【数学】湖北省孝感市重点高中联考协作体2019-2020学年高一下学期联合考试试题（解析版）

【数学】湖北省孝感市重点高中联考协作体2019-2020学年高一下学期联合考试试题（解析版）

湖北省孝感市重点高中联考协作体2019-2020学年 高一下学期联合考试试题 考试时间：‎2020年6月2日上午 试卷满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.已知非零实数满足，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.已知等差数列中，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.若，且，则向量与的夹角为 ( ) ‎ ‎ ‎ ‎5.不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.已知，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎7.已知直线和直线平行，则的值为（ ）‎ ‎ 或 或 8． ‎“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩 余定理”。现有如下一个整除问题：将1至2020中能被6除余2且被9除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为（　　）‎ ‎ ‎ ‎9.中，，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，市教育局发布了《孝感市关于疫情防控期间组织学生开展在线教学的实施方案》，根据要求，全市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑。某高一学生家长于3月份在某购物平台采用分期付款的形式购买了一个价值元的平板电脑给其进行网上学习。该分期付款为12个月，从下个月即4月开始偿还，分12次等额还清。若购物平台按月利息为p的复利计息（复利：即将一月后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该家长每月的偿还金额是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11.在中,,则（ ）‎ ‎ ‎ 12. 已知数列满足，且，设数列，若为递增数列，‎ 则取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.‎ ‎13.若则 ‎ ‎14.已知，且，则的最小值为 ‎ ‎15.两条平行直线与之间的距离为 ‎ ‎16.已知一个三角形的三边长是三个连续的整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形中最小角的正弦值为 ‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17.（本小题满分10分）‎ 已知的三边所在直线方程分别为 （1） 求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程;‎ （2） 求边上的中线所在直线方程.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 的内角的对应边分别为若.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若，且的面积为，求的周长.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知为等比数列的前项和，满足，且；等差数列的前三项和为12，前三项积为28‎ （1） 求数列，的通项公式;‎ ‎（2）若数列为递增数列，记，求数列的前n项和.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知向量，‎ （1） 求的最小正周期和对称中心;‎ ‎（2）若其中求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示， ‎ 为地路面，为消毒设备的高，为喷杆，,处是 喷洒消毒水的喷头，且喷射角已知.‎ ‎ （1）当重合时，求消毒水喷洒在路面宽度的长;‎ ‎ （2）求消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值.‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D C D D C A B A B A A ‎1.【答案】D ‎【解析】已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底.而选项A、B、C中的向量都共线，选项D中的向量不共线，可作为基底.故选D.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】对于A：当时，则故错误.对于B:当时，则 故错误. 对于C:当时，则. 故错误. 对于D:而则.故选D.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】由等差数列性质可得：，则；.故选C.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】，可得则故选D. ‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】当时，恒成立，则.当时，则有 ‎ 解得.综上:.故选D.‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ .故选.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】当时，此时两直线相交，不平行；‎ 当时，若两直线相交，则需满足，‎ 由可得或1由可得，综上可得.故选A.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】由能被6除余2且被9除余2的数就是能被18除余2的数，可得 所以，所以.故选B.‎ ‎9.【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ 且角为三角形内角 ‎， ‎ 即 ‎10. 【答案】B ‎【解析】设每月偿还的金额都是元，则 根据题意有：‎ ‎.则故选B.‎ ‎11. 【答案】A ‎【解析】记分別为角的对边，根据题意，显然有故由整理得即 而故因此故选A.‎ ‎【方法二】设则 ‎ ‎ ‎ 故选A ‎12. 【答案】A ‎【解析】由可得：‎ ‎ 则 当时，符合上式，即 数列可以看做自变量只取正整数的二次函数，该函数图像开口向上，对称轴为直线，要使为递增数列，则，即，故A.‎ ‎【方法二】为递增数列，可以得到,即 ‎,得,而,故选A.‎ ‎13. 【答案】‎ ‎14. 【答案】6‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时等号成立，故最小值为6‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【解析】两直线平行， ，将直线方程化为：.则两直线距离：.‎ ‎16. 【答案】‎ ‎【解析】由题意，设三角形的三边长分别为，三个角依次为 由正弦定理可得：，即，.‎ 再由余弦定理可得： ，化简可得：,解得：或（舍去）.‎ 故有 ‎17. 【解析】由 ，可得点坐标为 ‎ 同理可得：点坐标为点坐标为…………………………………3分 ‎ (1)当直线经过原点时，设直线方程为，则 ‎ 直线方程为 ………………………………………………………………5分 当直线不经过原点时，设直线方程为，将点代入得 直线方程为.‎ ‎ 综上：直线方程为或………………………………………7分 ‎(2)由点点，可得线段的中点坐标为…………………8分 而点C坐标为故边上的中线所在直线的方程是，‎ 即所在直线的方程为.……………………………………10分 ‎18. 【解析】 (1)‎ 由正弦定理可得：‎ ‎.‎ ‎………………………………………………………………6分 ‎ (2)△ABC的面积为，…………8分 又，……10分 ‎ 故，即△ABC的周长为…………………………12分 ‎19. 【解析】 (1)设等比数列的公比为， 等差数列的公差为，‎ ‎ 由可得，则；………………………2分 ‎ ， 故.……………………………………………………3分 ‎ 由可得；‎ ‎ 由可得，即，‎ 则.……………………………………………………………………4分 ‎ 当时，，故；‎ ‎ 当时，，故.……………………………………………6分 ‎(2)等差数列为递增数列，，则.‎ 由，可得…………………………8分 ‎ ①…………9分 ‎ ②…………10分 ‎ ‎ 由①－②得：‎ 故.……………………………………………………………………12分 ‎20.【解析】(1)依题意得：……2分 ‎ ‎ 则 ，最小正周期为 …………………………………………3分 ‎ ‎ 对称中心横坐标满足： ，可得，………..5分 故对称中心为，…………………………………………………6分 ‎(2)由可得，则…………………………………7分 ‎， ‎ 而在上单调递增，取值范围为；‎ 在上单调递减，取值范围为.‎ ‎,.则………………………………10分 ‎……………12分 ‎ 21.【解析】(1)由可得，‎ ‎ 则……………………………………… 3分 ‎ 可得 而，‎ ‎ 故，.……………………………………………………………………6分 ‎ (2) ……………………8分 ‎ =‎ ‎ =……………………………………………………………10分 ‎ 而 故………………………………………11分 ‎………………………………………………………………………12分 22. ‎【解析】 ‎ ‎(1)依题意得 ‎ ‎ ， ，‎ ‎…………………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎==…………4分 ‎ 故在中，利用正弦定理：‎ ‎ …………………………………………6分 ‎ (2)在中作边上的高，长度为.‎ ‎ ‎ ‎ 则 …………… ………………… ………………………9分 ‎ 从而利用余弦定理：‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，等式成立.故，而 ‎ 则，的最小值为………………… ……………………12分 ‎ 方法二：(2)在中作边上的高，长度为,设,则 时，取到等号. 故的最小值为.‎