江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考 数学

江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考 数学

‎2020届高三模拟考试试卷 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2020．5‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|x<1}，则A∪B＝________．‎ ‎2. 已知复数z＝(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，a为实数，则＝________．‎ ‎3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．‎ ‎　　‎ ‎(第3题)　　　　　　　　　　　‎ ‎　4. 运行如图所示的伪代码，则输出S的值为________．‎ S←0‎ I←1‎ While I<10‎ ‎　S←S＋I ‎　I←I＋2‎ End While Print S ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(第4题)‎ ‎5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．‎ ‎6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝2S10，则＝________．‎ ‎7. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)‎ ‎·18·‎ ‎＝________．‎ ‎8. 将函数f(x)＝2sin(x＋)sin(－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．‎ ‎9. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点．若F1F2＝AB，则双曲线的渐近线方程为____________．‎ ‎10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，△ABE是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．‎ ‎11. 在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6，∠DAB＝60°，＝，＝.若＝2，则·＝________．‎ ‎12. 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3bcos C，则＋＋的最小值为________．‎ ‎13. 已知圆O：x2＋y2＝4，点A(2，2)，直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足 ＝2.若AE2＋2AP2＝48，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围是________．‎ ‎14. 若函数f(x)＝(x3－3a2x＋2a)·(ex－1)的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝asin(－B)．‎ ‎·18·‎ ‎(1) 求角B的大小；‎ ‎(2) 若a＝2，c＝3，求sin(A－C)的值．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，M是棱CC1上的一点．‎ ‎(1) 求证：BC⊥AM；‎ ‎(2) 若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求证：M是棱CC1中点．‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC与扇形OCD组成，OA＝30米，AB＝50米，∠COD＝，经营者决定在O点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设∠FOC＝θ.‎ ‎(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；‎ ‎(2) 求监控区域面积S最大时，角θ的正切值．‎ ‎·18·‎ ‎·18·‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，点A，B为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上一点，且直线PF1的倾斜角为，PF1＝2，椭圆的离心率为.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 设M，N为椭圆上异于A，B的两点，若直线BN的斜率等于直线AM斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，g(x)＝ex.‎ ‎(1) 若a＝b＝1，c＝－1，求函数h(x)＝在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2) 若a＝1，且x＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间；‎ ‎(3) 若b＝2a，c＝2，且对任意x≥0，≤2x＋2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎·18·‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 设数列{an}(任意项都不为零)的前n项和为Sn，首项为1，对于任意n∈N*，满足Sn＝.‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 是否存在k，m，n∈N*(k0)，若由{bn}的前r项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r的最大值．‎ ‎·18·‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(十三)‎ 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修42：矩阵与变换)‎ 求椭圆C：＋＝1在矩阵A＝对应的变换作用下所得曲线C′的方程．