【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第5讲数学归纳法作业
A组 基础关
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n≥m，n∈N*)成立时，其初始值m至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋＝2”时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立( )
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
答案 B
解析 由于n为正偶数，所以若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立．
3．对于不等式
(n≥2，n∈N*)时，从n＝k到
n＝k＋1时，左边应增加的项是( )
A.＋＋…＋
B.＋＋…＋－
C.＋＋…＋
D.＋＋…＋－－
答案 B
解析 假设n＝k时不等式成立．
左边＝＋＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋＋…＋，
所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了＋＋…＋－.
8．设平面内有n(n≥3)条直线，它们任何2条不平行，任何3条不共点，若k条这样的直线把平面分成f(x)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 k＋1
解析 f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，…，
f(2)－f(1)＝4－2＝2，
f(3)－f(2)＝7－4＝3，
f(4)－f(3)＝11－7＝4，
f(5)－f(4)＝16－11＝5，…
归纳推理，得出f(n)－f(n－1)＝n，f(n)＝f(n－1)＋n，
所以n＝k＋1时f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.
答案
解析 由(S1－1)2＝S，得S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.
猜想Sn＝.
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________．
答案 ＋＋…＋＋>－
解析 观察不等式中分母的变化便知．
B组 能力关
1．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k
C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
答案 A
解析 假设n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．
当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k
＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k
＝5(5k－2k)＋3×2k.
2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．
答案 5 (n＋1)(n－2)
解析 由题意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以归纳出每增加一条直线， 交点增加的个数为原有直线的条数．所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，猜测得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)．有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)，所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．
3．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是________．
答案 4k＋2
解析 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是＝2(2k＋1)．故答案为4k＋2.
4．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an0，
又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，
所以ak＋11时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，
∴ln (1＋x)≥不恒成立．
综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．
2．(2018·绵阳模拟)已知函数f(x)＝，xn＋1＝f(xn)，且x1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
解 由x1＝及xn＋1＝，得
x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6，猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明x2n>x2n＋2.
①当n＝1时，已证命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，
即x2k>x2k＋2，
易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时命题也成立．
结合①②知，命题x2n>x2n＋2对于任何n∈N*成立．
故数列{x2n}是递减数列．
