2018-2019学年江苏省启东中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江苏省启东中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省启东中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、填空题 ‎1．命题：的否定是________．‎ ‎【答案】∃x∈R，sin x≥2.‎ ‎【解析】‎ 将特称命题否定为全称命题即可.‎ ‎【详解】‎ 特称命题的否定为全称命题，‎ 则命题的否定是∃x∈R，sin x≥2.‎ ‎【点睛】‎ 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．‎ ‎2．抛物线的准线方程是，则＝________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 抛物线即的准线方程为，所以，解得 ‎3．若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是______．‎ ‎【答案】在圆外 ‎【解析】‎ 由题意考查圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.‎ ‎【详解】‎ 直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：‎ ‎，即，‎ 据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题意确定a,b,c的关系，然后确定其离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：，即，‎ 据此可得：，则，‎ 椭圆的离心率.‎ ‎【点睛】‎ 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎5．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是________．‎ ‎【答案】(x－4)2＋(y＋3)2＝36.‎ ‎【解析】‎ 由圆与圆的位置关系确定圆的半径，然后确定圆的方程即可.‎ ‎【详解】‎ 两圆的圆心距为：，‎ 设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，‎ 据此可得：，圆C的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝36.‎ ‎【点睛】‎ 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可．解：直线x+（m+1）y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直⇔m+2（m+1）=0⇔m=-故答案是．‎ ‎【考点】两直线垂直 点评：本题主要考查两直线垂直的条件，同时考查充要条件的含义 ‎7．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题意利用待定系数法确定双曲线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程是，‎ 抛物线的焦点坐标为，据此可得：‎ ‎，解得：，‎ 双曲线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎8．若命题有是假命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 利用原命题的否定为真命题确定实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得命题：，是真命题，‎ 据此可得：，解得：，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题与特称命题的关系，由命题的真假求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．‎ ‎【答案】7.‎ ‎【解析】‎ 由题意可得PF2平行y轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵原点O是F1F2的中点，‎ ‎∴PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴 ‎∵c=3，‎ ‎∴|F1F2|=6，‎ 设|PF1|=x，根据椭圆定义可知 ‎∴，解得，‎ ‎∴|PF2|=，‎ ‎∵|PF1|=t|PF2|，‎ ‎∴t=7.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由题意可得直线过圆心，即：，‎ 据此可得：，则点在直线上，‎ 表示直线上的点与点之间距离的平方，‎ 点到直线的距离为：，‎ 据此可得：的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为 ‎，则的最大值为________．‎ ‎【答案】15.‎ ‎【解析】‎ 利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，‎ 由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，‎ ‎∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|==15，‎ 则|PM|+|PF1|的最大值为15.‎ 故答案为：15.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题意利用几何关系得到关于离心率的不等式，求解不等式即可确定椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆M与轴相切于焦点F，‎ ‎∴不妨设M(c,y),则(因为相切,则圆心与F的连线必垂直于x轴)M在椭圆上,‎ 则或(a2=b2+c2)，‎ ‎∴圆的半径为，‎ 过M作MN⊥y轴与N,则PN=NQ,MN=c，‎ PN,NQ均为半径,则△PQM为等腰三角形，‎ ‎∴PN=NQ=，‎ ‎∵∠PMQ为钝角,则∠PMN=∠QMN>45°，‎ 即PN=NQ>MN=c 所以得,即，‎ 得，‎ a2−2c2+c2e2>2c2，‎ ‎，‎ e4−4e2+1>0‎ ‎(e2−2)2−3>0‎ e2−2<−(0.‎ 又由已知“p或q”为真，“p且q”为假，‎ 所以应有p真q假，或者p假q真．‎ ‎① 若p真q假，则，此时a无解．‎ ‎②若p假q真，则，解得0)，‎ 根据题意得 解得a＝b＝1，r＝2，‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝AM·PA＋BM·PB.‎ 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，‎ 而PA＝＝，‎ 即S＝2.‎ 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，‎ 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小，‎ 所以PMmin＝＝3，‎ 所以四边形PAMB面积的最小值为Smin＝2＝2＝.‎ ‎【点睛】‎ 求圆的方程，主要有两种方法：‎ ‎(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．‎ ‎19．已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点,在椭圆的准线上．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程．‎ ‎(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；‎ ‎(3)设点是椭圆的右焦点，过点作的垂线，且与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意求得a,b的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)由题意分别求得圆心和半径即可求得圆的方程；‎ ‎(3)法一：利用平面几何的性质确定H的横坐标，然后整理计算即可证得最终结果；‎ 法二：利用平面向量的知识结合数量积大于零整理计算即可证得最终结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由2b＝2，得b＝1.