山西省应县第一中学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

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文档介绍

山西省应县第一中学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

‎ 高二年级期末考试数学试题(理)‎ 一、选择题 ‎1.已知集合,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,集合,,再根据集合的运算,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,集合,,‎ 所以,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的性质,以及不等式求解和集合的运算问题,其中解答中正确求解集合,再根据集合的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎2.若复数满足,则的虚部为 A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,虚部为.‎ ‎【考点】复数的运算与复数的定义.‎ ‎3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是(  )‎ A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度 C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过命题否定即可得到答案.‎ ‎【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定是“至多有0个小于60度”即“三内角都大于60度,故答案为B.‎ ‎”‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定,难度不大.‎ ‎4.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:‎ 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 附表:‎ 经计算,则下列选项正确的是 A. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响 B. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响 C. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响 D. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响,选A ‎5.已知,且,则等于(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,即可求出,由即可求出 ‎【详解】令,得,所以,故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查赋值法的应用。‎ ‎6.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是(  )‎ A. [1,2] B. [-1,0] C. [0,2] D. [2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出分段函数图象,数形结合,可得函数的单调减区间。‎ ‎【详解】函数的图象如图所示:‎ 结合图象可知函数的单调减区间是 故选 ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及函数单调性的判断,考查了数形结合的思想,属于基础题,在含有绝对值的题目时通常要经过分类讨论去绝对值。‎ ‎7.把4个苹果分给两个人,每人至少一个,不同分法种数有(  )‎ A. 6 B. 12 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给两个人命名为甲、乙,根据甲分的苹果数进行分类即可求出。‎ ‎【详解】按照分给甲的苹果数,有种分法,故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用。‎ ‎8.若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是(  )‎ A. [-3,3] B. ‎ C. D. [-1,1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分、必要条件的定义,可知当时,恒成立,解一元二次不等式即可。‎ ‎【详解】依题意可知,当时,恒成立,所以,解得 ‎,故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义应用以及恒成立问题的解法。‎ ‎9.下列函数中,满足“且”的是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知,函数在上是减函数,根据选项判断即可。‎ ‎【详解】根据题意知,函数在上是减函数。‎ 选项A,在上是增函数,不符合;‎ 选项B,在上不单调,不符合;‎ 选项C,在上是减函数,符合;‎ 选项D,在上是增函数,不符合;综上,故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。‎ ‎10.设是定义在上的奇函数,且当时,单调递减,若,则的值(  )‎ A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据奇函数的性质,在上单调递减,可以判断出在上单调递减,进而根据单调性的定义和奇偶性的定义,即可判断的符号。‎ ‎【详解】因为时,单调递减,而且是定义在上的奇函数,所以,在上单调递减,当时,,由减函数的定义可得,,即有,故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。‎ ‎11.若在区间上单调递减,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:由题意,在区间(﹣∞,1]上,a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a>0,且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上应单调递减,这样复合函数才能单调递减.‎ 详解:令u=x2﹣2ax+1+a,则f(u)=lgu,‎ 配方得u=x2﹣2ax+1+a=(x﹣a)2 ﹣a2+a+1,故对称轴为x=a,如图所示:‎ 由图象可知,当对称轴a≥1时,u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上单调递减,‎ 又真数x2﹣2ax+1+a>0,二次函数u=x2﹣2ax+1+a在(﹣∞,1]上单调递减,‎ 故只需当x=1时,若x2﹣2ax+1+a>0,‎ 则x∈(﹣∞,1]时,真数x2﹣2ax+1+a>0,‎ 代入x=1解得a<2,所以a的取值范围是[1,2)‎ 故选:A.‎ 点睛:已知函数单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎12.已知函数,若方程恰有三个实数根,则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时,画出函数图像如下图所示,由图可知,无解,不符合题意,故排除两个选项.‎ 当时,画图函数图像如下图所示,由图可知,或,解得不符合题意,故排除选项,选.‎ 点睛:本题主要考查分段函数的图像与性质,考查复合函数的研究方法,考查分类讨论的数学思想方法,考查零点问题题.题目所给的分段函数当时,图像是确定的,当时,图像是含有参数的,所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中,围绕的解的个数来进行.‎ 二、填空题 ‎13.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系,并得到y关于x的线性回归直线方程:=0.245x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加l万元,年饮食支出平均增加___万元.‎ ‎【答案】0.245‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出当自变量增加1时的预报值,用这个预报值去减去自变量x对应的值,即可得到家庭年收入每增加 1万元,年饮食支出平均增加的数字.‎ ‎【详解】∵y关于x的线性回归直线方程:0.254x+0.321①‎ ‎∴年收入增加l万元时,年饮食支出y=0.254(x+1)+0.321②‎ ‎②﹣①可得:年饮食支出平均增加0.254万元 故答案为:0.254‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程,考查线性回归方程的应用,用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值,属于基础题.‎ ‎14.若命题:是真命题,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:命题:“对,”是真命题.当时,则有;当时,则有且,解得.综上所示,实数的取值范围是.‎ 考点:1.全称命题;2.不等式恒成立 ‎15.