江西省临川2020届高三上学期第一次联考试题 数学（理）

江西省临川2020届高三上学期第一次联考试题 数学（理）

2019－2020 届临川一中上学期第一次联合考试 高三数学试题(理) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若 2 1 iz i   则 z z  A.－2 B.2 C. 5 2 D.－ 5 2 2.设集合 2{ }, { 3 2}A x x a B x x a     ，若 A B 为空集，则实数 a 的取值范围为 A.(1，2) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.[1，2] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 3.设 a，b∈R，则“(a－b)a2>0”是“a>b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若函数 f(x)＝ax－lnx 的图象上存在与直线 x＋2y－4＝0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是 A. (－2，＋∞) B. ( 1 2 ，＋∞) C. (－ 1 2 ，＋∞) D. (2，＋∞) 5.若 x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是 A.2x－2y>x2 B.  1 2 2 2 1x y log x   C. 2x－2y>1＋x D. 2x－2y>1－x 17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另 一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金 三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一 个顶角为 360 的等腰三角形(另一种是顶角为 1080 的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三 角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中， 5 1 2 BC AC  。根据这些 信息，可得 cos2160＝ A. 4 5 8  B. 1 5 4  C. 3 5 8  D.1 2 5 4  7.若函数 2 2 2, 1( ) log ( 1), 1 x xf x x x       ，在(－∞，a]上的最大值为 4，则 a 的取值范围为 A. (1，17] B. (1，9] C.[1，17] D. [1，9] 8.将编号为 1，2，3，4，5，6 的六个小球放入编号为 1，2，3，4，5，6 的六个盒子中，每个 盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A.40 B.60 C.80 D.100 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 7，则判断框内 m 的取值范围是 A.(30，42] B.(30，42) C.(42，56] D.(42，56) 10.已知 F1，F2 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点， B 为椭圆短轴的一个端点， 2 1 2 1 2 1 4BF BF F F    ，则椭圆的离心率的取值范围为 A.[0， 1 2 ] B.[0， 2 2 ] C. [0， 3 3 ] D. [ 1 2 ，1] 11.设曲线 y＝cosx 与 x 轴、y 轴、直线 6x  围成的封闭图形的面积为 b，若 g(x)＝2lnx－2bx2 －kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数 k 的取值范围是 A.[0，＋∞) B.(0.＋∞) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＋a2＝2， 1 2 3n na S   ，用[x]表示不超过 x 的最大 整数，设 bn＝[an]，数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则使 T2n>2019 成立的最小正整数 n 是 A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。 13. 91 2x x     展开式中的常数项为 . 14.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 a7＝－2a1，则 11 9 7 S S a  . 15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2，侧视图是 一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且 AB＝BC＝1，则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切 值是 。 16.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 是双曲线左支上的 一点，若直线 AF1 与直线 by xa  平行且△AF1F2 的周长为 9a，则双曲线的离心率为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题， 每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，已知 acosB＝(4c－b)cosA. (1)求 cosA 的值； (2)若 b＝4，点 M 在线段 BC 上， 2 , 10AB AC AM AM      ，求△ABC 的面积。 18.如图，在三棱锥 P－ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，AB＝6，BC＝ 2 3 ，D，E 分别为线 段 AB，BC 上的点，且 AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC。 (I)求证：PD⊥平面 ABC； (2)若直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 450，求平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角大小。 