‎ B. (选修44：坐标系与参数方程)‎ 在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin(θ＋)＝与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ C. (选修45：不等式选讲)‎ 已知正数a，b，c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值．‎ ‎·18·‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．‎ ‎(1) 求异面直线A1M与C1E所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角AMA1N的平面角的正弦值．‎ ‎23. 已知数列{an}满足an＝m＋＋＋＋…＋，n∈N*，其中m为常数，a2＝4.‎ ‎(1) 求m，a1的值；‎ ‎(2) 猜想数列{an}的通项公式，并证明．‎ ‎·18·‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(南京)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. (－∞，2)　2. －4i　3. 　4. 25　5. 　6. －8　7. 3　8. 　9. y＝±x ‎10. 　11. 21　12. 　13. (，)　14. [－1，0)∪(0，1]‎ ‎15. 解：(1) 在△ABC中，由正弦定理＝，及bsin A＝asin(－B)，‎ 得sin Bsin A＝sin Asin(－B)．(2分)‎ 由A∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B＝sin(－B)，‎ 展开得sin B＝sin cos B－cos sin B，即sin B＝cos B．(4分)‎ 又由B∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B≠0，‎ 从而有tan B＝，可得B＝.(6分)‎ ‎(2) 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，‎ 得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.(7分)‎ 由＝，得＝，解得sin A＝.‎ 因为ab>0)的离心率为，所以a＝c.‎ 设椭圆右焦点为F2，在△F1PF2中，PF1＝2，∠PF1F2＝，‎ 由余弦定理得(2a－2)2＝22＋(2c)2－2×2c×2×cos ，解得c＝，则a＝2，b＝，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2) (解法1)设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立 整理得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－4)>0.‎ 设M(x1，y1)，则－2x1＝，即x1＝，从而y1＝.(8分)‎ 由kBN＝2kAM，可得直线BN的方程为y＝2k(x－2)，联立 整理得(8k2＋1)x2－32k2x＋32k2－4＝0，Δ＝322k4－4(8k2＋1)(32k2－4)>0.‎ 设N(x2，y2)，则2x2＝，即x2＝，从而y2＝.(12分)‎ ‎·18·‎ 由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN的面积 S＝×4×(y1－y2)＝2(＋)‎ ‎＝24×＝24×＝24× ‎＝24×＝.‎ 令t＝＋4k，则t≥2＝4(当且仅当k＝时取等号)，则S＝≤＝，‎ 故S的最大值为.(16分)‎ ‎(解法2)设M(x1，y1)，则y＝(4－x)，A(－2，0)，B(2，0)，则 kMA·kMB＝·＝＝－.(6分)‎ 由kBN＝2kMA，故kBN·kBM＝－1.(7分)‎ 设直线MN的方程为x＝my＋t，联立 整理得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，即t2<2m2＋4.‎ 设N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝.(9分)‎ 由kBN·kBM＝－1，得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，将y1＋y2＝－，y1y2＝代入整理得(m2＋1)(t＋2)－2m2t＋(t－2)(m2＋2)＝0，即t＝，满足t2<2m2＋4.(12分)‎ 则四边形AMBN的面积 S＝×4|y1－y2|＝2＝2＝，‎ 令u＝m2＋2，则S＝，u≥2，解得S的最大值为.(16分)‎ ‎19. 解：(1) (1) 因为a＝b＝1，c＝－1，所以h(x)＝，h′(x)＝.‎ ‎·18·‎ 令x＝1，则h′(1)＝，又h(1)＝，所以y－＝(x－1)，即2x－ey－1＝0.(2分)‎ ‎(2) 因为a＝1，所以m(x)＝(x2＋bx＋c)ex，m′(x)＝[x2＋(b＋2)x＋b＋c]ex.‎ 因为x＝1是函数m(x)的一个极值点，‎ 所以m′(1)＝0，解得c＝－2b－3，‎ 则m′(x)＝[x2＋(b＋2)x－b－3]ex＝(x－1)[x＋(b＋3)]ex.‎ 令m′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－b－3.(4分)‎ 因为x＝1是一个极值点，所以－b－3≠1，即b≠－4.‎ 当－b－3>1，即b<－4时，‎ 由m′(x)>0解得x∈(－∞，1)或x∈(－b－3，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(1，－b－3)；‎ 当－b－3<1，即b>－4时，‎ 由m′(x)>0解得x∈(－∞，－b－3)或x∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(－b－3，1)．(7分)‎ 综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b－3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b－3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b－3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b－3，1)．