高中数学第7章（第5课时）直线的方程3

高中数学第7章（第5课时）直线的方程3

课 题： 7.2直线的方程（三）‎ 教学目的：‎ ‎1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程. ‎ ‎2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,培养学生综合运用知识解决问题的能力.‎ ‎3.对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.‎ 教学重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.‎ 教学难点：运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论. ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ 本课时讲解直线方程的一般式，着重于直线方程一般式的概念建立以及一般式与特殊式之间的互化。若学生基础不好或时间宽裕的话，建议运用一个机动课时，上一节直线方程的习题课 众所周知，“数学教学就是数学活动的教学”，也就是说，应在教学中充分安排观察、回忆、讨论、尝试和发言，使之参与到数学知识的实验、发现过程中去，体验知识的形成过程。本着这个原则，结合教学内容，本节教学采用引导探究式的教学方法为主，并根据不同的内容调整教法。如公式的推导采用教师引导，学生自主探究的方法；例题采用教师精讲，学生精练，教师适时点拨的方法；巩固性训练采用自测练习，教师讲评的方法；综合应用采用分组讨论、交流、汇报，教师点评的方法等 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1. 直线的点斜式方程--已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式.‎ 直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.‎ ‎2．直线的斜截式方程－已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式.‎ ‎⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.‎ ‎⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.‎ ‎⑶斜截式中，，的几何意义 ‎3. 直线方程的两点式 当，时，经过　B（的直线的两点式方程可以写成：.‎ 倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为或的直线，两点式应变为的形式.‎ ‎4．直线方程的截距式 定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距.‎ 过A(,0) B(0, )　（,均不为0）的直线方程叫做直线方程的截距式. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式.‎ 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 斜截式 两点式 ‎（‎ 截距式 问题1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？‎ 答：‎ 直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都有局限性，即无法表示平面内的任一条直线.‎ 问题2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？‎ 二、讲解新课：‎ ‎5. 直线方程的一般形式：‎ 点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成 ‎(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式 探究1：方程总表示直线吗？‎ 根据斜率存在不存在的分类标准，即B等于不等于0来进行分类讨论：‎ 若方程可化为，它是直线方程的斜截式，表示斜率为，截距为的直线；‎ 若B=0，方程变成.由于A、B不全为0，所以，则方程变为，表示垂直于X轴的直线，即斜率不存在的直线.‎ 结论：当A、B不全为0时，方程表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线.‎ 探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程都可以表示成(A、B不全为0)的形式吗？‎ 可采用多媒体动画演示，产生直线与轴的不同位置关系(旋转)，从而直观、形象地揭示分类讨论的本质，得出“任何一条直线的方程都是关于的二元一次方程，任何关于的二元一次方程都表示一条直线”的结论 三、讲解范例：‎ 例1 (2001年全国)设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是 A. B. 2‎ C. D.‎ 解法一：由得A（－1，0）.‎ 又｜PA｜＝｜PB｜知点P为AB中垂线上的点，故B(5，0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为－1，所以选C.‎ 解法二：＝0代入得A(－1，0).‎ 由解得P（2，3）.‎ 设B（,0），由｜PA｜＝｜PB｜解得＝5.‎ 由两点式 整理得PB直线方程：，故选C ‎ 例2 (1997年全国)已知过原点O的一条直线与函数的图像交于A、B两点，分别过点A、B作轴的平行线与函数的的图像交于C、D两点．‎ ‎(Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上；‎ ‎(Ⅱ)当BC平行于轴时，求点A的坐标．‎ 解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为、由题设知，>1，>1．则点A、B纵坐标分别为、．‎ 因为A、B在过点O的直线上，所以，‎ 点C、D坐标分别为（，)，（，)．‎ 由于=－3，==3‎ OC的斜率 ，‎ OD的斜率 ．‎ 由此可知，，即O、C、D在同一条直线上．‎ ‎ (Ⅱ)由于BC平行于x轴知= ，‎ 即得 =，∴ ．‎ 代入=‎ 得=3．‎ 由于>1知≠0，∴ =3．‎ 考虑>1解得=．于是点A的坐标为(， ) ‎ 四、课堂练习：‎ 课本P４3练习 ‎1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：‎ ‎(1)斜率是－，经过点A（８，－2）；‎ ‎(2)经过点B(４，2），平行于轴；‎ ‎(3)在轴和轴上的截距分别是,－3；‎ ‎(4)经过两点（3，－2）、（5，－４）.‎ 解：(1)由点斜式得－（－2）＝－（－８)‎ 化成一般式得＋2－４＝0‎ ‎(2)由斜截式得＝2，化成一般式得－2＝0‎ ‎(3)由截距式得，化成一般式得2－－3＝0‎ ‎(4)由两点式得，化成一般式得＋－1＝0‎ ‎2.已知直线 ‎(1)当B≠0时，斜率是多少?当B＝0时呢?‎ ‎(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?‎ 答：(1)当B≠0时，方程可化为斜截式： ∴斜率.‎ 当B＝0时，A≠0时，方程化为与轴垂直，所以斜率不存在.‎ ‎(2)若方程表示通过原点的直线，则(0，0)符合直线方程，则C＝0.‎ 所以C＝0时，方程表示通过原点的直线.‎ ‎3.求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形：‎ ‎(1)3＋－5＝0；(2)＝1；(3) ＋2＝0；‎ ‎（４）7－6＋４＝0；(5)2－7＝0.‎ 解：(1)＝－3，在轴上截距为5‎ ‎(2)化成斜截式得＝－5∴＝，b＝－5.‎ ‎(3)化成斜截式得＝－∴＝－，b＝0.‎ ‎(4)化成斜截式得＝‎ ‎(5)化成斜截式得＝，∴＝0，b＝.‎ 图形（略）‎ 五、小结 ：通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A、B不全为0）；‎ 点在直线上 ‎ 六、课后作业：‎ ‎5.一条直线和y轴相交于点P(0，2），它的倾斜角的正弦值是，求这条直线的方程.这样的直线有几条?‎ 解：设所求直线的倾斜角为α，‎ 则sinα＝，cosα＝±＝± ，∴tanα＝±‎ ‎∴由点斜式得：－2＝±‎ ‎∴所求直线有两条，方程分别为：＝＋2，＝－＋2.‎ ‎9.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程.‎ 解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示.‎ 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.‎ 所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）由截距式得：＝1，即3x－４y＋12＝0这是直线AB的方程；‎ 由截距式得＝1即3＋４－12＝0这是直线BC的方程；‎ 由截距式得＝1 即3＋４y＋12＝0这是直线AD的方程；‎ 由截距式得＝1即3－４－12＝0，这是直线CD的方程.‎ ‎10.求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.‎ 解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3－2＝0‎ 若截距不为0，则设直线方程为＝1‎ 将点P（2，3）代入得＝1，解得a＝5‎ ‎∴直线方程为＝1，即＋＝5 ‎ ‎11.直线方程的系数A、B、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质?‎ ‎(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与轴相交.‎ ‎(3)只与轴相交；(4)是轴所在直线；(5)是轴所在直线.‎ 答：(1)当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交.‎ ‎(2)当A≠0，B=0时，直线只与轴相交.‎ ‎(3)当A＝0，B≠0时，直线只与轴相交.‎ ‎(4)当A＝0，B≠0，C＝0，直线是轴所在直线.‎ ‎(5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是轴所在直线 七、板书设计（略）‎ 八、课后点评：‎