湖北省武汉市黄陂区汉口北高中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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湖北省武汉市黄陂区汉口北高中2019~2020学年
高一期中数学试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域和对应关系是否都相同,来判断是否是同一函数.
【详解】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；
对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.
故选A.
【点睛】本题考查了函数的概念,属基础题.
2.下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.
【详解】A．在上是减函数，不符合；
B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；
C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；
D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在上是减函数，不符合；
故选C.
【点睛】（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；
（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.
3.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是（ ）
A. f(0)
f(2) C. f(-1)f(0)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶函数的性质可判断。
【详解】解：是偶函数，
，又，
故
“一定成立的”的选项为．
故选：．
【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由错误的认为在上单调递增，从而认为正确，属于中档题．
4.若任意实数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：；；；，选D.
考点：不等式性质
5.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数和指数函数的单调性求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.
【详解】由于函数为增函数，当时，则，.
函数为减函数，当时，则，.
因此，.
故选A.
【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了指数函数和对数函数的值域，考查计算能力，属于基础题.
6.设，则的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：，，即，，
．
考点：函数的比较大小．
7.已知幂函数为偶函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3
【答案】A
【解析】
分析】
根据函数为幂函数可知，再由偶函数可验证m的取值即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得，
当时，，函数不偶函数，舍去,
当时，，函数是偶函数，故选A.
【点睛】本题主要考查了幂函数，偶函数，属于中档题.
8.已知，，则可以用、表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把指数式改为对数式，用换底公式把换成以18为底的对数，把真数36和45用5，9，18的乘除表示，然后用对数运算法则变形可得．
【详解】，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对数的运算法则，考查对数的换底公式．解题时注意化为同底的对数，然后考虑对数的运算法则变形．
9.已知函数，且不等式的解集为，则函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查二次函数图像，二次方程的根，二次不等式的解集三者之间的关系.
不等式的解集为,所以方程的两根是则解得所以则
故选B
10.已知函数是上的增函数,是其图像上的两点，那么的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得，根据是增函数且是图象上的两点，得，求解即可
【详解】因为，即，又因为增函数且是图象上的两点，可得，即，故选B
【点睛】本题考查函数单调性、绝对值不等式求解、利用单调性根据函数值大小关系来判断自变量大小关系
11.已知是偶函数，它在上是增函数.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．
【详解】∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，若f（lgx）＞f（1）．
∴不等式等价为f（|lgx|）＞f（1），
即|lgx|＞1，即lgx＞1或lgx＜﹣1，
即x＞10或0＜x．
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．
12.已知函数满足:对任意实数,当时,总有,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：据题意，不等式恒成立，所以．
又当时,总有，结合对数函数与二次函数的单调性知．综上得．故选C．
考点：函数的定义域、对数函数及其单调性
二、填空题:本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13.1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数解析式为___________________
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式求出前3年的人口，利用归纳推理可得结果.
【详解】1992年底世界人口为54.8亿.
1年后的人口数为 ;
2年后的人口数为 ；
3年后的人口数为 ;
……
年后的人口数为.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及归纳推理的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
14.函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】
要使函数有意义，则，解得，且.
所以函数的定义域是.
答案为;.
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
15.已知，则满足f(x)＝的x的值为________．
【答案】3
【解析】
分析】
分和两种情况并结合分段函数的解析式求出x的值．
【详解】由题意得(1) 或(2) ，
由(1)得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去．
由(2)得x＝3，符合x>1．
∴x＝3．
故答案为3．
【点睛】已知分段函数的函数值求自变量的取值时，一般要进行分类讨论，根据自变量所在的范围选用相应的解析式进行求解，求解后要注意进行验证．本题同时还考查对数、指数的计算，属于基础题．
16.设0≤x≤2，则函数的最大值是______，最小值是______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
注意到4x=（2x）2，故可令2x=t（1≤t≤4）转化为二次函数的最大最小值问题．
【详解】令2x=t（1≤t≤4），则原式转化为：
y=t2-3t+5=（t-3）2+，1≤t≤4，
所以当t=3时，函数有最小值，当t=1时，函数有最大值
故答案为；
【点睛】本题考查指数函数和二次函数的最值问题，考查换元法解题．
三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求下列各式的值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）用对数运算法则变形运算；
（Ⅱ）利用对数运算法则和幂的运算法则计算．
【详解】（Ⅰ）原式==；
（Ⅱ）原式==．
【点睛】本题考查对数的运算法则、换底公式和幂的运算法则，属于基础题．
18.已知函数.
（Ⅰ）将函数化成分段函数，并画出的图象（不要求写画图过程）；
（Ⅱ）根据的图象；
(1)指出的单调区间；
(2)指出不等式的解集.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）（1）减区间为，增区间为； （2）。
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由绝对值的定义去绝对值符号，得分段函数，画图象；
（Ⅱ）由图象得单调区间，得不等式的解集．
【详解】（Ⅰ）,其图象如下：
（Ⅱ）观察的图象可得，
（1）的减区间为，增区间为；
（2）的解集为.
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，考查函数的单调性．掌握单调性的定义是解题基础．
19.已知.
（1）求的定义域；
（2）求使成立的的取值范围.
【答案】(1) (2)答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用使对数有意义的条件，真数大于0，得到关于的不等式解之即可；
（2）对和讨论，得到关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）由，得，故的定义域为.
（2）①当时，由，
得，
∴.
②当时，由，
得，
∴.
故当时，所求的取值范围为；
当时，所求的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数定义域求法，以及不等式解法；熟练掌握对数函数的性质是解答本题的关键.
20.某电器公司生产A型电脑．1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．
（1）求1997年每台A型电脑的生产成本；
（2）以1993年的生产成本为基数，求1993～1997年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01，以下数据可供参考：）．
【答案】（1）1997年每台a型电脑的生产成本是3200元
（2）1993～1997年生产成本平均每年降低的百分比是11%
【解析】
【详解】（1）
（2）
21.已知函数且.
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性，并根据定义证明；
（Ⅱ）若，当时，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）。
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由奇函数的定义判断并证明；
（Ⅱ）由，求出，时，关于的方程有解，的取值范围就是值域，确定的单调性，得出值域即得的范围．
【详解】（Ⅰ）是奇函数.证明如下：
∵的定义域为R，又，∴是奇函数.
（Ⅱ）∵，即，
∴，
即或（舍去），∴，
∴当时，关于的方程有解，等价于有实数根.
又由复合函数的单调性可知，在上单调递增，则
，而，，即,
故所求实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点与方程根的分布问题．方程有解求参数取值范围，一般可利用分离参数法转化为求函数的值域．
22.设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。
（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数k的取值范围。
【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中； （Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据集合的性质检验；
（Ⅱ）求出的最大值，可得的范围．
【详解】（Ⅰ）因为在时是减函数，且，
所以不在集合A中，又因为时，，
所以且在上是减函数，在集合A中，
（Ⅱ）当时，，
又由对任意的恒成立，所以，
所以所求的实数的取值范围是．
【点睛】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．如恒成立，恒成立．
