- 2021-06-24 发布 |
- 37.5 KB |
- 13页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2017-2018学年黑龙江省实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）
2017-2018 学年黑龙江省实验中学高二下学期期中考试数学 （理）试题 一、单选题 1．已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 f(x)=f′(1)+xlnx， 得：f′(x)=1+lnx， 取 x=1 得：f′(1)=1+ln1=1 故 f(e)=f′(1)+elne=1+e. 故选：A. 2．“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中 又可以简写为 ，从 “ ”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ ” 字母组合（顺序不变） 的不同排列共有（ ） A. 360 种 B. 480 种 C. 600 种 D. 720 种 【答案】C 【解析】从其他 5 个字母中任取 4 个,然后与“ ”进行全排列,共有 ,故选 B. 3．已知 的展开式的常数项是第七项，则正整数 的值为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】分析：由二项展开式的通项，求得展开式的第七项为常数项，即可得求解． 详解：由二项展开式的通项可知： 展开式的第七项为 ， 又因为第七项为常数，所以 ，故选 B． 点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，关于二项式定理的命题方 向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ； （可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数 和；（3）二项式定理的应用． 4．10 张奖券中有 3 张是有奖的,某人从中不放回地依次抽两张,则在第一次抽到中奖券 的条件下,第二次也抽到中奖券的概率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设第一次抽到中奖券记为事件 A,第二次抽到中奖券记为事件 B,则两次都抽到 ( ) ( )1 lnf x f x x= +′ ( )f e = 1 e+ e 2 e+ 3 China Dream China CN CN Dream ea ea 4 5 5 5 600C A = 2 7 2 9 3 10 1 5 中奖券为事件 AB.则 P(A)= ,P(AB)= = ,P(B|A)= = = . 5．设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 ，且函数 f（x）在 x=﹣2 处取得极小值， 则函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由题设条件可知，当 时， ；当 时， ；当 时， ，由此观察四个选项能够得到正确结果． 详解：因为函数 在 上可导，其导数且 ，且函数 在 处取得极小值， 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递递减，故选 A． 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导函 数性质和函数的极值的性质的合理运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 6．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学， 生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政 治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有 ，其中包括了没选物 理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选 法均有 ，因此考生共有多少种选考方法有 种． 7． 被 除所得的余数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由二项式定理展开得 3 10 3 2 10 9 × × 1 15 ( ) ( ) P AB P A 1 15 3 10 2 9 838 6+ 49 14− 0 14 35 ∴883+6 被 49 除所得的余数是 0. 本题选择 B 选项. 点睛：用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与 某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋ b，其中余数 b∈[0，r)，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用． 8．某校 3 名教师和 5 名学生共 8 人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车 坐 4 人，则恰有两名教师在同一车上的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，要满足 8 人乘坐两辆车，每车坐 4 人， 可在 8 个人中取出 4 人，坐第一辆车，剩下的坐第二辆车，则有 种情况； 要满足恰有两名教师在同一车上，可先在 3 名教师中任取两人，5 名学生中取两人构成 第一组，乘坐第一辆车，剩下的构成第二组，乘坐第二辆车，则有 种分组方法， 再对应到两辆车，共有 种乘坐方法； 则恰有两名教师在同一车上的概率为 【考点】等可能事件的概率 9．我校去年 11 月份，高二年级有 10 人参加了赴日本交流访问团，其中 3 人只会唱歌， 2 人只会跳舞，其余 5 人既能唱歌又能跳舞。现要从中选 6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（ ）种不同的选法。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据题意可按照只会左边的 人中入选的人数分类处理，分成三类，即 可求解． 详解：根据题意可按照只会左边的 人中入选的人数分类处理． 第一类 个只会左边的都不选，有 种； 第二类 个只会左边的有 人入选，有 种； 第三类 个只会左边的全入选，有 种，所以共有 种不同的选法，故选 A． ( ) ( ) ( ) 8383 83 1 82 81 2 82 83 83 83 2 8 6 7 1 6 7 7 7 3 7 1 6 7 83 7 7 49 49 12 49 . . C C C M M M N N + = + + = + × +…+ × + × + + = + × + = + × = ，是正整数 是正整数 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的 综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解 题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分 步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不 能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方 式． 