2015届高考数学二轮专题训练：专题一 第2讲 不等式与线性规划
第2讲 不等式与线性规划
考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．
1．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法
①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
②当0
ag(x)⇔f(x)1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；
②当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.
2．五个重要不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)．
(3)≥(a>0，b>0)．
(4)ab≤()2(a，b∈R)．
(5) ≥≥≥(a>0，b>0)．
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值．
4．两个常用结论
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
热点一 一元二次不等式的解法
例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2－x)>0.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)由已知条件0<10x<，解得x0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.
故选C.
思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．
(1)不等式≤0的解集为( )
A．(－，1]
B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．[0,2]
答案 (1)A (2)C
解析 (1)原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，即－0，且＋＝1.
所以·≤()2(当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号)．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值为3.
(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
即实数a的最小值为，故选B.
热点三 简单的线性规划问题
例3 (2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．
答案 C
解析 设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，
则z＝1 600x＋2 400y, x、y满足
画出可行域如图
直线y＝－x＋过点A(5,12)时纵截距最小，
所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，
故租金最少为36 800元．
思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．
(1)已知实数x，y满足约束条件，则w＝的最小值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
(2)(2013·北京)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)画出可行域，如图所示．
w＝表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为＝1，故选D.
(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点
(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.
1．几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化．
2．基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．
3．线性规划问题的基本步骤
(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；
(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；
(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.
真题感悟
1．(2014·山东)已知实数x，y满足ax B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
答案 D
解析 因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 10，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.
押题精练
1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝3－，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．则促销费用投入
万元时，厂家的利润最大？( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
答案 A
解析 设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×()万元，所以y＝2×()×P－10－2P－x＝16－－x(x>0)，所以y＝17－(＋x＋1)≤17－2＝13(当且仅当＝x＋1，即x
＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.
2．若点P(x，y)满足线性约束条件点A(3，)，O为坐标原点，则·的最大值为________．
答案 6
解析 由题意，知＝(3，)，设＝(x，y)，则·＝3x＋y.
令z＝3x＋y，
如图画出不等式组所表示的可行域，
可知当直线y＝－x＋z经过点B时，z取得最大值．
由解得即B(1，)，故z的最大值为3×1＋×＝6.
即·的最大值为6.
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一、选择题
1．(2014·四川)若a>b>0，c B.<
C.> D.<
答案 D
解析 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，
所以A，B错误；
＝－，＝－，
所以<，
所以C错误．故选D.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 应用基本不等式：x，y>0，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证一正二定三相等，
而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．(2013·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
4．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
解析 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．故选D.
5．已知变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y－1的最大值为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
答案 B
解析 约束条件所表示的区域如图，
由图可知，当目标函数过A(1,4)时取得最大值，故z＝x＋2y－1的最大值为1＋2×4－1＝8.
二、填空题
6．已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________．
答案 (，e2)
解析 ∵|f(1＋ln x)|<1，
∴－10，则＋的最小值为________．
答案 ＋
解析 ∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，
∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1)
≥(3＋2)＝＋，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为＋.
三、解答题
9．设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集．
(1)求A∩B；
(2)若C⊆∁RA，求a的取值范围．
解 (1)由－x2－2x＋8>0得－40，即x>－1时y≥2－1＝1，
此时x＝0，符合要求；
当x＋1<0，即x<－1时，y≤－2－1＝－3，
此时x＝－2，符合要求．
所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)(ax－)(x＋4)＝0有两根x＝－4或x＝.
当a>0时，C＝{x|－4≤x≤}，不可能C⊆∁RA；
当a<0时，C＝{x|x≤－4或x≥}，
若C⊆∁RA，则≥2，∴a2≤，
∴－≤a<0.故a的取值范围为[－，0)．
10．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且00；
(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围．
(1)证明 求函数f(x)的导数
f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.
由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，
在x＝x2处取得极小值，
知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，
所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．
当x0，
由x－x1<0，x－x2<0得a>0.
(2)解 在题设下，0
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