【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．‎ ‎(2)商数关系：tan α＝．‎ ‎2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)‎ ‎(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)‎ ‎(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎ sin 600°的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：选B．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ ‎ (教材习题改编)tan(－π)的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选A．tan (－π)＝tan (－8π＋)＝tan ＝.‎ ‎ 已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选D.因为sin＝，α∈，所以cos α＝，所以sin α＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.‎ ‎ (教材习题改编)已知tan α＝2，则的值为________．‎ 解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，‎ 所以原式＝＝＝.‎ 答案： ‎ 已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝________．‎ 解析：f(2 018)＝2 018－18＝2 000，‎ f(f(2 018))＝f(2 000)＝2cosπ＝2cosπ＝－1.‎ 答案：－1‎ 同角三角函数基本关系式 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.‎ ‎(1)求tan α的值；‎ ‎(2)把用tan α表示出来，并求其值．‎ ‎【解】　(1)联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，‎ 整理得25sin2α－5sin α－12＝0.‎ 因为α是三角形的内角，‎ 所以 所以tan α＝－.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝.‎ 因为tan α＝－，‎ 所以＝＝＝－.‎ 同角三角函数关系式的应用方法 ‎(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．‎ ‎(3)分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．‎ 解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，‎ 将其代入sin2α＋cos2α＝1，‎ 得cos2α＝1，‎ 所以cos2α＝，易知cos α＜0，‎ 所以cos α＝－，sin α＝，‎ 故sin α＋cos α＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知tan α＝－.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求sin2α＋2sin αcos α的值．‎ 解：(1)＝＝＝.‎ ‎(2)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.‎ 利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)‎ A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ ‎【解析】　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－.‎ ‎【答案】　B sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧 ‎(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)．‎ ‎(2)利用上述关系，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．－ C． D．1‎ 解析：选A．法一：因为sin α－cos α＝，‎ 所以(sin α－cos α)2＝2，‎ 所以sin 2α＝－1.‎ 因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝.‎ 所以α＝，所以tan α＝－1.‎ 法二：由 得2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即(cos α＋1)2＝0，‎ 所以cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，所以α＝，‎ 所以tan α＝tan＝－1.‎ 法三：因为sin α－cos α＝，‎ 所以sin＝，‎ 所以sin＝1.‎ 因为α∈(0，π)，‎ 所以α＝，‎ 所以tan α＝－1.‎ 诱导公式的应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．‎ ‎(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________．‎ ‎【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)‎ ‎＝sin 60°cos 30°＝×＝.‎ ‎(2)因为f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ 所以f＝＝＝＝.‎ ‎【答案】　(1)　(2) ‎(1)诱导公式用法的一般思路 ‎①化负为正，化大为小，化到锐角为止．‎ ‎②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．‎ ‎(2)常见的互余和互补的角 ‎①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．‎ ‎②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．‎ ‎(3)三角函数式化简的方向 ‎①切化弦，统一名．‎ ‎②用诱导公式，统一角．‎ ‎③用因式分解将式子变形，化为最简．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值为(　　)‎ A． B．1‎ C． D． 解析：选A．因为cos＝cos＝sin，所以f(x)＝sin，于是f(x)的最大值为，故选A．‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．‎ 解析：法一：(通性通法)因为sin ＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.‎ 法二：(光速解法)因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.‎ 答案：－ ‎3．(2018·河南调研)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝________．‎ 解析：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.原式＝＝－＝.‎ 答案： ‎ 同角三角函数基本关系及诱导公式的应用技巧 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，‎ 其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．‎ ‎ 三角函数求值与化简的三种方法 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝；形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切．‎ ‎(2)“1”的灵活代换法：1＝sin2θ＋cos2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝tan等．‎ ‎(3)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ，(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2的关系进行变形、转化．‎ ‎ 利用诱导公式化简求值时的步骤 ‎(1)负化正；(2)大化小；(3)小化锐；(4)锐求值．‎ ‎ 应用同角三角函数基本关系及诱导公式应注意的问题 ‎(1)同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．