10．一个箱子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球， 其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：从中任取两个球共有 种取法，其中取到的都是红球有 种取法， 至少 1 个球的号码是偶数的取法有 种，根据古典概型的概率计算公式，即可 求解． 详解：从中任取两个球共有 种取法， 其中取到都是红球，且至少 1 个球的号码是偶数的取法有 种， 根据古典概型的概率计算公式可得概率为 ，故选 D． 点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型的概率的计算，对于古典概型的 特征：试验的结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，注意排列、组合公式的 应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 11．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，且 a0+a1+…+an=243， 则（n﹣x）n 展开式的二项式系数和为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 1024 【答案】B 【解析】分析：把二项式 ，令 ，求得 ，得到 ， 即可得到展开式的二项式系数和． 详解：因为 ， 令 ，可得 ， 在根据 ，可得 ，求得 ， 故 展开式的二项式系数和为 ，故选 B． 点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数问题，属于简单题，关于二项式定理的命 题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各 项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 12 ．已知函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 恒成立， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：设 ，则 ，得 恒成立，则 在 上为减函数，∵ ，∴ ，即不等式 的解集． 详解：设 ，则 ， ∵ 恒成立， ∴ 恒成立，则 在 上为减函数， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即不等式 的解集为 ，故选 A. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围； 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 二、填空题 13 ． ， 则 __________． 【答案】28 【解析】令 ，则 ， 设 的 展 开 式 含 有 项 ， ， 令 ， ，所以 . 14．从 1,2,3，…，9 一共九个数中，任意取出三个数，则这三个数互不相邻的取法有 __________种．（用数字作答） 【答案】35 【解析】分析：按照数字的大小，从小到大的排列，数字 1 开头的取法，数字 2 开头的 取法，数字 3 开头的取法，数字 4 开头的取法，数字 5 开头的取法以及数字 6 开头的取 法有一个，相加即的所求． 详解：按照数字的大小，从小到大排列： 数字 1 开头的取法有： ， 共 15 个； ( ) ( ) ( )3 8 0 11 2 1x x a a x+ + − = + − ( ) ( )2 8 2 81 1a x a x+ − + + − 6a = 1x t− = ( ) ( )3 8 2 6 8 0 1 2 6 82 1 ... ...t t a a t a t a t a t+ + − = + + + + + + ( )81t − 6t ( )8 1 8 1 rr r rT C t − + = − 8 6, 2r r− = = 2 6 6 3 8 28T C t t= = 6 28a = 数字 2 开头的取法有： ，共 10 个； 数字 3 开头的取法有： ，共 6 个； 数字 4 开头的取法有： ，共 3 个； 数字 5 开头的取法有： ，共 1 个； 综上所示，共计 个． 点睛：本题主要考查了分类计数原理和排列组合的应用，解题的关键是不遗漏不重复， 着重考查了分类讨论数学思想，以及推理与运算能力． 15．有 10 张纸币，其中有 4 张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张 也是假币的概率________． 【答案】 【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件 A，“抽出的两张都是假币”为 事件 B，利用条件概率计算公式能求出其中 1 张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一 张也是假钞的概率． 详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件 A，“抽出的两张都是假币”为事件 B， 则将其中 1 张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为： . 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是 解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础， 属于基础题． 16．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 ＝0 垂直，且 函数 在区间 上是单调递增，则 b 的最大值等于___________. 【答案】 【解析】分析：由在点 处的切线斜率为 ,由切线与直线 ＝0 垂直， 得 ，由函数 在区间 上是单调递增可得 在区间 上恒成立, 即有 的最小值,即可求解实数 的最大值． 详解：函数 的导数为 ， 所以在点 处的切线斜率为 ,由切线与直线 ＝0 垂直, 可得 ,即 , 由函数 在区间 上是单调递增可得 在区间 上恒成立, 即有 的最小值,由 可得 的最小值为 . 即有 ,由 ,可得 .则 的最大值为 . 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围； 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 三、解答题 17．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、 《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名 作者也只能与一本名著连线，每连对一个得 2 分，连错得－1 分，某观众只知道《三国 演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作 ξ. (1)求该观众得分 ξ 为负数的概率； (2)求 ξ 的分布列． 【答案】（1） （2） ξ －1 2 8 P 【解析】解：(1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ ＝－1，故得分为负数的概率为 P(ξ＝－1)＝ ＝ . (2)ξ 的可能取值为－1,2,8. P(ξ＝2)＝ ＝ ， P(ξ＝8)＝ ＝ . 