把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师,2名学生)开展实验活动,但学生甲必须与教师A在一起,这样的分组方法有________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三名教师命名为A,B,C,按照要求,教师A只需再选一名学生,有5种选法,教师B有种选法,根据分步乘法计数原理,可得分组方法有种。‎ ‎【详解】将三名教师命名为A,B,C,所以可按三步完成分组,第一步让教师A选学生,第二步让教师B选学生,第三步将剩下的学生分配给教师C即可。教师A只需再选一名学生,有5种选法,教师B有种选法,根据分步乘法计数原理,可得分组方法有种。‎ ‎【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用。‎ ‎16.已知函数f(x)=||,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则=________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,再分析得到0<m2<m<1,则f(x)在[m2,1)上单调递减,在(1,n]上单调递增,再根据函数的单调性得到m,n的值,即得解.‎ ‎【详解】因为f(x)=|log3x|=,‎ 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ 由0<m<n且f(m)=f(n),可得,‎ 则,所以0<m2<m<1,‎ 则f(x)在[m2,1)上单调递减,在(1,n]上单调递增,‎ 所以f(m2)>f(m)=f(n),则f(x)在[m2,n]上最大值为f(m2)=-log3m2=2,‎ 解得m=,则n=3,所以=9.‎ 故答案为:9‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质,考查函数的单调性的应用和最值的求法,意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.在直角坐标系中,圆C的方程为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线的极坐标方程是,射 线与圆C的交点为,与直线的交点为,求线段的长.‎ ‎【答案】(1);(2)3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过直角坐标与极坐标互化公式,即可求得圆C的极坐标方程;(2)直接联立直线方程和射线方程可以解出点Q,联立圆的方程和射线方程求出点P,即可求得线段的长。‎ ‎【详解】(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,‎ 得圆C的极坐标方程为.‎ ‎(2)设P(ρ1,θ1),则由,‎ 解得ρ1=2,θ1=.‎ 设Q(ρ2,θ2),则由,‎ 解得ρ2=5,θ2=.‎ 所以|PQ|=ρ2-ρ1=3.‎ ‎【点睛】本题主要考查普通方程与极坐标方程的互化,曲线交点的求法以及极坐标方程的应用,考查学生的数学运算能力。‎ ‎18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?‎ ‎(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;‎ ‎【答案】(1)3人,2人,2人(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合分层抽样的概念计算可得应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.结合古典概型计算相应的概率值可得随机变量的分布列,然后求解数学期望可得.‎ ‎【详解】(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,‎ 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=k)=(k=0,1,2,3).‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的概念,离散型随机变量分布列的求解与应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知二次函数f(x)的最小值为﹣4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3,x∈R}.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数g(x)的零点个数.‎ ‎【答案】(1);(2)个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3,x∈R},‎ ‎∴f(x)=a(x+1)(x﹣3)=a[(x﹣1)2﹣4](a>0)‎ ‎∴f(x)min=﹣4a=﹣4‎ ‎∴a=1‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2﹣2x﹣3‎ ‎(2)g(x)4lnx﹣2(x>0),‎ ‎∴g′(x)‎ x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=﹣4<0;‎ 又g(e5)20﹣2>25﹣1﹣22=9>0‎ 故函数g(x)只有1个零点,且零点 ‎【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系,函数零点的概念,导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎20.在平面直角坐标系中,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和,且点在第一象限,当四边形周长最大时,求直线的普通方程.‎ ‎【答案】(1),(为参数);(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)首先求得的普通方程,由此可求得的参数方程;(Ⅱ)设四边形的周长为,点,然后得到与的关系式,从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点,从而求得的普通方程.‎ 试题解析:(Ⅰ),(为参数).‎ ‎(Ⅱ)设四边形的周长为,设点,‎ ‎ ,‎ 且,,‎ 所以,当()时,取最大值,‎ 此时,‎ 所以,,,‎ 此时,,的普通方程为.‎ 点睛:将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.‎ ‎21.某学校为了丰富学生课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率,记该班级完成首背诵后的总得分为.‎ ‎(1)求且的概率;‎ ‎(2)记,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1);(2) 分布列见解析,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由知,背诵6首,正确4首,错误2首,又,所以第一首一定背诵正确,由此求出对应的概率;‎ ‎(2)根据题意确定的取值,计算相对应的概率值,写出的分布列,求出数学期望。‎ ‎【详解】(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由Si≥0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;‎ 若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.‎ 则所求的概率.‎ ‎(2)由题意知ξ=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算,意在考查学生的逻辑推理能力与数学计算能力。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的值域;‎ ‎(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用配方法化简函数,根据函数的定义域,换元得到t=∈[0,2],由二次函数的性质,即可求出函数的值域;(2)先利用对数运算化简不等式,换元,再通过分离参数法,转化为最值问题,利用基本不等式求出最值,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)h(x)=(4-2)·=-2(-1)2+2,‎ 因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],,‎ 故函数h(x)的值域为[0,2].‎ ‎(2)由f(x2)·f()>k·g(x),‎ 得(3-4)(3-)>k·,‎ 令,因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],‎ 所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,‎ ‎①当t=0时,k∈R;‎ ‎②当t∈(0,2]时,恒成立,‎ 即,‎ 因为,当且仅当,即时取等号,‎ 所以的最小值为-3.所以k<-3.‎ 综上,实数k的取值范围为(-∞,-3).‎ ‎【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法,利用分离参数法解决不等式恒成立问题,以及利用基本不等式求最值。意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力。‎ ‎ ‎
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