江苏省镇江市镇江中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题
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高一教学质量检测（数学）2019.10
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由并集定义直接求得结果.
【详解】由并集定义可知：
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2.命题：，的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据含全称量词命题否定可直接得到结果.
【详解】由含全称量词命题否定可知命题的否定为：，
本题正确选项：
【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
3.因式分解：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由十字相乘法可进行因式分解.
【详解】由十字相乘法可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，属于基础题.
4.“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.
【详解】当时，，可知充分条件成立
当时，，可知必要条件不成立
“”是“”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.
5.下列集合表示同一集合是( )
A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C. M＝{4，5}，N＝{5，4}
D. M＝{1，2}，N＝{(1，2)}
【答案】C
【解析】
对于A，两个集合中的元素不同，对于选项B，一个集合中元素是点，一个元素是实数，不是同一个；对于C，列举法法表示集合时，与元素顺序无关，故是相同的集合；对于D，一个元素是数，一个元素是点，故不同 .故选C.
6.下列叙述正确的有（ ）个
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
通过反例可知③和④错误；根据绝对值的意义可知①和②正确.
详解】当时，，①正确；当时，，②正确
当，时，，且，③和④错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查绝对值的意义，属于基础题.
7.已知，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作差后，对和进行平方运算后作差，可知，从而可得，进而得到结果.
【详解】
且，
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用作差法比较两式大小的问题，关键是能够通过对所得的差进行分部分的平方运算，通过平方的差的符号确定两式的大小关系.
8.二次函数，的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可知时取最小值，时取最大值，代入求得，从而得到结果.
【详解】
当时，；当时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查二次函数在区间内的最值的求解问题，属于基础题.
9.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元一次不等式的解集可确定且；将所求分式不等式转化为，解不等式求得结果.
【详解】的解集为 且
由得：，解得：或
即不等式的解集为：或
本题正确选项：
【点睛】本题考查分式不等式的求解问题，关键是能够根据一元一次不等式的解集得到之间的关系.
10.设集合或，或，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由交集结果可知，从而得到不等式组，解不等式求得结果.
【详解】 ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据交集运算的结果求解参数范围，属于基础题.
11.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】若a
b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.
12.设，，为实数，，，记集合，，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
令，得到或；当可得，令和可确定或，排除；当时，可知根为，分别在、且、且时得到，讨论可求得，从而排除，得到结果.
【详解】令，即或
当，即无实根时，
此时无实根
时，无根；时，有唯一解
或，则有可能出现
当时，有两个相等实根
若，则，此时
若且，则，此时
若，则的根为：；又
，即时，
此时有唯一解：
若，则有唯一解，即
若，且，即时，有两解 ，则有可能出现
本题正确选项：
【点睛】本题考查新定义运算的问题，考查了一元高次方程根的个数的讨论，关键是能够根据一元二次方程根的个数，通过讨论的方式来进行排除.
二、填空题。
13.因式分解________
【答案】
【解析】
【分析】
将看做一个整体，利用十字相乘法化为乘积的形式；再次利用十字相乘法可得到结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用十字相乘法进行因式分解的问题，属于基础题.
14.若集合中只有一个元素，则实数的值为________
【答案】或
【解析】
【分析】
当时，可验证其满足题意；当时，根据一元二次方程只有唯一解可得到判别式等于零，进而求得.
【详解】当时，，解得：
中只有一个元素，满足题意
当时，由中只有一个元素得：，解得：
综上所述，的取值为：或
本题正确结果：或
【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数值的问题，易错点是忽略二次项是否为零的讨论，造成丢根的情况出现.
15.若，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知等式可得，将所求式子变为，代入可求得结果.
【详解】由得：，即
本题正确结果：
【点睛】本题考查配凑法求解多项式的值的问题，关键是能够将所求式子化为的形式，利用已知等式求得的值即可求得结果.
16.当时，恒成立，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
令，可得其对称轴为；分别在、和三种情况下求得，利用可解得结果.
