湖南省岳阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题答案

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湖南省岳阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题答案

试卷第 1 页,总 7 页 岳阳市 2020 年高中教学质量检测 高二数学参考答案与评分标准 一、单项选择 1-5 A B C C D 6-10 D B C A B 二、多项选择 11. BCD 12. BD 三、填空题 13. 7 9 14. 18 15. 4 16. ①②③;30 3 四、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.( 10 分) 已知函数 2( )23sincos2cos1()fxxxxxR=+− . (1) 求函数 ()fx的最小正周期及在区间 [0 , ]2  上的最大值和最小值; (2) 若 00 6(),[,] 542fxx = , 求 0c o s2 x 的值. 【解答】 (1) …………………………………………………2 分 所以 …………………………………………………3 分 又 所以 …………………………………………………4 分 由函数图像知 .…………………………………………………5 分 试卷第 2 页,总 7 页 (2)解:由题意 …………………………………………………6 分 而 所以 …………………………………………………7 分 所以 …………………………………………………8 分 所以 = .……………………………………………10 分 18.(12 分) 2020 年是全面建成小康社会目标实现之年,也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。某乡镇在 2014 年通过 精准识别确立建档立卡的贫困户共有 500 户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,每年新脱贫户数 如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 脱贫户数 y 55 68 80 92 100 (1) 根据 20152019 年的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa=+,并预测到 2020 年底该乡 镇 500 户贫困户是否能全部脱贫; (2) 2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户, 20 户低保户, 60 户扶贫户。该乡镇某干部打算按照分层 抽样的方法对 2019 年新脱贫户中的 5 户进行回访,了解生产生活、帮扶工作开展情况。为防止这 些脱贫户再度返贫,随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶,求抽取的 2 户不都是扶贫户的概 率。 参考公式: y bx a=+,其中 11 222 11 ()() () nn iii i ii nn ii ii xx yyx ynx y b xxxnx == == −−− == −−   , aybx=− 【解答】 (1) 5 1 1 55 2 68 3 80 4 92 5 100 1299ii i xy = =  +  +  +  +  = 试卷第 3 页,总 7 页 556880921003,79 5xy++++=== 5 2 1 149162555i i x = =++++= 2 12995379 11.45553b −==− 7911.4344.8a =−= 11.4 44.8yx=+…………………………………………………5 分 当 6x = 时, 11.4644.8113.2y =+= 即预测 2020 年一年内该乡镇约有 113 户贫困户脱贫…………………………………………………6 分 预测 6 年该乡镇脱贫总户数有:55+68+80+92+100+113=508 500 即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫。…………………………………………………7 分 (2)由题意可得:按分层抽样抽取 5 户脱贫户中,有 1 户五保户 a ,1 户低保户 b , 3 户扶贫户 ,,c d e 。从 这 5 户中随机抽取 2 户,共有 10 中情况: (,) , (,) , (,) , (,) (,) , (,) , (,) (,) , (,) (,) a ba ca da e b cb db e c dc e de …………………………………………………9 分 记 2 户不都是扶贫户为事件 A ,则事件 A 共有 3 种情况:(,) , (,) , (,)cdcede ………………………10 分 所以 3() 10PA= , 37()1 1010PA=−= 故抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 7 10 …………………………………………………12 分 19.( 12 分) 如下图,在直角梯形 ABCD 中, 90,/ /,ADCCDAB= 4AB = , 2ADCD==,点 M 为线段 AB 的中点,将 ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ⊥ 平面 ABC ,得到几何体 DABC− . (1) 证明: BC ⊥平面 ACD ; (2)求点 B 到平面 CDM 的距离. CD MA B MA B D C 试卷第 4 页,总 7 页 【解析】 (Ⅰ)证明:由已知可得: 22AC = , 45CAB =  , 由余弦定理 8CB= 从而 222ACBCAB+=, AC BC⊥ 平面 A D C ⊥ 平面 ABC , 平面 A D C  平面 ABC AC=  BC ⊥ 平面 ACD . …………………………………………………6 分 (Ⅱ)由已知,易求 1 1 4 24 2 23 2 3D ABCV − =     = . 