1 3 1 3 1 2 1 6 3 3 2 A 1 3 3 3 3 A 1 2 3 3 1 A 1 6 ξ 的分布列为： ξ －1 2 8 P 18．设函数 f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1 的导数 满足 ， ，其中常数 a，b∈R. （1）求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）设 ，求函数 g（x）的极值. 【答案】(1)6x＋2y－1＝0；(2)g（x）在 x＝0 处取得极小值 g（0）＝－3，在 x＝3 处 取得极大值 g（3）＝15e－3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件解出 a，b，得到函数 f（x）的表达式，切线方 程的斜率即为该点导数值，由点斜式即可写出切线方程； （Ⅱ）求 g（x）导函数 g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，可得出单调区间，从而得到 极值. 试题解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b， 则 解得 ∴f（x）＝x3－ x2－3x＋1，∴f（1）＝－ ，f′（1）＝－3， ∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 y－ ＝－3（x－1），即 6x＋2y－1＝0； （2）由（1）知 g（x）＝（3x2－3x－3）e－x， ∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x， 令 g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得 x＝0 或 x＝3， 当 x∈（－∞，0）时，g′（x）<0， 故 g（x）在（－∞，0）上单调递减. 当 x∈（0,3）时，g′（x）>0，故 g（x）在（0,3）上单调递增. 当 x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0， 故 g（x）在（3，＋∞）上单调递减. 从而函数 g（x）在 x＝0 处取得极小值 g（0）＝－3， 在 x＝3 处取得极大值 g（3）＝15e－3. 19．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一 瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 【答案】；(1)P= ； （2） 0 1 2 3 1 3 1 2 1 6 1 6 25 216 ξ P 服从二项分布，E =3× = 。 【解析】试题分析：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= , P( )=P(A)P( )P( )= （2）ξ 的可能值为 0,1,2,3, P(ξ=k)= (k=0,1,2,3) 所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0× +1× +2× +3× = 【考点】分布列和数学期望 点评：解决的关键是根据独立事件的概率的乘法公式，以及分布列的概念来求解，属于 基础题。 20．第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议， 2014 年 3 月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践 活动中心从 7 名学生会干部（其中男生 4 人，女生 3 人）中选 3 人参加两会的志愿者服 务活动． （Ⅰ）所选 3 人中女生人数为 ξ，求 ξ 的分布列及数学期望： （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 【答案】（Ⅰ）分布列略， ；（Ⅱ） ． 【解析】试题分析： 解题思路：（Ⅰ）列出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求概率， 列出表格即得分布列，套用期望公式求其期望；（Ⅱ）利用条件概率的概率公式进行求 解. 规律总结：求随机变量的分布列、期望、方差的一般步骤：①列出随机变量的所有可能 取值；②求各个取值的概率（往往利用古典概型、几何概型、超几何分布、两点分布、 二项分布等概率模型）；③列出表格，即得随机变量的分布列；④根据期望定义求期望； 125 216 25 72 5 72 1 216 ξ ξ 1 6 1 2 1 6 · ·A B C B C 21 5 25·6 6 216 = 3 3 1 5 6 6 k k kC − 125 216 25 72 5 72 1 216 125 216 25 72 5 72 1 216 1 2 7 9=ξE 3 1 ⑤根据方差定义求方差（注意：求两点分布、二项分布的期望与方差时，要注意利用公 式求解）. 试题解析：（Ⅰ）ξ 得可能取值为 0,1,2,3 由题意 P(ξ=0)= , P(ξ=1)= , P(ξ=2)= P(ξ=3)= ， ∴ξ 的分布列、期望分别为： ξ 0 1 2 3 p Eξ=0× +1× +2 × +3× = ； （Ⅱ）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为 C 男生甲被选中的种数为 ,男生甲被选中，女生乙也被选中的 种数为 ， ∴P(C)= ， 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 . 【考点】1.随机变量的分布列；2.随机变量的期望；3.超几何分布；4.条件概率. 21．设函数 在 内有极值． （1）求实数 a 的取值范围； （2）若 x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x 2)－f(x1)>e＋2－ .注：e 是自然对数的底 数． 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】分析：（1）函数的定义域为 ，求导数，利用函数 在 内有极值，可得 在 内有解，令 ，根据 ，可设 ，则 ，从而可求实数 的取值范围． （2）求导函数确定函数 的单调性，进而由 ，可得 ，由 ， 可 得 ， 所 以 ， 又 3 4 3 7 4 35 C C = 2 1 4 3 3 7 18 35 C C C = 1 2 4 3 3 7 12 35 C C C = 0 3 4 3 3 7 1 35 C C C = 4 35 18 35 12 35 1 35 4 35 18 35 12 35 1 35 9 7 2 6 15C = 1 5 5C = 1 5 2 6 5 1 15 3 C C = = 1 3 ，即 ，可得 在 上单 调递增，从问题得证． 详解：(1)易知函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， f′(x)＝ － ＝ ＝ . 由函数 f(x)在 内有极值，可知方程 f′(x)＝0 在 内有解，令 g(x)＝x2－(a＋2)x ＋1＝(x－α)(x－β)． 不妨设 0<α< ，则 β>e，又 g(0)＝1>0， 所以 g ＝ － ＋1<0，解得 a>e＋ －2. (2)证明 由(1)知 f′(x)>0⇔0查看更多