2013重庆卷（文）数学试题

2013重庆卷（文）数学试题

‎2013·重庆卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{1，3，4} B．{3，4} ‎ C．{3} D．{4}‎ ‎1．D　[解析] 因为A∪B＝{1，2，3} ，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.‎ ‎2． 命题“对任意x∈，都有x2≥0”的否定为(　　)‎ A．存在x0∈，使得x<0 ‎ B．对任意x∈，都有x2<0‎ C．存在x0∈，使得x≥0 ‎ D．不存在x∈，使得x2<0‎ ‎2．A　[解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x0∈，使得x<0，故选A.‎ ‎3． 函数y＝的定义域是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(2，＋∞)‎ C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)‎ ‎3．C　[解析] 由题可知所以x＞2且x≠3，故选C.‎ ‎4．、和 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎4．B　[解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.‎ 图1－1‎ ‎5． 执行如图1－1所示的程序框图，则输出的k的值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎5．C　[解析] 第一次循环s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次循环s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次循环s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次循环s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次循环s＝15＋(5－1)2＝31，结束循环，所以输出的k的值是5，故选C.‎ ‎6． 图1－2是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为(　　)‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ 图1－2‎ A．0.2 B．0.4 ‎ C．0.5 D．0.6‎ ‎6．B　[解析] 由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为＝0.4，故选B.‎ ‎7． 关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．A　[解析] 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝(负值舍去)，故选A.‎ ‎8．和 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ 图1－3‎ A．180 B．200 C．220 D．240‎ ‎8．D　[解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.‎ ‎9．和 已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝(　　)‎ A．－5 B．－1 C．3 D．4‎ ‎9．C　[解析] 因为f(lg(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.‎ ‎10．、和 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．A　[解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足<≤，所以<≤3，<1＋≤4，即有 <≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以 0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎18．和 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．‎ ‎18．解：(1)由余弦定理得cos A＝＝＝－.‎ 又因为00，又由h>0可得r<5 ，故函数V(r)的定义域为(0，5 )．‎ ‎(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)．‎ 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 )时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 )上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ ‎21．、、、和 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．‎ 图1－5‎ ‎21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.‎ 由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.‎ 故该椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则 ‎|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8 ‎＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．‎ 设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.‎ 由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以 S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝‎ ＝.‎ 当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .‎ 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.‎