2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期12月月考数学试题(解析版)

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2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期12月月考数学试题(解析版)

‎2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1.已知全集为,集合,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】解分式不等式可得集合,再根据交集运算定义可求得.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以且,所以,‎ 所以,又因为|,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分式不等式,一元二次不等式的解法,交集的运算,属于基础题.‎ ‎2.设 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由指数函数的图象与性质可知:,‎ 由对数函数的图象与性质可知:‎ ‎∴‎ 故选:B ‎3.若,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先令得,代入原式,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 令得,代入可得:.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查由解析式求函数值,利用赋值法即可求解,属于基础题型.‎ ‎4.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有点的( )‎ A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.‎ B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.‎ C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.‎ D.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向右平移.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.‎ ‎【详解】‎ 为了得到函数的图象,先把函数图像的纵坐标不变,‎ 横坐标缩短到原来的倍到函数y=3sin2x的图象,‎ 再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y=3sin(2x+)的图象.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用,属于基础题.‎ ‎5.已知定义在上的函数满足,且当时,‎ ‎,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知,函数是周期为的周期函数,可得出,结合函数在区间上的解析式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由于定义在上的函数满足,‎ 则函数是周期为的周期函数,当时,,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的计算,涉及函数周期性的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知函数,其函数图像的一个对称中心是,则该函数的单调递增区间可以是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对称中心,结合的范围可求得,从而得到函数解析式;将所给区间代入求得的范围,与的单调区间进行对应可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 为函数的对称中心 ,‎ 解得:,‎ ‎ ‎ 当时,,此时不单调,错误;‎ 当时,,此时不单调,错误;‎ 当时,,此时不单调,错误;‎ 当时,,此时单调递增,正确 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切型函数单调区间的求解问题,涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式;关键是能够采用整体对应的方式,将正切型函数与正切函数进行对应,从而求得结果.‎ ‎7.函数的图象可能是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先判断函数的奇偶性,排除选项,再根据特殊区间时,判断选项.‎ ‎【详解】‎ 是偶函数,是奇函数,是奇函数,函数图象关于原点对称,故排除A,B ‎ ,当时,,‎ ‎,排除C.‎ 故选:D .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数解析式判断函数图象,一般从函数的定义域确定函数的位置,从函数的值域确定图象的上下位置,也可判断函数的奇偶性,排除图象,或是根据函数的单调性,特征值,以及函数值的正负,是否有极值点等函数性质判断选项.‎ ‎8.设函数满足,且对任意、都有,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令得出,再令可得出,即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 对任意、都有,且,‎ 令,得,‎ 令,可得,,‎ 因此,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用赋值法求抽象函数值,解题的关键就是利用赋值法求出函数 的解析式,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎9.已知幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据幂函数的图象与性质,求出的值,根据的定义域与单调性,再把不等式化为等价的不等式组,求出它的解集即可.‎ ‎【详解】‎ 幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,‎ 所以,解得,‎ 因为,所以或,‎ 当时,,图象关于轴对称,不满足题意; 当时,,图象关于原点对称,满足题意,‎ 不等式化为,‎ ‎,‎ 因为函数在上递减,‎ 所以,‎ 解这个不等式,得,‎ 即实数的取值范围是,故选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,是基础题目.‎ ‎10.已知函数在上是减函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得出内层函数在区间上为增函数,且当时,,从而可得出关于实数的不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由于函数在上是减函数,‎ 外层函数为减函数,‎ 则内层函数在区间上为增函数,,得,‎ 当时,有,得,因此,实数的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数的取值范围,在分析内外层函数的单调性外,还应注意真数要恒大于零,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎11.已知函数的最小正周期为,若,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得知,,结合,可得出或,从而的最小值恰为函数图象相邻对称轴之间的距离,即为最小正周期的一半,由此可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,,‎ ‎,或,‎ 所以,的最小值恰为函数图象相邻对称轴之间的距离,即为该函数最小正周期的一半,因此,的最小值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的基本性质,将问题转化为与三角函数周期相关的问题是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎12.已知是函数在上的所有零点之和,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数和函数在区间的图象,由两个函数图象都关于直线对称,利用数形结合思想可得出函数的所有零点之和的值.‎ ‎【详解】‎ 令,得.‎ 作出函数和函数在区间的图象如下图所示:‎ 可知,函数和函数的图象都关于直线对称,‎ 两个函数在区间上的图象共有个交点,共对交点关于直线对称,‎ 因此,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点之和的计算,解题的关键就是利用数形结合思想,结合图象的对称性来求计算,考查数形结合思想的应用,属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.