2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学（理）试题（解析版）

2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学（理）试题（解析版）

‎2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出集合的等价条件，结合Venn图转化为定义的集合关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 阴影部分对应的集合为， 则， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．‎ ‎2．在复平面内，复数的共轭复数对应的向量为为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：复数的共轭复数为， 对应的点为， 复数的共轭复数对应的向量为为图C， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．‎ ‎3．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题．‎ ‎4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：‎ 则下列说法错误的是（ ）‎ A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况 B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过 ‎【答案】C ‎【解析】根据饼图逐一判断．‎ ‎【详解】‎ A．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确；‎ B．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确；‎ C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III类水质，故错误；‎ D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过，故正确.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查饼图的识别及认识，是基础题．‎ ‎5．以双曲线：的右焦点为圆心，为半径的圆（为坐标原点）与的渐近线相切，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由已知双曲型的渐近线为，选取其中一条研究即可，即为，‎ 另外以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆圆心为，半径为，‎ 由题可知，即，解得，‎ 则的渐近线方程为，即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立 的等量关系，是基础题．‎ ‎6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为（且），已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）‎ A．7 B．16 C．19 D．21‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据递推关系计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查递推关系的应用，是基础题．‎ ‎7．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可．‎ ‎【详解】‎ 解：根据导函数图像，的增区间为，减区间为，‎ 观察选项可得D符合，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．‎ ‎8．的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先通过已知求出，进而根据求出，再利用正弦定理求出，则利用面积公式可求出的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 又，为锐角，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．‎ ‎9．已知函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，故为偶函数，‎ 另外令，则，，‎ 又，在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，且，‎ 根据复合函数单调性的判断规则，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为，所以，即，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题 ‎10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，‎ 根据截面圆的周长可得，得，‎ 故由题意知，即，所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题．‎ ‎11．已知函数，的值域是，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先通过的范围，求出的范围，再利用值域，可得，进而可求的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以当时，‎ 因为函数，的值域是 所以，‎ 解得，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体的范围，再根据单调性和最值的关系分析，是中档题．‎ ‎12．已知是函数图象上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用条件将表示为，求出的范围，利用函数的单调性求出最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：如图 设点为圆的圆心，坐标为，圆的半径为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 设，‎ 则，故，‎ 在上单调递增，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知点，，则与向量垂直的一个非零向量的坐标是____．（只要填写一个满足条件的向量即可）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】求出向量，写出一个与其垂直的向量，与其平行即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，则与垂直，只要填写形如的向量都正确.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题．‎ ‎14．的展开式中的系数是____.‎ ‎【答案】600.‎ ‎【解析】分别对和找到与的系数，相乘即可．‎ ‎【详解】‎ 的展开式中含的项为，其系数为，‎ 故答案为：600．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理，求指定项的系数，是基础题．‎ ‎15．已知椭圆：的左顶点为，为坐标原点，、两点在上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】四边形为平行四边形，，直线的方程为：，联立，解得：．同理联立，解得．根据，即化简即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，‎ 四边形为平行四边形，， ∴直线的方程为：， 联立，解得：． 同理联立，化为：． 解得． ∵， ∴‎ ‎． 化为：． ∴椭圆的离心率． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：‎ 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．‎ 应纳税所得额的计算公式为：‎ 应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．‎ 其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：‎ 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（）‎ 速算扣除数 ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎2520‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎16920‎ ‎4‎ ‎25‎ ‎31920‎ ‎5‎ ‎30‎ ‎52920‎ ‎6‎ ‎35‎ ‎85920‎ ‎7‎ ‎45‎ ‎181920‎ 备注：‎ ‎“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。‎ ‎“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出。‎ ‎“其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。