‎ ‎(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．　　　 ‎ ‎1．(2018·石家庄质量检测(二))若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则cos α＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 B．－ C．－ D． 解析：选B．因为sin(π－α)＝sin α＝，且≤α≤π，所以cos α＝－，故选B．‎ ‎2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选B．由tan(α－π)＝⇒tan α＝.‎ 又因为α∈，‎ 所以α为第三象限的角，sin＝cos α＝－.‎ ‎3．(2018·南昌第一次模拟)若sin＝，则cos＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选C．法一：因为sin＝sincos α－cossin α＝cos α－sin α＝coscos α－sinsin α＝cos，所以由sin＝，得cos＝.‎ 法二：因为＋＝，所以cos＝cos＝sin＝.‎ ‎4．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 018)＝5，则f(2 019)的值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选B．因为f(2 018)＝5，‎ 所以asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＋4＝5，‎ 即asin α＋bcos β＝1.‎ 所以f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3.‎ ‎5．当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．0‎ 解析：选B．因为sin＝，所以cos＝，‎ 所以在第一象限，且cos＜sin，‎ 所以＝＝－1.‎ ‎6．sin π·cos π·tan的值是________．‎ 解析：原式＝sin·cos·tan ‎＝·· ‎＝××(－)＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知sin(3π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α＝________．‎ 解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(＋α)，‎ 所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，‎ 当α在第二象限时，，‎ 所以sin αcos α＝－；‎ 当α在第四象限时，，‎ 所以sin αcos α＝－，‎ 综上，sin αcos α＝－.‎ 答案：－ ‎8．若f(α)＝(k∈Z)，则f(2 018)＝________．‎ 解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，‎ 原式＝＝＝－1；‎ ‎②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，‎ 原式＝＝＝－1.‎ 综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2 018)＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．‎ 解：因为sin α＝＞0，所以α为第一或第二象限角．‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.‎ ‎(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，‎ 原式＝＝.‎ ‎(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ ‎10．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.‎ ‎(1)求sin x－cos x的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)由sin x＋cos x＝，‎ 平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 整理得2sin xcos x＝－.‎ 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.‎ 由x∈(－π，0)，知sin x<0，‎ 又sin x＋cos x>0，‎ 所以cos x>0，sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎1．已知sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)‎ A． B． C．－ D．－ 解析：选A．因为sin α＋cos α＝，‎ 所以(sin α＋cos α)2＝3，‎ 所以sin2α＋2sin αcos α＋2cos2α＝3，‎ 所以＝3，‎ 所以＝3，‎ 所以2tan2α－2tan α＋1＝0，所以tan α＝.‎ ‎2．(2018·衡水模拟)已知2θ是第一象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tan θ＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选A．因为sin4θ＋cos4θ＝，‎ 所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.‎ 所以sin θcos θ＝.‎ 所以＝，‎ 即＝.‎ 解之得tan θ＝或tan θ＝.‎ 又因为2θ为第一象限角，‎ 所以2kπ＜2θ＜2kπ＋，k∈Z.‎ 所以kπ＜θ＜＋kπ，k∈Z.‎ 所以0＜tan θ＜1.‎ 所以tan θ＝.‎ ‎3．已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，则的值为________．‎ 解析：因为cos α－sin α＝－，①‎ 所以1－2sin αcos α＝，‎ 即2sin αcos α＝.‎ 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.‎ 又0＜α＜，‎ 所以sin α＋cos α＞0.‎ 所以sin α＋cos α＝.②‎ 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，‎ 所以＝.‎ 答案： ‎4．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________．‎ 解析：因为sin α＝2sin β，①‎ tan α＝3tan β，‎ tan2α＝9tan2β.②‎ 由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③‎ 由①2＋③得sin2α＋9cos2α＝4.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ 所以cos2α＝，所以cos α＝±.‎ 答案：± ‎5．已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．‎ 解：因为sin α＝1－sin＝1－cos β，‎ 所以cos β＝1－sin α.‎ 因为－1≤cos β≤1，‎ 所以－1≤1－sin α≤1，0≤sin α≤2，‎ 又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0，1]．‎ 所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝＋(*)．又sin ‎ α∈[0，1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.‎ ‎6．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：‎ ‎(1)＋的值；‎ ‎(2)m的值；‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值．‎ 解：(1)原式＝＋ ‎＝＋ ‎＝＝sin θ＋cos θ.‎ 由条件知sin θ＋cos θ＝，‎ 故＋＝.‎ ‎(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，‎ 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.‎ ‎(3)由得 或 又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.‎