湖北省天门市2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题
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2019-2020学年湖北省天门市高一（上）11月月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1.设集合，．若，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
2.命题“，”的否定是（ ）
A ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
否定命题的结论，同时改存在为任意。
【详解】命题为全称命题，则命题“，”的否定是：，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.设，则“”是“”
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式，
由.
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a＋c>b－c B. (a－b)c2>0 C. a3>b3 D. a2>b2
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误．
【详解】选项A错，因为，当c<0时，如．
选项B错，因为当c=0时，不等式不成立．
选项C对，因为是立方，所以成立．当时，．当时，．当时，,所以，即．
选项D错，如，代入不等式不成立．选C.
【点睛】本题考查不等式性质：当时，则（），注意只有正数才能用这个性质．
5.函数满足，则这样的函数个数共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数.
【详解】若为一对一映射，则，，，只有个函数；
若为三对一映射，则或或，共有个函数；
若为三对二映射，则从中选出两个元素作为象，共种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择
如：象为，则，，或
共有种选择，即共有个函数
综上所述：共有满足题意的函数个数为个
故选：
【点睛】本题考查函数概念的应用，关键是能够根据对应关系准确的进行分类讨论.
6.已知函数，则=（ ）
A. 在上单调递增 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得，其定义域为，根据幂函数的性质得函数在和上分别是增函数，所以它在上为增函数.
考点：幂函数的性质及应用.
7.已知是上的奇函数，对都有成立，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性可得，令求得，从而得到周期为，进而.
【详解】为奇函数
令，则，即
，即周期为
故选：
【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，关键是能够利用周期性和赋值法求得函数的周期，进而利用周期性推导得到结果.
8.若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是( )
A. [－8，－3] B. [－5，－1] C. [－2，0] D. [1，3]
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的值域与的值域相同，代入函数中，容易求得函数的值域，得到结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
即的值域为，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及到的知识点有左右平移不改变函数的值域，不等式的性质，属于简单题目.
9.下列正确的是( )
A. 若a，b∈R，则
B. 若x<0，则x＋≥－2＝－4
C. 若ab≠0，则
D. 若x<0，则2x＋2－x>2
【答案】D
【解析】
对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－ ≤－2 ＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－
2成立．
故选D.
10.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）
A. 118元 B. 105元 C. 106元 D. 108元
【答案】D
【解析】
设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.
11.偶函数在区间上单调递增，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质f（﹣x）＝f（x），得到f（﹣1）＝f（1），f（﹣π）＝f（π），再根据f（x）在[0，4]上单调递增，从而可以确定大小关系
【详解】∵f（x）是偶函数
∴f（﹣x）＝f（x）
∴f（﹣1）＝f（1），f（﹣π）＝f（π）
∴f（x）在[0，4]上单调递增，且1π
∴f（π）＞f（）＞f（1）
∴f（﹣π）＞f（）＞f（﹣1）
故选C．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，以及利用单调性比较函数值大小，属于基础题
12.是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示；令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A. 若，则函数的图象关于原点对称
B. 若，，则方程有大于的实根
C. 若，，则函数的图象关于轴对称
D. 若，，则方程有三个实根
【答案】B
【解析】
【分析】
选项：当时，不是奇函数，不关于原点对称，错误；
选项：将问题转化为与的交点横坐标的大小问题，通过的范围可确定一个交点的横坐标大于，正确；
选项：根据奇偶性定义可知为奇函数，错误；
选项：将问题转化为与交点个数问题，当时无交点可确定错误.
【详解】中，，若，则
图象在时，不关于原点对称，错误；
中，，即
由图象可知，与有一个交点的横坐标大于
存在大于的实根，正确；
中，
即为定义在上的奇函数，图象关于原点对称，错误；
中，，即
当时，，此时与无交点，错误.
故选：
【点睛】本题考查函数图象与函数奇偶性的应用问题，关键是能够将方程根的个数和大小问题转化为两函数交点个数和交点位置的问题，通过数形结合的方式来进行求解.
二、填空题（本大题共4小题）
13.若函数是幂函数，且满足，则的值等于 .
【答案】
【解析】
【详解】可设，则有，即，解得，所以函数的解析式为，故,所以的值为.
