【数学】2021届一轮复习人教版（文）34等比数列及其前n项和作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文）34等比数列及其前n项和作业

等比数列及其前n项和 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·济南模拟)已知等比数列{an}中，a3＝－2，a7＝－8，则a5＝(　　)‎ A．－4　　　B．±4　　　C．4　　　D．16‎ A　[法一(求公比q)：设等比数列的公比为q，则 a7＝a3q4，即－8＝－2q4，所以q4＝4，q2＝2.‎ 所以a5＝a3q2＝－2×2＝－4，故选A.‎ 法二(利用性质)：由a＝a3·a7得a＝(－2)×(－8)＝16，‎ 又等比数列的奇数项同号，所以a5＝－4，故选A.]‎ ‎2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝(　　)‎ A．12 B．4 C．6 D．32‎ B　[由题意可得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，又各项均为正数，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4.故选B.]‎ ‎3．(2019·德州模拟)记Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，若2a2,3a3,4a4成等差数列，a1＝1，则S3＝(　　)‎ A. B. C. D. B　[设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，由2a2,3a3,4a4成等差数列，a1＝1，‎ 可得6a3＝2a2＋4a4，‎ 即6q2＝2q＋4q3，‎ 解得q＝1(舍去)或q＝，‎ 则S3＝＝＝.‎ 故选B.]‎ ‎4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)‎ A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 C　[两个等比数列的和不一定是等比数列，但两个等比数列的积一定是等比数列，故选C.]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，‎ ‎∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.‎ 故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是 ．‎ ‎16　[由题意可得：‎ 解得则S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.]‎ ‎7．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝4，则＝ .‎ 　[根据题意得S4＝4S2，即S2＝S4，由等比数列前n项和的性质有(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，得4S6＝13S4，所以＝.]‎ ‎8．(2019·临沂模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5‎ ‎＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝ .‎ ‎15　[设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意得解得 ‎∵a3，a6，am成等比数列，∴a＝a3am，‎ 即(a1＋5d)2＝(a1＋2d)[a1＋(m－1)d]，‎ ‎∴81＝3(2m－3)，解得m＝15.]‎ 三、解答题 ‎9．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ ‎[解]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，‎ 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．‎ 记{bn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝＝－.‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ ‎[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2.‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ‎＝2＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．‎ ‎1．已知正项等比数列{an}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C．96　　　　D．729‎ C　[由等比数列的性质可得a1a5a9＝a＝27，所以a5＝3.又因为a6与a7的等差中项为9，所以a6＋a7＝18，设等比数列{an}的公比为q，则a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18，所以q＋q2＝6，解得q＝2或q＝－3.又因为an＞0，所以q＞0，故q＝2.故a10＝a5q5＝3×25＝96.故选C.]‎ ‎2．(2019·郑州模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)‎ C.(1－4－n) D.(1－2－n)‎ C　[设等比数列{an}的公比为q.‎ 由a5＝a2·q3＝2·q3＝，解得q＝，‎ 由a2＝a1×＝2，得a1＝4，‎ 因为数列{anan＋1}仍是等比数列，其首项是a1a2＝8，公比为，‎ 所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．]‎ ‎3．在数列{an}中，已知a1＝1，nSn＋1＝3(n＋1)Sn，则数列{an}的通项公式为an＝ .‎ ‎(2n＋1)·3n－2　[因为nSn＋1＝3(n＋1)Sn，所以＝3×，所以数列是以＝1为首项，3为公比的等比数列，所以＝3n－1，所以Sn＝n·3n－1.当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝n·3n－1－(n－1)·3n－2＝(2n＋1)·3n－2，当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝(2n＋1)·3n－2.]‎ ‎4．已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.‎ ‎(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)证明：因为an＋1＝5an－2·3n，‎ 所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)．‎ 又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，‎ 所以数列{an－3n}是首项为5，公比为5的等比数列，‎ 所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.‎ ‎(2)由(1)知，‎ bn＝＝＝1＋n，‎ 则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋ ‎＝＋n－.‎ ‎1．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“‎ 我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少斗粟？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗粟、y斗粟、z斗粟，则下列判断正确的是(　　)‎ A．y2＝xz且x＝　　　　 B．y2＝xz且x＝ C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝ B　[由题意可知x，y，z成公比为的等比数列，‎ 则x＋y＋z＝x＋x＋x＝5，解得x＝.‎ 由等比数列的性质可得y2＝xz.故选B.]‎ ‎2．若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ＞0，n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}为等比数列，并求an；‎ ‎(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ ‎[解]　(1)证明：由Sn＝2an－λ可得S1＝2a1－λ，即a1＝λ.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，‎ 即an＝2an－1.‎ 又a1＝λ＞0，所以数列{an}是首项为λ，公比为2的等比数列，‎ 所以an＝λ×2n－1.‎ ‎(2)由(1)可知当λ＝4时，an＝2n＋1.‎ 从而bn＝ 所以T2n＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]‎ ‎＝＋n2＋2n ‎＝＋n2＋2n.‎