【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程作业

【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程作业

‎2020届一轮复习人教A版 极坐标与参数方程 作业 ‎1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；‎ 当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.‎ 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以x2＋y2＝2x，‎ 即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.‎ 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，‎ 所以cos α＝或cos α＝－，‎ 故直线l的倾斜角α为或.‎ ‎2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)判断两曲线C和C′的位置关系；‎ ‎(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，‎ 由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.‎ 曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；‎ 曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．‎ 因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．‎ ‎(2)由(1)建立方程组 解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，‎ 即3x－4y－50＝0，‎ 所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.‎ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，＜α＜)．‎ ‎4.（2016新课标2理数23）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. ‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。‎ 解：（I）展开得： ‎ 所以 ‎ 所以C的极坐标方程：‎ ‎（II）将代入到得： ‎ 设 则 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以的斜率为 ‎5．（2017新课标2理数22）[选修4―4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）设点B的极坐标为，由题设知，于是的面积 当时，S取得最大值，所以面积的最大值为．‎ ‎【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值 ‎6. （2017新课标2理数22） [选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．‎ 详解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