又由点M在准线上，得＝2.‎ 故＝2.所以c＝1.从而a＝.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，‎ 即(x－1)2＋2＝＋1，其圆心为，半径r＝.‎ 因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，‎ 所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝.‎ 所以＝，解得t＝4.‎ 故所求圆的方程为.‎ ‎(3)法一　由平面几何知ON2＝OH·OM.‎ 直线OM：y＝x，直线FN：y＝－ (x－1)．‎ 由得xH＝.‎ 所以ON2＝·|xH|··|xM|＝··2＝2.‎ 所以线段ON的长为定值.‎ 法二　设N(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，‎ ‎＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．‎ 因为⊥，所以2(x0－1)＋ty0＝0.所以2x0＋ty0＝2.‎ 又⊥，所以x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0.‎ 所以x＋y＝2x0＋ty0＝2.‎ 所以||＝＝为定值.‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 过点的直线交椭圆于两点．求证：以为直径的圆过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）圆恒过定点(0，1)，证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 由题意求得a,b的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2) 首先求得AB⊥x轴和AB⊥y轴时以AB为直径的圆的方程，求得两圆的交点为Q(0，1)．然后分类讨论斜率存在和斜率不存在两种情况证明题中的结论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由题意，e＝＝，e2＝＝，‎ 所以a＝b，c＝b.‎ 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2) 当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋)2＝.‎ 由可得 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．‎ 下证Q(0，1)符合题意．‎ 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝kx－，代入＋y2＝1并整理得(1＋2k2)x2－kx－＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋‎ ‎＝(1＋k2)－k·＋‎ ‎＝＝0，‎ 故⊥，即Q(0，1)在以AB为直径的圆上．‎ 综上，以AB为直径的圆恒过定点(0，1)．‎ ‎【点睛】‎ 求定点问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．‎ ‎21．过定点任作互相垂直的两条直线与，设与轴交于点，与轴交于点,求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】x+2y-5=0.‎ ‎【解析】‎ 设P(x,y),由中点公式可得M(2x,0),N(0,2y),利用△AMN为直角三角形，2|PA|=|MN|，从而得到的中点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),‎ ‎∵△AMN为直角三角形，斜边中线长为斜边的一半，‎ 即2|PA|=|MN|,‎ 得：x+2y-5=0‎ ‎【点睛】‎ 求轨迹方程的常见方法有:‎ ‎①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；‎ ‎②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；‎ ‎③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；‎ ‎④逆代法，将代入.‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，‎ ‎，是棱上一点，且.‎ ‎(1) 求直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值；‎ ‎（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），‎ ‎∵，∴（a，b，c﹣2）=（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣，1﹣，﹣），‎ ‎∴，解得a=0，b=，c=，∴P（0，，），‎ ‎=（1，0，0），=（﹣1，﹣，），‎ 设直线AB与CP所成角为θ，‎ cosθ=|cos＜＞|===，‎ ‎∴直线AB与CP所成角的余弦值为．‎ ‎（2）=（1，，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，，﹣），‎ 设平面APC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=2，得=（﹣4，2，﹣1），‎ 设平面PCD的法向量=（a，b，c），‎ 则，取b=1，得=（0，1，1），‎ 设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎23．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(3) 线段上是否存在点，使平面 若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）线段上存在点，使得平面，且.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；‎ ‎（2）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；‎ ‎（3）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取AB中点O，连接EO，DO．‎ 因为EB=EA，所以EO⊥AB． ‎ 因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，‎ 所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD ‎ 因为EO∩OD=O 所以AB⊥平面EOD 因为ED⊂平面EOD 所以AB⊥ED．‎ ‎（2）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB 所以EO⊥平面ABCD，‎ 因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．‎ 由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． ‎ 因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．‎ 所以，平面ABE的一个法向量为． ‎ 设直线EC与平面ABE所成的角为θ，‎ 所以 ，‎ 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为． ‎ ‎（3）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．证明如下：由 ，，所以．‎ 设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有 所以取a=1，得=（1，1，2）．‎ 因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．‎ 即点F满足时，有EC∥平面FBD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．‎