‎ 某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，，，，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税____元．‎ ‎【答案】1880.‎ ‎【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知应纳税所得额，‎ 则个税税额．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际问题的解答，考查理解能力和计算能力，是基础题．‎ 三、解答题 ‎17．在长方体中，.‎ ‎（1）证明：平面面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）通过证明，来证明平面，进而证明平面面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出面和面 的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为，所以四边形是正方形，所以，‎ 又四边形是平行四边形，所以，所以，‎ 因为长方体中，平面，所以，‎ 又，平面，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 则，取，所以，‎ 设平面的一个法向量为，，，‎ ‎，取，所以，‎ 故，又二面角是锐角，‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题．‎ ‎18．设等差数列公差为，等比数列公比为，已知，，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式； ‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）将条件均用基本量表示，列方程求解即可；‎ ‎（2）写出和，作差，利用等比数列的求和公式整理即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 解得：，，‎ 若，（舍去），‎ 若，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力，是基础题．‎ ‎19．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上的动点.‎ ‎（1）当时，求直线的方程；‎ ‎（2）过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）或；（2）直线恒过点，理由见解析.‎ ‎【解析】（1）设，利用求出，进而可求出，利用点的坐标求出，用斜截式可写出直线方程；‎ ‎（2）设，则，联立直线与抛物线，求出点坐标，进而写出直线的方程，可得其所过的定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，由得，解得：，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以直线的方程为：或.‎ ‎（2）设，则，‎ 直线的方程为：.‎ 联立得：，解得.‎ ‎①当时，直线的方程为，‎ ‎②当时，直线方程为：，‎ 化简得：，‎ 综上①②，可知直线恒过点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题．‎ ‎20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉。对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价（单位：元/扎，20支/扎）和销售率（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎0.9‎ ‎0.65‎ ‎0.45‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.175‎ ‎（1）设，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程（、的结果保留一位小数）；‎ ‎（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额（单位：元）最大，并求的最大值。‎ 参考数据：与的相关系数，与的相关系数，，，，，，，，，，，.‎ 参考公式：，，.‎ ‎【答案】（1）更合适，；（2）最大日销售额为12060元.‎ ‎【解析】（1）先由线性相关系数的意义可知，更合适，再根据回归直线方程的系数公式，代入数据计算即可；‎ ‎（2）先得到，再利用导数求其最值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，，‎ 由线性相关系数的意义可知，更合适，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以回归直线方程为：.‎ ‎（2）由题意有：，‎ ‎，令，得 ，，‎ 当时，，递增；当时，，递减；‎ 所以当售价约为20.1元/扎时，日销售额最大.‎ ‎（元），‎ 所以，最大日销售额为12060元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归方程的求法以及利用导数求最值，考查学生的理解能力以及建模的能力，是一道中档题．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论的导数的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，求实数的取值范围，并证明 ‎.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）求出，令，对，讨论来求的单调性；‎ ‎（2）将有两个极值点，转化为有两解，继续转化为有两解，构造函数，求导为其极小值，可得，即可求得实数的取值范围；另外要证明，不妨设，则，由（1）根据的单调性得，通过变形，转化为证明，进一步变形证明，构造函数，利用导数研究其最小值即可证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，得.‎ 设，则.‎ ‎①当时，，所以在上单调递增.‎ ‎②当时，由，得.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ ‎（2）由于有两个极值点，，即在上有两解，，‎ 即，显然，故等价于有两解，，‎ 设，则，‎ 当时，，所以在单调递减，‎ 且，时，，时，；‎ 当时，，所以在单调递减，且时，；‎ 当时，，所以在单调递增，且时，，‎ 所以是的极小值，有两解，等价于，得.‎ 不妨设，则.‎ 据（1）在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，‎ 由于，，且，则，‎ 所以，，‎ 即，，‎ 欲证明：，等价于证明：，‎ 即证明：，只要证明：，‎ 因为在上单调递减，，‎ 所以只要证明：，‎ 由于，所以只要证明：，‎ 即证明：，‎ 设，据（1），‎ ‎，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 即，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，综合性强，对学生计算能力以及转化问题的能力要求高，是一道难题．‎ ‎22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合．曲线的极坐标方程是，直线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于点、，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用，将极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）写出直线过点的参数方程，代入曲线，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线化为：，‎ 将代入上式，即，‎ 整理，得曲线的直角坐标方程.‎ 由，得，‎ 将代入上式，化简得，‎ 所以直线的直角坐标方程.‎ ‎（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），‎ 即（为参数），‎ 代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 整理，得，‎ 所以，，‎ 由题意知，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）分类讨论去绝对值，作出函数的图像，根据图像得到函数的单调性，利用单调性结合图像可得不等式的解集；‎ ‎（2）利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一：‎ ‎，‎ 作出的图象，如图所示：‎ 结合图象，‎ 函数在上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 又，，‎ 所以不等式的解集是.‎ 法二：，‎ 等价于：或或，‎ 解得：或或，‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由（1）知函数的最大值是，所以恒成立.‎ 因为，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用，是中档题．‎