设集合A={2,8,a},B=,且BA,则a=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据子集的定义可得, 或,解这两个方程得解后,再检验集合中元素的互异性.‎ ‎【详解】‎ 因为集合A={2,8,a},B=,且BA,‎ 所以或,‎ 当时,,解得或,经检验符合题意;‎ 当时,,解得,此时集合不满足元素的互异性,应舍去,‎ 综上,或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了子集和集合中元素的互异性,属于基础题.容易忽视集合中元素的互异性导致增解.‎ ‎14.已知,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系求出的值,然后利用弦化切的基本思想求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎,即,,‎ 因此,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及弦化切思想求值,解题时要熟悉弦化切思想所适用的基本类型,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎15.设,其中、、、,若,则等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式可得出,然后利用诱导公式可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得,‎ 因此,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式求三角函数值,解题时要得出所求代数式与已知代数式之间的等量关系,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知函数是定义在实数集上的奇函数,当时,,若集合,则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数在时的解析式表示为分段函数,并作出函数的图象,然后得知关于的不等式在上恒成立,结合图形得出关于实数的不等式,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 若集合,‎ 则关于的不等式在上恒成立,‎ 当时,.‎ 若,则当时,,‎ 函数为奇函数,若,则,.‎ 综上,,此时函数为增函数,‎ 则不等式恒成立;‎ 若,当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 如下图所示:‎ 由图象可知,若不等式恒成立,则,解得,‎ 此时.‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查带有绝对值的函数,涉及奇函数的性质,函数的图象特征,根据分段函数的性质,结合图象转化不等式恒成立问题是解题的关键,综合性较强,属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合,函数的定义域为,‎ ‎(1)当时,求,,‎ ‎(2)若求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1); ‎ ‎(2)‎ ‎【解析】(1)根据题意,由可得,再由交并补的定义可得,; (2)根据题意,分析可得,进而分2种情况讨论:当时和当时,列不等式分别求出的取值范围,进而对其求并集可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:根据题意,当时, ,,‎ 则 ,‎ 又或,‎ 则;‎ 根据题意,若,则,‎ 分2种情况讨论:‎ 当时,有,解得:;‎ 当时,若有,必有 ,解得:,‎ 综上可得:的取值范围是:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间关系的判断,涉及集合间的混合运算,(2)中注意可能为空集的情况,是基础题.‎ ‎18.(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)21;(2)‎ ‎【解析】(1)根据分式、根式与指数运算的关系、分母有理化运算将式子化简为指数运算的形式,根据指数运算法则求得结果;‎ ‎(2)根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题;关键是能够熟练掌握分式、偶次根式与指数幂的互化、对数运算的基本法则等知识,属于基础题.‎ ‎19.已知是关于的方程()的两个根.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】先根据韦达定理求出,.再化简得解;(2)化简即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,知原方程的判别式,即,所以或.‎ 又,‎ 所以,所以或(舍去).‎ 所以.‎ ‎.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式化简求值和同角的三角函数关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)最大值为,最小值为.‎ ‎【解析】(1)由函数图象的最高点求出的值,并计算出函数的最小正周期,可得出的值,然后将点代入函数的解析式,结合求出的值,可求得函数的解析式,进而可得出的值;‎ ‎(2)由可计算出的取值范围,再利用正弦函数的基本性质可求出该函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由图象可得,由图象可得,得,‎ 此时,,则,得.‎ ‎,则,,则,,‎ ‎,因此,;‎ ‎(2),,‎ 当时,函数取得最小值,即.‎ 当时,函数取得最大值,即.‎ 因此,函数在区间上的最大值为,最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数值的计算,同时也考查了三角函数在定区间上最值的计算,利用图象得出三角函数的解析式是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.‎ ‎(1)求在上的解析式;‎ ‎(2)若,函数,是否存在实数使得的最小值为,若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)由函数的奇偶性求对称区间上的解析式;‎ ‎(2)将的表达式化简得到关于的二次函数的形式,讨论对称轴与所给区间的关系,求出最小值,满足题意,求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)是定义在上的奇函数,所以,‎ 不妨设,则,,‎ 若,则,故 所以.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 当时,,‎ 所以 令,则,‎ 所以函数在上的最小值即为函数在上的最小值,‎ 对称轴为,‎ 当即时,函数在区间上是增函数,‎ 所以,解得,‎ 当,即时,,‎ 化简得,,解得或,‎ 因为,,所以此时,‎ 当,即时,函数在区间上是减函数,‎ 所以,解得,‎ 所以,综上所述,存在,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的应用,考查了二次函数最值的含参讨论,关键在于将化简成关于的二次函数的形式,利用二次函数求最值,属于难题.‎ ‎22.已知为偶函数.‎ ‎(1)求实数的值,并写出在区间上的增减性和值域(不需要证明);‎ ‎(2)令,其中,若对任意、,总有,求的取值范围;‎ ‎(3)令,若对任意、,总有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),在上是增函数,值域为;(2);(3).‎ ‎【解析】(1)利用偶函数的定义,作差变形可求出,结合函数的解析式写出该函数在区间上的单调性,并利用单调性得出函数在该区间上的值域;‎ ‎(2)由题意得出,且,换元,构造函数,由可得出二次函数的对称轴,分析函数在区间上的单调性,求出函数的最大值和最小值,结合不等式求出实数的取值范围;‎ ‎(3)由可得出,求出不等式右边代数式的取值范围,可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数为偶函数,则,‎ 即,‎ 由题意知,对任意的,恒成立,则,,‎ ‎,该函数在区间上为增函数,且,‎ 所以,函数在区间上的值域为;‎ ‎(2)由题意知,,且,‎ 设,,则,且,‎ 设函数,则,二次函数的对称轴为直线.‎ ‎,,则函数在区间上单调递增,‎ 则,,‎ ‎,解得,‎ ‎,,因此,实数的取值范围是;‎ ‎(3),‎ ‎,‎ ‎,‎ 由,‎ 可得,‎ ‎,‎ 由于函数在上单调递增,且,,‎ ‎,,又,,‎ 所以,,因此,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用偶函数的定义求参数、指数型函数不等式的综合问题,将问题转化为二次函数问题是解题的关键,同时也考查了参变量分离法的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.‎
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