【详解】令，则其对称轴为：
①当时，
则，解得：
②当时，
则，解得：
③当时，
则，解得：
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，通过最值与参数的大小关系构造不等式求得结果.
三、解答题。
17.设，，或，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
求解出集合；（1）根据交集定义直接求得结果；（2）根据补集定义分别求得的补集，根据交集定义求得结果.
【详解】由题意得：或
（1）
（2）或，
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算和补集运算，属于基础题.
18.（1）求下列方程组的解集
（2）求下列不等式组的解集
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）采用代入消元法可求得，进而得到，从而求得解集；（2）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解，解一元二次不等式求得结果.
【详解】（1）由得：
代入得：，解得：或
当时，；当时，
方程组的解集为：
（2）由得：，解得：或
由得：
，解得：或
综上所述：或
不等式组的解集为：或
【点睛】本题考查二元二次方程组的求解、分式不等式的求解，属于基础题.
19.某地区上年度电价为元/kW•h，年用电量为kW•h．本年度计划将电价降低到0．55元/ kW•h到0．75元/ kW•h之间，而用户期望电价为0．40元/ kW•h．经测算，下调电价后新增用电量与实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为），该地区电力的成本价为0．30元/ kW•h．
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价之间的函数关系式；
（2）设=，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？（注：收益=实际电量×（实际电价-成本价））
【答案】（1）（）；
（2）为保证电力部门的收益比上一年至少增长20%，电价至少定为0．6元/kW•h．
【解析】
【详解】解:（1）依题意，本年度实际用电量为，
∴（）；
（2）上年度电力部门实际收益为（元），
本年度电力部门预收益为，
依题意，知，
化简整理得，即，
又，故得，
即为保证电力部门的收益比上一年至少增长20%，电价至少定为0．6元/kW•h．
20.已知关于的函数.
（1）求关于的不等式的解集：；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；（2）
【解析】
分析】
（1）分别在、、三种情况下解不等式求得结果；（2）由（1）知满足题意，分别在、两种情况下求得，利用构造不等式求得结果.
【详解】（1）当，即时，
当时，即时，
当时，即时，
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为
（2）由（1）知，时，满足题意
当时，，解得：
当时，，解得：
综上所述：
【点睛】本题考查一元一次不等式的求解、恒成立问题的求解；易错点是忽略一次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.
21.命题，命题.
（1）若，在上恒成立，求实数的取值范围：
（2）若，是的必要不充分条件，求出实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由所给一元二次不等式大于零恒成立可得，从而解不等式求得结果；（2）当时，可将化为，由是的必要不充分条件，可知中不等式的解集为中不等式解集的子集；分别在、和三种情况下解出的解集，根据包含关系得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】（1）当时，
不等式在上恒成立 ，解得：
实数的取值范围为
（2）由得：或
即命题或
当时，
①当，即时，命题或
是的必要不充分条件 为的真子集
，解得：
②当，即时，命题或
，解集为
③当，即时，命题，不满足题意
综上所述：
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题的求解、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够将必要不充分条件转化为两个不等式解集的包含关系，通过分类讨论解出含参数不等式的解集，进而求得结果.
22.已知：二次函数，
（1）二次函数顶点坐标为，求二次函数的解析式：
（2）若，
①求证：必有两个不相等的实数根，
②求的取值范围
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数顶点式写出二次函数，根据对应项系数相同且构造方程组求得，进而得到解析式；（2）①假设，可验证出不成立，得到；写出判别式，当可得不合题意，从而，得到，结论可证得；②利用韦达定理可将所求式子化为，由的取值范围可求得的范围，即为所求结果.
【详解】（1）由顶点坐标可得二次函数为：
，又 ，解得：
二次函数解析式为：
（2）①假设，由知：
与矛盾
则
若，则，，不满足
，即
必有两个不相等的实根
②由①知：，且
且 ，即，又
又且
，即的取值范围为
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到二次函数解析式的求解、一元二次方程根的个数的判断、韦达定理求解取值范围问题等知识；关键是能够将范围的求解转化为的范围的求解问题.