14.偶函数在上是增函数，则满足的的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
因为函数f（x）为偶函数，所以f（|x|）=f（x），所以要求 f(2x-1)＜f()的解集，等价于求解：f（|2x-1|）＜f（||）的解集，等价于：|2x-1|＜，解得：＜x＜，故答案为．
15.若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为f(x)=，由f(x)是偶函数知，，解得或，若，则f(x)=，其值域不为(－∞，4]，故不适合；若，则f(x)=，由f(x)的值域为(－∞，4]知，，所以f(x)=.
考点:函数的奇偶性，二次函数值域
16.如图是二次函数的图象的一部分图象过点，对称轴为．给出下面四个结论，其中正确的是_____．
①；②；③；④
【答案】①④
【解析】
【分析】
由二次函数图象开口方向确定，由对称轴和所过点可构造方程求得，依次代入判断各个选项即可得到结果.
【详解】由题意得：，解得：
二次函数开口方向向下
，即，①正确；
，②错误；，③错误；
，④正确.
故答案为：①④
【点睛】本题考查根据二次函数的图象确定参数值和取值范围的问题，关键是能够根据开口方向、对称轴和图象经过的点确定各个参数的值或范围.
三、解答题（本大题共6小题）
17.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
试题分析：由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.
试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；
（2）当时，，的定义域不为，所以；
（3）当时，的定义域为知抛物线全部在
轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；
综合（1），（2），（3）有的取值范围是.
考点：二次函数、函数的定义域.
18.已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明函数在区间上是增函数；
(3)解不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，
得到不等式组，解出即可．
【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，，
则函数的解析式：；满足奇函数
（2）证明：设，则
，由于，则，，即，
，则有，
则在上是增函数；
（3）解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，
即有，解得，
则有，
即解集为．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
19.函数的定义域为且对一切，，都有，当时，有．
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若，解不等式．
【答案】（1）；（2）在定义域上是增函数，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）令，，代入已知关系式可整理出结果；
（2）令，可得，进而得到单调性；
（3）利用可求得，从而将不等式整理为，根据单调性和定义域可确定不等式组，解不等式组求得解集.
【详解】（1）令，，则由得：
（2）令，则
，即 在上是增函数
（3）且
由得：
由（2）知：为定义在上的增函数
，解得： 不等式的解集为
【点睛】本题考查抽象函数单调性的判断与证明、利用函数单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的关键是能够将所求不等式化为函数值的比较，进而利用单调性转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.
20.已知函数对于任意，总有，且当时，，．
（1）若，且，判断与的大小关系；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）在上最大值，最小值为
【解析】
【分析】
（1）令求得；令可证得为奇函数；取，可证得，得到单调递减，进而得到所求大小关系；
（2）根据单调性可知，；利用已知得，求得；根据奇偶性得到.
【详解】（1）令，则
令，则 为上的奇函数
任取，则
，即
为上的减函数，又
（2）由（1）知：在上单调递减
，
在上的最大值为，最小值为
【点睛】本题考查抽象函数奇偶性和单调性的判断与应用、函数最值的求解；关键是能够通过赋值的方式确定函数的奇偶性，进而利用已知等式，结合单调性的定义判断出函数的单调性.
21.经市场调查,某种小家电在过去天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间(天)的函数,且销售量近似地满足.前天价格为；后天价格为.
(Ⅰ)写出该种商品的日销售额(元)与时间的函数关系；
(Ⅱ)求日销售额(元)的最大值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)6400.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；
（Ⅱ）求出分段函数的最值即可．
【详解】(Ⅰ)当时,由题知；
当时,由题知
所以日销售额与时间的函数关系为
(Ⅱ)当时,,当时,元；
当时,是减函数，当时,元.
因为,则的最大值为元.
【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
22.已知
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的范围；
（3）若的两根都在内，求的范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）分别在、、和的情况下，得到函数在上的单调性，进而求得最小值；
（2）将问题转化
恒成立；由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式求得结果；
（3）令可求得两根，根据根所处范围可构造不等式求得结果.
【详解】（1）①当时，，在上单调递减
②当时，开口方向向下，对称轴为
在上单调递减
③当时，开口方向向上，对称轴为
若，则 在上单调递减
若，则 在上单调递减，在上单调递增
综上所述：
（2）恒成立等价于恒成立
当时，不恒成立，不合题意
当时，，解得：
综上所述：的取值范围为
（3）令，即
若，方程仅有一个实数根，不合题意；
若，则方程两根为， ，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】本题考查二次函数最值的求解、一元二次不等式恒成立问题和一元二次方程根的分布问题的求解；考查学生对于二次函数的图象和性质的掌握；易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.