(8分)‎ ‎(3) 因为b＝2a，c＝2，所以＝≤2x＋2对任意x≥0恒成立，‎ 即ax2＋2ax＋2－(2x＋2)ex≤0对任意x≥0恒成立．‎ 令p(x)＝ax2＋2ax＋2－(2x＋2)ex，p(0)＝0，‎ 由p(1)＝3a＋2－4e≤0得a≤.(9分)‎ p′(x)＝2a(x＋1)－2(x＋2)ex.‎ ‎①当a≤0时，对任意x≥0，p′(x)≤0，所以函数y＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减，‎ 故p(x)≤p(0)＝0，得a≤0符合题意．(10分)‎ ‎②当00，即20，G(1)＝4a－6e<0，得G(0)G(1)<0.‎ 又函数y＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减，‎ 由零点存在定理可得，存在唯一x0∈(0，1)，使得G(x0)＝0.‎ 所以，当x∈(0，x0)时，G(x)＝p′(x)>0，‎ 所以函数y＝p(x)在(0，x0)上单调递增，故当x∈(0，x0)时p(x)>0，与题意不符．‎ 综上，实数a的取值范围是a≤2.(16分)‎ ‎20. 解：(1) 数列{an}是非零数列，所以an≠0.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝，a2＝2；‎ 当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝－，‎ 所以an＋1－an－1＝2，(2分)‎ 所以{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a2n}是首项为2，公差也为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)＝2n－1，a2n＝a2＋2(n－1)＝2n，‎ 所以an＝n.(4分)‎ ‎(2) 设k，m，n∈N*(k8，01.(11分)‎ 设函数f(x)＝，求导f′(x)＝＝0，x＝e，当00，所以f(x)是增函数；当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x＝e处取极大值．‎ 所以，当n≥4时是递减数列，<，所以是的最大值，ln q>.(13分)‎ 设函数g(x)＝，求导g′(x)＝<0(x≥1)，所以是递减数列，当n＝6时，>；当n＝8时，＝<.(15分)‎ 所以当2≤n≤6时，存在q>3，(*)式成立，当n＝8时(*)式右侧不等式不成立．‎ 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r的最大值是8.(16分)‎ ‎·18·‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(南京)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. A. 解：设P(x，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C：＋＝1上的点P1(x′，y′)在矩阵A＝对应变换作用下的对应点，则＝＝，(4分)‎ 即　所以(6分)‎ 将代入＋＝1，得x2＋y2＝1.(10分)‎ B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分)‎ 由直线ρsin(θ＋)＝得ρsin θ·＋ρcos θ·＝，‎ ‎∴y＋x＝，即y＝－x＋.(4分)‎ ‎∴直线与x轴的交点为(1，0)．‎ 又点P的直角坐标为(1，1)，∴圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.(6分)‎ ‎∵ x2＋y2－2x＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ.‎ 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)‎ C. 解：因为(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3·3·3＝27＝27，(6分)‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，‎ 所以(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值为27.(10分)‎ ‎22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，所以∠BAD＝60°.‎ 由E为BC的中点，可得DE⊥BC.又AD∥BC可得DE⊥AD.‎ ‎·18·‎ 以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)‎ 则A1(2，0，4)，M(1，，2)，C1(－1，，4)，E(0，，0)，‎ ＝(－1，，－2)，＝(1，0，－4)，‎ cos〈，〉＝＝＝.‎ 所以，异面直线A1M与C1E所成角的余弦值为.(4分)‎ ‎(2) N(1，0，2)，＝(0，0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(0，－，0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则 所以可取m＝(，1，0)．(6分)‎ 设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则 所以可取n＝(2，0，－1)．(8分)‎ 于是cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 所以二面角AMA1N的正弦值为.(10分)‎ ‎23. 解：(1) 因为an＝m＋＋＋＋…＋，‎ ‎·18·‎ 所以a2＝m＋3＝4，所以m＝1，此时a1＝2.(2分)‎ ‎(2) 猜想：an＝2n.证明如下：(3分)‎ ‎①当n＝1时，由上知结论成立；(4分)‎ ‎②假设n＝k时结论成立，‎ 则有ak＝1＋＋＋＋…＋＝2k.‎ 则n＝k＋1时，ak＋1＝1＋＋＋＋…＋.‎ 由C＝C＋C得 ak＋1＝1＋＋＋＋…＋＋ ‎＝2k＋＋＋＋…＋＋，‎ ak＋1＝2k＋(C＋＋＋…＋＋)‎ ‎＝2k＋(C＋＋＋…＋＋)．(7分)‎ 又C＝＝＝＝C ‎＝2k＋(C＋＋＋…＋＋＋)，‎ 于是ak＋1＝2k＋ak＋1，所以ak＋1＝2k＋1，故n＝k＋1时结论也成立．‎ 由①②得an＝2n，n∈N*.(10分)‎ ‎·18·‎