2014高考数学百题精练分项解析8

2014高考数学百题精练分项解析8

‎2014高考数学百题精练之分项解析8‎ 一、选择题（每小题6分，共42分）‎ ‎1.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则△PAB重心G的轨迹方程是（）‎ A.y=x2-B.y=3x2-C.y=2x2-D.y=x2-‎ 答案：B 解析：设G（x,y），P（x0,y0）则 x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得 重心G的轨迹方程：3x+2=(3x)2.‎ ‎2.曲线C上任意一点到定点A（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C是（）‎ A.抛物线B.由两段抛物线弧连接而成 C.双曲线D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成 答案：B 解析：设P（x,y）为曲线C上任意一点，由题意，得-|x-4|=5，‎ 故y2=‎ 故曲线C是由两段抛物线弧连接而成.‎ ‎3.下列命题中，一定正确的是（）‎ A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆 B.到定点F（-c，0）和到定直线x=-的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分 C.到定直线x=-和到定点F（-c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆 D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆 答案：D 解析：对照椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.‎ ‎4.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）‎ A.双曲线的一支B.椭圆 C.抛物线D.圆 答案：A 解析：设动圆圆心为P（x，y），半径为r，又圆（x-3）2+y2=1的圆心为F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.‎ ‎5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是()‎ A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0‎ C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0‎ 答案：D 解析：设Q（x，y），则P点（-x-2，-y+4），又点P在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.‎ ‎6.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A‎1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为()‎ A.=1B.=1‎ C.=1D.=1‎ 答案：C 解析：设P1、P2两点的横坐标为x=3cosθ，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cosθ,2sinθ),P2(3cosθ,-2sinθ),故直线A1P1和A2P2方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点P（x，y），则y2=(x2-9)，即=1.‎ ‎7.点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点M的轨迹方程为()‎ A.=1B.=1‎ C.=1D.3x2+4y2+8x-60=0‎ 答案：D 解析：设M为（x，y），则 ‎∶|x-8|=1∶2.‎ 整理有：3x2+4y2+8x-60=0.‎ 二、填空题（每小题5分，共15分）‎ ‎8.点P（0，2）到圆C：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_____________，如果A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_______________________.‎ 答案：(x-2)2+(y-6)2=4‎ 解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d=.‎ 设A、B点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.‎ ‎=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).‎ ‎=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).‎ ‎∴‎ ‎∵A在圆上，‎ ‎∴（-+1）2+()2=1.‎ 即(x-2)2+(y-6)2=4.‎ 即为B点的轨迹方程.‎ ‎9.已知定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，则过点A、C且都与⊙O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是_________________________.‎ 答案：去掉两个顶点的双曲线 解析：由题设条件可得||PA|-|PC||=3，根据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.‎ ‎10.F1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是____________________.‎ 答案：圆 解析：如右图，延长F1P交F2Q于F1′，则 ‎|OP|=|F1′F2|=|F1′Q|+|F2Q|)‎ ‎=(|F1Q|+|F2Q|)‎ ‎=×‎2a=a.‎ ‎∴P点轨迹为圆.‎ 三、简答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）‎ ‎11.设抛物线y2=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQ⊥l，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.‎ 解析：设抛物线上点P（‎2pt2，‎2pt）（t≠0），直线OP的方程为：y=x.‎ 又Q（-，‎2pt），F（，0），‎ ‎∴直线QF的方程y=-2t(x-).它们的交点M（x，y），‎ 由方程组 由①×②得：y2=-2x(x-)，‎ ‎∴交点M的轨迹方程y2=-2x(x-).‎ ‎12.平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）设点C的轨迹与双曲线=1（a＞0,b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.‎ ‎（1）解析：设C（x，y），因为=α+β，‎ 则（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）‎ ‎∴∵α-2β=1,∴x+y=1.‎ 即点C的轨迹方程为x+y=1.‎ ‎（2）证明：由得：（b2-a2）x2+‎2a2x2-a2-a2b2=0.‎ 由题意,得b2-a2≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2）,‎ 则：x1+x2=,‎ x1x2=-.‎ 因为以MN为直径的圆过原点，=0，‎ 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)‎ ‎=1-(x1+x2)+2x1x2‎ ‎=1+=0,‎ 即b2-a2‎-2a2b2=0,∴=2为定值.‎ ‎13.已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）,‎ ‎（1）求点E的轨迹方程；‎ ‎（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点.线段MN的中点到y轴距离为且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.‎ 解析：（1）设E（x，y），=（+）‎ ‎∴=2-.‎ ‎∴=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).‎ 又||=2,‎ ‎∴x2+y2=1(y≠0).‎ ‎（2）设椭圆方程为：=1，直线l：y=k(x+2),‎ 由于直线l与圆E相切，‎ ‎∴=1.∴k=±.‎ 直线l：y=±(x+2).‎ 将y=±(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,‎ 则有（3b2+a2）x2+‎4a2x+‎4a2‎-3a2b2=0.‎ ‎∴xM+xN=.‎ ‎∴x中=,‎ ‎|x中|==,‎ ‎∴‎5a2=6b2+‎2a2.‎ ‎∴a2=2b2.‎ 又c2=4,‎ ‎∴b2=4,a2=8,椭圆方程为=1.‎ ‎14.已知两定点A（-t,0）和B（t，0），t＞0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.‎ ‎（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；‎ ‎（2）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？‎ 解析：（1）设S（x，y），SA的斜率k1=(x≠-t)，‎ SB斜率k2=(x≠t),‎ 由题意，得(x≠±t),‎ 经整理，得-y2=1(x≠±t).‎ 点S的轨迹C为双曲线（除去两顶点）.‎ ‎（2）假设C上存在这样的两点P（x1，y1)和Q（x2，y2）,‎ 则PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，‎ 由整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0.‎ 其中1-t2=0，方程只有一个解，与假设不符.‎ 当1-t2≠0时，Δ＞0，Δ=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，‎ 所以t2＜b2+1，①‎ 又x1+x2=-，‎ 所以.‎ 代入y=-x+b，得.‎ 因为P、Q中点为（）在直线x-y-1=0上，‎ 所以有：--1=0，整理得t2=,②‎ 解①②，得-1＜b＜0,0＜t＜1，经检验，得：当t取（0，1）中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.‎