19.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率 3 2 ，一个长轴顶点在直线 y＝x＋2 上，若直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为 k1，直线 OQ 的斜率为 k2。 (1)求该椭圆的方程； (2)若 1 2 1 4k k   ，试问△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理 由。 20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点。每年来抚州参观 旅游的人数不胜数。其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现 对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查。若不去梦岛记 1 分，若继续去梦岛记 2 分。 每位游客去梦岛的概率均为 2 3 ，且游客之间的选择意愿相互独立。 (1)从游客中随机抽取 3 人，记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望； (2)若从游客中随机抽取 m 人，记总分恰为 m 分的概率为 Am，求数列{Am}的前 6 项和； (3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn， 探讨 Bn 与 Bn－1 之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式。 21.已知函数 2 21 1( ) (2ln 1) (ln 2)4 2f x x x ax x x     。 (1)讨论 f(x)的单调性。 (2)试问是否存在 a∈(－∞，e]，使得 1( ) 3 sin4 4 af x   ，对 x∈[1，＋∞)恒成立？若存在， 求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 cos ( [0,2 )sin x y        为参数)，在同一平面 直角坐标系中，经过伸缩变换 2x x y y      得到曲线 C1，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)。 (I)求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1 的极坐标方程； (II)若射线 OA：θ＝β(ρ>0)与曲线 C1 交于点 A，射线 OB：θ＝β＋ 2  (ρ>0)与曲线 C1 交于点 B， 求 2 2 1 1 OA OB  的值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 己知函数 2 1( ) 1 ( 0), ( ) 4 1af x x x a g x xa         。 (I)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥5 的解集； (II)若关于 x 的不等式 f(x)≤g(x)的解集包含[1，2]，求 a 的取值集合。 2019－2020 届临川一中上学期第一次联合考试 数学答案（理） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A D B B C A A C A B 二、填空题 13．－21 2 14．3 2 15． 16．2 三、解答题 17．解（1）∵acosB＝(4c－b)cosA， 由正弦定理得：sinAcosB＝(4sinC－sinB)cosA，…………2 分 即 sinAcosB＋cosAsinB＝4sinCcosA，即 sinC＝4 cosAsinC，…………4 分 在 中， ，所以 cosA＝1 4…………………………5 分 （2）AB→ ＋AC→ ＝2 AM→ ，两边平方得： ……6 分 由 b＝4，| AM→ |＝，cosA＝1 4 得 c2＋b2＋2×c×b× 1 4＝4×10，………………8 分 可得 c2＋16＋2c＝40……………………10 分 解得：c＝4 或 c＝－6（舍） ………………11 分 所以△ABC 的面积 s＝1 2bcsinA＝2 ………………12 分 18．解：(1)证明：∵AC＝2，BC＝2，AB＝6， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴cos∠ABC＝ 3 6＝ 3 3.又易知 BD＝2， ∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8， ∴CD＝2，又 AD＝4， ∴CD2＋AD2＝AC2， ∴CD⊥AB. ∵平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝AB，CD⊂平面 ABC， ∴CD⊥平面 PAB，又 PD⊂平面 PAB， ∴CD⊥PD， ∵PD⊥AC，AC∩CD＝C， ∴PD⊥平面 ABC.……………………5 分 (2)由(1)知 PD，CD，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， ∵直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45°，即∠PAD＝45°， ∴PD＝AD＝4， 则 A(0，－4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)， ∴ CB ―→＝(－2，2,0)， AC ―→＝(2，4,0)， PA ―→＝(0，－4，－4)． ∵AD＝2DB，CE＝2EB， ∴DE∥AC，由(1)知 AC⊥BC， ∴DE⊥BC， 又 PD⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PD⊥BC， ∵PD∩DE＝D， ∴CB⊥平面 PDE， ∴ CB ―→＝(－2，2,0)为平面 PDE 的一个法向量． 设平面 PAC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 AC ―→ PA ―→ PA ＝0，即 2x＋4y＝0， －4y－4z＝0，令 z＝1，得 x＝，y＝－1， ∴n＝(，－1,1)为平面 PAC 的一个法向量． ∴cos＝ －4－2 12 ＝－ 3 2， ∴平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角的余弦值为 3 2， 故平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角为 30°.