【数学】山东省潍坊诸城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题(解析版)

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【数学】山东省潍坊诸城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题(解析版)

山东省潍坊诸城市2019-2020学年高一下学期期中考试 数学试题 本试卷共4页.满分150分.‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.‎ ‎3,第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.角的顶点在坐标原点,始边在x轴正半轴上,且终边过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得.‎ 故选:B.‎ ‎2.向量、满足,,且向量与的夹角为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】,且向量与的夹角为,所以,.‎ 故选:A.‎ ‎3.一个扇形的圆心角为150°,面积为,则该扇形半径为( )‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆心角为,设扇形的半径为,‎ ‎,‎ 解得.‎ 故选:D ‎4.已知A,B为锐角,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A,B为锐角,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎5.如图,在平行四边形中,,E是边上一点,且,则( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎6.若,则( )‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ ‎,‎ 且即,‎ 又,‎ 即.‎ 故选:C.‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺,将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深是多少尺?( )‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 13 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,,‎ 在中,,‎ 解得.‎ 故选:B ‎8.已知是函数的最大值点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,其中,,‎ 当,,即,时,函数有最大值,‎ 此时.‎ 故选:A.‎ 二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的的0分.‎ ‎9.下列结论中正确的是( )‎ A. ‎ B. 若是第三象限角,则 C. 若角的终边过点,‎ D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】对于A,,故A正确;‎ 对于B,由三角函数的象限符号可知,若是第三象限角,则,故B正确;‎ 对于C,角的终边过点,‎ 则,故C错误;‎ 对于D,‎ ‎,故D正确.‎ 故选:ABD ‎10.已知,,则以下结论正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 的最小值为 ‎【答案】BD ‎【解析】,则.‎ 对于A选项,若,则,所以,或,A选项错误;‎ 对于B选项,若,则,,,则,,‎ B选项正确;‎ 对于C选项,若,且,则,或,C选项错误;‎ 对于D选项,由向量模的三角不等式可得,D选项正确.‎ 故选:BD.‎ ‎11.若在上有解,则m的取值可能为( )‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】AC ‎【解析】,,,‎ 又在上有解,‎ ‎,‎ 对比选项,可得选项A、C符合要求.‎ 故选:A、C.‎ ‎12.将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,得到函数的图象,则下列结论正确的是( )‎ A. 是函数图象的一条对称轴 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 若,则的最小值为 ‎【答案】ACD ‎【解析】,‎ 当时,,故是函数图象的一条对称轴,A正确;‎ 当时,,故不是函数图象的对称中心,B错误;‎ 时,,故在上单调递增,C正确;‎ ‎,故的最小值为,D正确.‎ 故选:ACD.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ 故答案为:‎ ‎14.已知是平面向量的一组基底,实数x,y满足,则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】是平面向量的一组基底,且,‎ ‎,解得,‎ ‎.‎ 故答案为:2.‎ ‎15.如图所示,把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力,垂直斜面向上的弹力.已知,则G的大小为________,的大小为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 如图,由向量分解的平行四边形法则,‎ ‎ ‎ 计算可得:‎ 故答案为:‎ ‎16. 的值__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎ ‎.‎ 故答案为:1.‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知非零向量与不共线,.‎ ‎(1)若,求t的值;‎ ‎(2)若A、B、C三点共线,求t的值.‎ 解:(1)∵,∴,‎ ‎∴,∵,∴,‎ ‎∴;‎ ‎(2)∵A、B、C三点共线,∴存在非零实数使,‎ ‎∴即,‎ ‎∴,‎ ‎∵与不共线,∴,‎ ‎∴.‎ ‎18.已知,且第________象限角.‎ 从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)化简求值:‎ 解:(1)因为,所以为第三象限或第四象限角;‎ 若选③,;‎ 若选④,;‎ ‎(2)原式.‎ ‎19.向量.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求与所成夹角的余弦值.‎ 解:(1)∵,∴,‎ 又,∴,解得,‎ ‎∴;‎ ‎(2)∵,,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎20.函数,且函数的最小正周期为.‎ ‎(1)求及函数对称中心;‎ ‎(2)在给出的坐标系中用五点法做出函数在上的图像,并求在上的最大值及取最大值时x的值.‎ 解:(1)由题意,‎ 因为函数的最小正周期,‎ 所以,所以;‎ 令,解得,‎ 所以函数的对称中心为;‎ ‎(2)列表如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ 作图如下:‎ ‎ ‎ 因为,所以,‎ 所以当即时,取得最大值为3.‎ ‎21.如图所示,中,,D为AB中点,E为CD上一点,且,AE的延长线与BC的交点为F.‎ ‎(1)用向量与表示;‎ ‎(2)用向量与表示,并求出和的值.‎ 解:(1)是线段CD的一个三等分点(靠近C点).‎ 又D为AB中点,‎ ‎,‎ 故.‎ ‎(2)设三点共线,∴存在,使.‎ 由(1)知,.‎ 又C,F,B三点共线,,‎ 即.‎ ‎.‎ ‎,即.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴,∴.‎ 综上,‎ ‎22.函数在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为的图象与x轴的交点,且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后,再向右平移个单位,得到函数的图象.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由题意点的纵坐标为,为等边三角形,‎ 所以三角形边长为2,所以,解得,‎ 所以,‎ 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后,得到,‎ 再向右平移个单位,得到;‎ ‎(2)由题意,‎ 所以恒成立,‎ 原不等式等价于在R上恒成立.‎ 令,即在上恒成立,‎ 设,对称轴,‎ 当时,成立;‎ 当时,,解得,此时;‎ 当时,,解得,此时;‎ 综上,实数m的取值范围为.‎
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