时， ‎ 综上： ‎