……………………12 分 19．解：由 e＝c a＝3 2，又由于 a＞b＞0，一个长轴顶点在直线 y＝x＋2 上， 可得：a＝2，c＝，b＝1 （1）故此椭圆的方程为x2 4 ＋y2＝1………………5 分 （2）设 P(x1，y1)，Q(x1，y1)，当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋m 联立椭圆的方程得： (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0 由△＝64k2m2－4(4k2＋1)( 4m2－4)＞0，可得 m2＜4k2＋1 则 x1＋x2＝－ 8km 4k2＋1 ，x1·x2＝4m2－4 4k2＋1 |PQ|＝·|x1－x2|＝· ＝4·4k2－m2＋1 4k2＋1 又点 O 到直线 y＝kx＋m 的距离 d＝ |m| k2＋1 S△OPQ＝1 2·d·|PQ|＝2|m|·4k2－m2＋1 4k2＋1 由于 k1·k2＝y1y2 x1x2＝x1＋x2＋m2 x1x2 ＝－ 1 4， 可得：4k2＝2m2－1 故 S△OPQ＝2|m|·2m2－1－m2＋1 2m2 ＝1 当直线 PQ 的斜率不存在时，可算得：S△OPQ＝1 故△OPQ 的面积为定值 1……………………12 分 20．（1）X 可能取值为 3，4，5，6 P(X＝3)＝( 1 3)3 ＝ 1 27 P(X＝4)＝C31 ( 2 3)( 1 3)2 ＝ 6 27…………1 分 P(X＝5)＝C32 ( 2 3)2( 1 3) ＝12 27 P(X＝6)＝ ( 2 3)3 ＝ 8 27…………2 分 故其分布列为……………………3 分 X 3 4 5 6 P 1 27 6 27 12 27 8 27 E(X)＝5………………4 分 （2）①总分恰为 m 的概率 Am＝( 1 3)m……………………6 分 故 S6＝1 3＝364 729……………………8 分 ②已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn， 得不到 n 分的情况只有先得 n－1 分，再得 2 分，概率为 2 3Bn－1，而 B1＝1 3…………9 分 故 1－Bn＝2 3Bn－1，即 Bn＝－2 3Bn－1＋1…………10 分 可得 Bn－3 5＝－2 3( Bn－1－3 5)，B1－3 5＝－ 4 15…………11 分 可得 Bn＝3 5＋2 5·(－2 3)n……………………12 分 21．解：（1）f / (x)＝xlnx－alnx＋a－x＝(x－a)(lnx－1)，x∈(0，＋∞)………………1 分 ①当 a＝e 时，f / (x) ＝(x－e)(lnx－1)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增…………2 分 ②当 a≤0 时，x－a＞0，f(x)在(0，e) 上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增…………3 分 ③当 0＜a＜e 时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，＋∞)上单调递增…………4 分 ④当 a＞e 时， f(x)在(e，a) 上单调递减，在(0，e)，(e，＋∞)上单调递增…………6 分 （2）假设存在 a∈(－∞，e]，使得 f(x)＞3＋1 4sin aπ 4 对任意 x∈[1，＋∞)恒成立 则 f(1)＝2a－3 4＞3＋1 4sin aπ 4 ，即 8a－sin aπ 4 －15＞0…………7 分 设 g(x)＝8x－sin πx 4 －15，g/ (x)＝8－π 4cos πx 4 ＞0，则 g(x)单调递增 由于 g(2)＝0，所以 a＞2 ①当 a＝e 时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 f(x)min＝f(1)，所以 a ＞2， 从而 a＝e 满足题意…………8 分 ②当 2＜a＜e 时， f(x)在(a，e) 上单调递减，在(0，a)，(e，＋∞)上单调递增 所以1 4 aπ 4 1 4 aπ 4 aπ 4 ，可aπ 4 aπ－e2－12＞0 （1）…………9 分 设 h(x)＝4ex－sin πx 4 －e2－12，h/ (x)＝4e－π 4cos πx 4 ＞0，则 h(x)是单调递增函数………… 10 分 由于 h(2)＝8e－e2－13＞0 可得 h(x)的零点小于 2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以 2＜a＜e…………11 分 综上，存在 a∈(－∞，e]，使得 f(x) ＞3＋1 4sin aπ 4 对 x∈[1，＋∞]恒成立， 且 a 的取值范围是(2，e] …………12 分 22．(1)C：x2＋y2＝1， 曲线 C1：x/＝2cosα y/＝sinα ，得 x/2＋4y/2＝4…………2 分 即ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4………………5 分 （2） θ＝β ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，有 1 ρ2＝cos2θ 4 ＋sin2θ…………7 分 ∴ 1 |OA|2＝cos2θ 4 ＋sin2θ，…………8 分 同理 1 |OB|2＝2＋sin2(θ＋π 2)＝sin2θ 4 ＋cos2θ…………9 分 故 1 |OA|2＋ 1 |OB|2＝5 4………………10 分 23．（1）f(x)＝|x－2|＋|x－1|≥5 可解得 x∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5 他 （2）由|x－a2＋1 a |＋|x－1|≤4－|x＋1|在[1，2]上恒成立， 由于 a＞0，可得a2＋1 a ≥2…………6 分 等价于a2＋1 a －x＋x－1≤4－x－1 在[1，2]上恒成立…………7 分 即a2＋1 a ≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8 分 即a2＋1 a ≤2，可得 a＝1，…………9 分 故 a 的取值集合为{1}…………10 分