高考数学复习课时提能演练(五十六) 8_7

高考数学复习课时提能演练(五十六) 8_7

‎ ‎ 课时提能演练(五十六)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.(2012•福州模拟)已知双曲线=1的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为( )‎ ‎(A)5y2－x2=1 (B)=1‎ ‎(C)=1 (D)5x2-＝1‎ ‎2.(2012·沈阳模拟）双曲线-y2=1(n＞1)的两个焦点为F1,F2,P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=，则△PF‎1F2的面积为( )‎ ‎(A) (B)1 (C)2 (D)4‎ ‎3.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4.(预测题)已知双曲线-=1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于( )‎ ‎（A）4 （B）2 （C）1 （D）‎ ‎5.(2012·‎ 哈尔滨模拟）已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，过A作x轴的垂线，B为垂足，且=（O为原点），则此双曲线的离心率为( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)‎ ‎6.设F1、F2分别为双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F‎1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ ‎（A）3x±4y=0 （B）3x±5y=0‎ ‎（C）4x±3y=0 （D）5x±4y=0‎ 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.(2012·厦门模拟)设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°,且｜AF1｜=3|AF2|,则双曲线离心率为_________.‎ ‎8.P为双曲线x2-=1右支上一点，M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为_______.‎ ‎9.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若=(+)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为_______(写出所有真命题的序号)．‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．‎ ‎(1)求双曲线的离心率e；‎ ‎(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且·＝，＋＝，求双曲线E的方程.‎ ‎11.(易错题)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．‎ ‎(1)求C的离心率；‎ ‎(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，求证：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎【探究创新】‎ ‎（16分）某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A，B，C），B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北偏东30°方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.‎ ‎(1)求A、C两地救援中心的距离；‎ ‎(2)求P相对A的方向角；‎ ‎(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点（如图2，返回仓经Q点垂直落至P点）处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选A.由=1的一个焦点与x2=4y的焦点重合知c＝1，又b=‎2a故a2+b2=‎5a2=1,∴a2=,b2=.‎ ‎∴所求双曲线方程为5y2-x2＝1，选A.‎ ‎2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则,‎ ‎∴|PF1|=,|PF2|=，‎ 又c=,‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F‎1F2|2,‎ ‎∴∠F1PF2=90°,‎ ‎∴==1.‎ ‎3.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为-=1（a>0,b>0），则双曲线的渐近线的斜率k=，‎ 一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以kFB=，又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，所以k·kFB==-1（显然不符合）,‎ 即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,‎ 即e2-e-1=0，解得e=（负值舍去）.‎ ‎【变式备选】双曲线 -=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,则的最小值为 ‎( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)1‎ ‎【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以=2，‎ 即c=2a，c2=4a2；‎ 又因为c2=a2+b2，‎ 所以a2+b2=‎4a2，即b=，‎ 因此==≥=，当且仅当a=时等号成立.‎ 即的最小值为.‎ ‎4.【解析】选A.设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的定义知：‎ ‎|MF2|-|MF1|=10,‎ 又因为|MF2|=18，所以|MF1|=8,‎ 而|ON|=|MF1|=4.