2011年数学文（湖南）高考试题

2011年数学文（湖南）高考试题

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学试题卷（文史类）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=‎ ‎ A．{1,2,3} B． {1,3,5} C． {1,4,5} D． {2,3,4}‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎2．若，为虚数单位，且则 ‎ A．， B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3．“”是“” 的 ‎ A．充分不必要条件 ‎ ‎ B．必要不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 ‎ ‎ D．既不充分又不必要条件 ‎4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 算得，‎ 附表： ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”‎ ‎6．设双曲线的渐近线方程为，则a的值为 ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎7．曲线在点M（，0）处的切线的斜路为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知函数，若有，则b的取值范围为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 ‎ ‎10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ‎ ‎（二）必做题（11～16题）‎ ‎11．若执行如图2所示的框图，输入，‎ 则输出的数等于 ‎ ‎12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，‎ 则f（2）=_________．‎ ‎13．设向量a，b满足|a|=2，b=（2，1），且a与b的 方向相反，则a的坐标为________．‎ ‎14．设在约束条件下，目标函数 的最大值为4，则的值为 ．‎ ‎15．已知圆直线 ‎ （1）圆的圆心到直线的距离为 ．‎ ‎ （2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率 为 ．‎ ‎16．给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，‎ ‎ （1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；‎ ‎ （2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC．‎ ‎ （I）求角C的大小；‎ ‎ （II）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.‎ ‎ （Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ （Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图3，在圆锥中，已知的直径 的中点．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面;‎ ‎ （Ⅱ）求直线 和平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初的价值为上年初的75%．‎ ‎ （Ⅰ）求第年初的价值的表达式；‎ ‎ （Ⅱ）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新，证明：须在第9年初对更新．‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎ （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.‎ ‎22．（本小题满分13分）‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数的单调性.‎ ‎ （Ⅱ）若有两个极值点，记过点的直线斜率为.问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1—5 BCADA 6—8 CBB 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）‎ ‎9．2 10．40或60（只填一个也正确）‎ ‎（二）必做题（11~16题）‎ ‎11． 12．6 13．（-4，-2） 14．3 15．（1）5（2）‎ ‎16．（1），（2）16‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎ （II）由（I）知于是 ‎ ‎ 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎18．（本题满分12分）‎ 解：（I）在所给数据中，降雨量为‎110毫米的有3个，为‎160毫米的有7个，为‎200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ （II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）‎ ‎ ‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 解法1：（I）因为 又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，内的两条相交直线，所以 ‎ （II）由（I）知，又 ‎ 所以平面在平面中，‎ 过作则连结，‎ 则是上的射影，‎ 所以是直线和平面所成的角．‎ 在 在 在 ‎20．（本题满分13分）‎ 解：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为 ‎ (II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，由于S6=570.故 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎21．解析：（I）设动点的坐标为，‎ 由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎ （II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎22．（本小题13分）‎ 解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 (1) 当故上单调递增．‎ (2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ (3) 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎ （II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 ‎ 再由（I）知，函数在上单调递增，而 ‎，所以 这与式矛盾．故不存在，使得