2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第六章 不等式、推理与证明 第5节

2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第六章 不等式、推理与证明 第5节

第六章 第5节 ‎1．(2020·淄博市一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(x0)＝0，所以，x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中(　　 )‎ A．大前提错误　　　　　　　 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 解析：A　[大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，‎ ‎∴大前提错误．]‎ ‎2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为(　　 )‎ A．45 B．55‎ C．65 D．66‎ 解析：B　[由已知中：‎ 第1个图中黑点有1个，‎ 第2个图中黑点有3＝1＋2个，‎ 第3个图中黑点有6＝1＋2＋3个，‎ 第4个图中黑点有10＝1＋2＋3＋4个，‎ ‎…‎ 故第10个图中黑点有a10＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55个．故选B.]‎ ‎3．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，‎ 球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　 )‎ A．2πr4 B．3πr4‎ C．4πr4 D．6πr4‎ 解析：A　[对于二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr；‎ 三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，′＝4πr2；‎ 四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3；‎ 又∵(2πr4)′＝8πr3，‎ ‎∴“超球”的四维测度W＝2πr4.]‎ ‎4．(2020·南昌市模拟)为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是(　　 )‎ A．甲、丙、乙 B．乙、甲、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、乙、甲 解析：C　[由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，‎ 又在A组中的那位的成绩比丙低，∴A组是甲，‎ ‎∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲．]‎ ‎5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6614用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为(　　 )‎ 解析：B　[由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8 335 用算筹可表示为.]‎ ‎6．观察式子1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<…，则可归纳出1＋＋＋…＋<　________　.‎ 解析：根据题意，每个不等式的右边的分母是n＋1.不等号右边的分子是2n＋1，‎ ‎∴1＋＋＋…＋<(n≥1)‎ 答案：(n≥1)‎ ‎7. 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有 ≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，‎ sin A＋sin B＋sin C的最大值是　________　.‎ 解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ 答案： ‎8．(2020·宜宾市模拟)某商场有五个门供顾客出入，使用这些门需遵守以下操作规则：①如果开启1号门，则必须同时开启2号门并且关闭5号门；②如果开启2号门或者是5号门，那么要关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门．现在已经开启1号门，则还需同时开启的2个门的序号是　________　.‎ 解析：根据题意知，‎ ‎①开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门；‎ ‎②开启2号门或者是5号门，则关闭4号门；‎ ‎③不能同时关闭3号门和4号门；‎ ‎∴现在要开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门，关闭4号门，且开启3号门；‎ 即需要同时开启2号和3号门．‎ 答案：2和3‎ ‎9．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是　________　.‎ 解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎10．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.‎ 证明：因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，所以A>－B，‎ 因为y＝sin x在上是增函数，‎ 所以sin A>sin＝cos B，‎ 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，‎ 所以sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.‎