‎ ‎5.【解题指南】解答本题的关键是求出点A的横坐标，可先设出双曲线方程、焦点F的坐标，求出直线FA的方程从而联立方程组求A的坐标.‎ ‎【解析】选B.不妨设双曲线方程为- =1‎ ‎(a＞0,b＞0),渐近线方程为y=x,F(c,0),‎ 则直线FA的方程为y=(x-c),‎ 由，得,‎ ‎∴=(，0)，由=3得c＝,‎ ‎∴=e2=3,‎ ‎∴e=.‎ ‎6.【解析】选C.‎ 设PF1的中点为M，因为|PF2|=|F1F2|，‎ 所以F2M⊥PF1，因为|F2M|=2a，‎ 在直角三角形F1F2M中，‎ ‎|F‎1M|==2b，‎ 故|PF1|=4b,‎ 根据双曲线的定义得 ‎4b‎-2c=‎2a,即2b-c=a,‎ 因为c2=a2+b2，所以(2b-a)2=a2+b2,‎ 即3b2-4ab=0,即3b=4a,‎ 故双曲线的渐近线方程是y=，‎ 即4x±3y=0.‎ ‎【变式备选】F1,F2是双曲线C：-=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c,依题设不妨令|F1F2|=|PF2|,‎ 即‎2c=，∴‎2c=,‎ 即‎2ac=c2-a2,‎ ‎∴e2-2e-1=0,∴e=1±,‎ 又∵e＞1,∴e=1+.‎ ‎7.【解析】由双曲线的性质可知 ‎∴10a2=4c2,∴,∴e=.‎ 答案：‎ ‎8.【解析】双曲线的两个焦点F1(-4,0)、F2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r1=2,r2=1.由题意得 ‎|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)‎ ‎=|PF1|-|PF2|+3=5.‎ 答案：5‎ ‎【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法 一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.‎ ‎9.【解析】①错误，当k＞0且k＜|AB|，表示以A、B为焦点的双曲线的一支；‎ 当k＞0且k=|AB|时表示一条射线；当k＞0且k＞|AB|时，不表示任何图形；当k＜0时，类似同上．②错误，P是AB中点，且P到圆心与A的距离的平方和为定值．故P的轨迹应为圆．③方程两根为和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(±，0)，故正确.‎ 答案:③④‎ ‎10.【解析】(1)∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝‎2a，‎ ‎∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.‎ ‎∵PF1⊥PF2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a2=c2,‎ ‎∴e＝.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的方程可设为-＝1，渐近线方程为y＝±2x.‎ 设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，‎ ‎∵·＝－3x1x2＝⇒x1x2＝，‎ ‎∵2＋＝⇒ ‎ ‎∵点P在双曲线上，‎ ‎∴－＝1，‎ 化简得x1x2＝，‎ ‎∴＝⇒a2＝2，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎11.【解析】(1)由题意知，l的方程为y＝x＋2.‎ 代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.‎ 设B(x1，y1)、D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，‎ x1·x2＝， ①‎ 由M(1,3)为BD的中点知＝1，‎ 故×＝1，‎ 即b2＝‎3a2， ②‎ 故c＝＝‎2a，‎ 所以C的离心率e＝＝2.‎ ‎(2)由①②知，C的方程为：3x2－y2＝‎3a2，‎ A(a,0)，F(‎2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝<0，‎ 故不妨设x1≤－a，x2≥a.‎ ‎ ‎ ‎|BF|＝＝=a-2x1,‎ ‎|FD|＝==2x2-a,‎ ‎|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)‎ ‎＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2‎ ‎＝5a2＋4a＋8.‎ 又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，‎ 解得a＝1或a＝(舍去)．‎ 故|BD|＝|x1－x2|＝·=6.‎ 连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，‎ 从而|MA|＝|MB|＝|MD|，且MA⊥x轴，‎ 因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】（1）以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A(-3,0),B(3,0),C(5,)，‎ 则|AC|== (km)，‎ 即A、C两个救援中心的距离为km.‎ ‎（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.‎ 又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6,‎ ‎∴双曲线方程为-=1(x＜0).‎ BC的垂直平分线的方程为x+-7=0，联立两方程解得： x=-8.‎ ‎ ∴P(-8,),∴kPA=tan∠PAB=,‎ ‎∴∠PAB＝120°,‎ 所以P点在A点的北偏西30°方向上.‎ ‎（3）如图，设 ‎|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,‎ ‎∵|QB|-|QA|‎ ‎=-=‎ ‎=,‎ 又∵＜1,‎ ‎∴|QB| -|QA|＜|PB|-|PA|,‎ ‎∴-＜-.‎ 即信号从P点的正上方Q点处发出时A、B收到信号的时间差比信号从P点处发出时A、B收到信号的时间差变小.‎