22 3DMBCV −=, 设点 B 到平面 CDM 的距离为 d , 又可求 3DMCS  = , 1=33DMBCBDMCVVd−−= , 26 3d= 点 到平面 的距离为 26 3 .…………………………………………………12 分 20.(12 分) 已知 {}na 是等差数列, {}nb 是等比数列, 15ba= , 2 3b = , 5 81b =− 。 (1)求数列 的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 nS ,在① 132bba+=,② 44ab= 这两个条件中任选一个,补充在题干问 题中,是否存在 k ,使得 1kkSS+ 且 +21kkSS+ ?若问题中的 k 存在,求 k 的值;若 k 不存在,说明理由。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【解析】 (1) 设等比数列 首项为 1b ,公比为 q ,则由 , 可得 1 1,3bq= −= − 所以等比数列 的通项公式 1(3) n nb −=−− …………………………………………………5 分 (2) 我选择的条件是 由(1) 11(3) n nb −= − − ,所以 2 1 3 10a b b= + = − ,又 51 1ab= = − ,所以 3 16nan=− 此时,由 120 , 0kkaa++, 解得10 13 33k ,故 4k = …………………………………………………12 分 我选择的条件是 试卷第 5 页,总 7 页 44=2 7ab= ,又 51 1ab= = − ,所以 {}na 的公差 28d =− ,故 28 139nan= − + , 由 120 , 0kkaa++,即 1 2 281110 28830 -k k ak ak + + =+  =−+ ,显然无解。 故不存在满足条件的正整数 k …………………………………………………12 分 21.(12 分) 已知圆 M 的方程为 ( ) 22 21xy+ − = ,点 P 在直线 l : 20xy−=上,过点 P 作圆 的切线 ,P A P B , 切点为 ,AB. (1)若点 的坐标为 11, 2   ,求切线 方程; (2)证明:经过 ,,A P M 三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标. 【解析】 (1)当切线斜率不存在时,切线方程为 1x = ,符合题意. 当切线斜率存在时,设直线方程为 ( ) 11 2ykx=−+ , 因为直线和圆相切,所以 2 3 2 1 1 k d k + == + ,解得 5 12k =− , 此时直线方程为 ( )51112 2yx= − − + ,即5 12 11 0xy+ − = , 所以切线 方程 , .…………………………………………………5 分 (2)设点 00 1, 2Pxx  , ( )0,2M , 过 ,,PAM 三点的圆即以 PM 为直径的圆 即 2 22 2 2 000 0 11 22 22 222 +−+ −+ −=  xxxxxy , 所以 22 0 0 0 1 202x x x y x y x− + − + + = , 试卷第 6 页,总 7 页 从而 2220 1 102 x y y xy  + − = − − + = , 解得定点坐标为 ( )0 ,2 或 42,55   .…………………………………………………12 分 22.(12 分) 如图,河的两岸分别有生活小区 ABC 和 D E F ,其中 ,,ABBCEFDFDFAB⊥⊥⊥ , ,,C E F 三点共 线,FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 3AB = km , 4kmBC = , 9 4DF = km , 3kmFE = , 3 2EC = km , 若以 ,O A O D 所在直线分别为 ,xy轴建立平面直角坐标系 x O y 则河岸 DE 可看成是曲线 xby xa += + (其中 ,ab是常数)的一部分,河岸 AC 可看成是直线 y kx m=+(其中 ,km为常数)的一部分. (1)求 , , ,a b k m 的值. (2) 现准备建一座桥 MN ,其中 ,MN分别在 ,DEAC 上,且 MN AC⊥ ,M 的横坐标为 t .写出桥 的长l 关于 的函数关系式 ()l f t= ,并标明定义域;当 为何值时, 取到最小值?最小值是多少? 【解答】 试卷第 7 页,总 7 页 (1)由题意得: 4O D B C==, OB FC= ,∴ 70, 4D   , ()3,4E , 3 ,02A   , 9 ,42C  , 把 , ( )3 ,4E 代入 xby xa += + 得 7 4 3 43 b a b a  = + = + , 解得: 4 , 7ab= − = − , 把 , 代入 y kx m=+得 3 02 9 42 km km  +=  += , 解得 4 ,23km= = − .…………………………………………………5 分 (2)由(1)得: M 点在 7 4 xy x −= − 上,∴ 7,,[0,3]4 tMtt t −− , ①桥 MN 的长 l 为 到直线 4 23yx=−的距离, 故 22 3(7)46194( )| 49 |,[0,3] 5434 tt tlf xtt t −−−−===+− −+ ; ②由①得: 1 9 1 9( ) | 4 9 | | 4( 4) 7 |5 4 5 4f t t ttt= + − = − + +−− , 而 94 0, 04t t−  − ,∴ 994(4)24(4)12 44tttt−+ −−= −−− , 当且仅当 94(4) 4t t−=− 时即 5 2t = “=”成立, ∴ min 1( )|127 | 15ft =−+= .…………………………………………………12 分
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