北京市第八十中学2019-2020 学年高二下学期期中考试练习数学试题

北京市第八十中学2019-2020 学年高二下学期期中考试练习数学试题

北京市第八十中学2019~2020学年度第二学期期中练习 高二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1.图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法.‎ A. 120 B. ‎16 ‎C. 64 D. 39‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分类加法计数原理，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：由于书架上有本书，‎ 则从中任取一本书，共有16种不同的取法．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎2.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得.‎ 所以，所以切线斜率为3‎ 又时，，‎ 所以在点切线方程为，即.‎ 故选A.‎ ‎3. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：甲乙都未被录用的概率为,所以甲或乙被录用的概率为 考点：古典概型概率 ‎4.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先确定选择日月湖景区两名同学，有种选法；其他4名学生游览我市不包括日月湖在内的5个景区，共有种选法，故方案有种，选D.‎ ‎5.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率．‎ ‎【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，‎ 所以第二次取到红球的概率是：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题．‎ ‎6.某物体做自由落体运动的位移s(t)=gt2, g=‎9.8 m/s2,若=‎9.8 m/s,则‎9.8 m/s是该物体 A. 从0 s到1 s这段时间的平均速度 B. 从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度 C. 在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D. 在t=Δt s这一时刻的瞬时速度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）可知表示在这一时刻的瞬时速度，故选C.‎ ‎7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为 (　　)．‎ A. 0.9 ‎B. ‎0.8 ‎C. 1.2 D. 1.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎0.3 ‎ ‎0.5 ‎ ‎0.2 ‎ ‎∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.‎ ‎8.函数的导数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本函数求导公式和导数运算法则直接求导即可.‎ ‎【详解】解：，则，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，属于基础题．‎ ‎9.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，②，该同学参观两个画展，求出每种情况的参加方案的数目，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①，该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有 种选法， 可以在“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”中任选1个，有 种选法， 将选出2的2个展览安排在五一的上、下午，有种情况， 则只参观一共画展的方案有 种， ‎ ‎②，该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有种情况， 即参观两个画展有2种方案， 则不同的参观方案共有 个； 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎10.某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.‎ ‎【详解】解：平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，‎ 观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.‎ 二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中橫线上）‎ ‎11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数，解得的值，即为得出结果．‎ ‎【详解】解：由于，则，‎ 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，‎ 曲线的一条切线斜率是3，‎ 令导数，可得，‎ 所以切点的横坐标为2.‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题．‎ ‎12.的展开式中的常数项是_______________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，二项展开式的通项，要求展开式的常数项，只要令可求，代入可求 ‎【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为：‎ ‎，‎ 令，可得：，此时，‎ 即的展开式中的常数项为60.‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．‎ ‎13.已知抛物线过点，且在点处与直线相切，则__________，____________，_________________.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). -11 (3). 9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的导函数，再由题意知，函数过点，，且在点处的切线的斜率为1，即，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可.‎ ‎【详解】解：由于抛物线过点，‎ 则，，‎ 又，‎ 因为点处与直线相切，‎ 即切线的斜率为1，即，‎ ‎．‎ 又因为切点为，．‎ 把①②③联立得方程组，‎ 解得：，‎ 即，，．‎ 故答案为：3，-11，9.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.‎ ‎14.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为_____________，___________.‎ ‎【答案】 (1). 20 (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 记此人三次射击击中目标次得分为分，则， ，，根据和求出结果．‎ ‎【详解】解：根据题意，记此人三次射击击中目标次得分为分，‎ 则， ，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：20，.‎ ‎【点睛】本题考查独立重复实验的实际应用，以及二项分布的期望与方差，考查计算能力．‎ ‎15.已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是____.‎ ‎【答案】-560‎ ‎【解析】‎ 展开式的二项式系数之和为128，，解得；‎ ‎∴展开式的通项公式为，‎ 令，解得；‎ ‎∴展开式中含项的系数是 点睛：二项式定理揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝an－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．‎ ‎16.5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法有______种.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分步进行分析，1、先把5位大学毕业生分配到3组，2、将分好的3组全排列，对应3家单位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可．‎ ‎【详解】根据题意，分步进行 先把5位大学毕业生分配到3组，若分成 的三组，有种，‎ 若分成的三组，有种，即一共有种分法，‎ 将分好的3组全排列，对应3家单位，有种情况，‎ 则不同的分配方法有种 ‎【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于简单题．‎ ‎17.函数的导函数是，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．‎ 详解】解：因为，‎ 由于且，解得：且，‎ 即的定义域为：，‎ ‎，‎ 即：.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．‎ ‎18.口袋中有个白球，个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为，若，则的值为______ .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定第一次取出红球，第二次取出白球的取法种数；再确定取次的所有取球方法数；根据古典概型概率公式可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】说明第一次取出的是红球，第二次取出的白球，取球方法数为 取次的所有取球方法数 利用，即 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用问题，关键是能够确定符合题意的取法种数，属于基础题.‎ ‎19.某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：‎ 所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，‎ 即，‎ 故答案为：42．‎ ‎【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．‎ 三、解答题：本大题有4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎20.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案）‎ ‎（1）选其中5人排成一排；‎ ‎（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎（3）全体站成一排，男、女各站在一起；‎ ‎（4）全体站成一排，男生不能站在一起；‎ ‎（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.‎ ‎【答案】（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有种排法；‎ ‎（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种排法；‎ ‎（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，‎ 男生必须站在一起，则男生全排列，有种排法，‎ 女生必须站在一起，则女生全排列，有种排法，‎ 男生女生各看作一个元素，有种排法；‎ 由分布乘法的计数原理可知，共有种方法；‎ ‎（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，‎ 先安排女生，有种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有种排法，‎ 由分布乘法的计数原理可知，共有种方法；‎ ‎（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲，‎ 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有种排法，‎ 再对剩余的6人进行全排列，有种排法，‎ 所以共有种方法．‎ ‎【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．‎ ‎21.随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：‎ 根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :‎ ‎(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；‎ ‎(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．(只需写出结论)‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.65；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)先根据频率等于对应区间小长方形面积得“爱好”中华诗词的频率，再根据频数等于总数乘以频数，最后根据古典概率公式求概率(2)先确定“痴迷”的学生人数，确定随机变量取法，再分别根据组合数求对应概率，列表可得对应分布列，最后根据数学期望公式求期望（3）根据频率分布直方图可得甲平均值在区间[20,30],乙平均值在区间[30,40],甲数据比乙数据分散，所以可得均值与方差大小 试题解析：(Ⅰ) 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为，‎ 所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为. ‎ ‎(Ⅱ) 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，‎ 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，‎ 所以，随机变量的取值为.‎ 所以， ，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望为 . ‎ ‎(Ⅲ) ; ‎ ‎22.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；‎ ‎（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎（3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用即可求得的分布列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3）‎ 试题解答：（1）.所以的分布列为 X ‎ ‎-200 ‎ ‎10 ‎ ‎20 ‎ ‎100 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.‎ ‎（3）由（1）得：，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.‎ ‎【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.‎ ‎23.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.‎ 解析：‎ ‎(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，‎ 解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞) ‎