2018-2019学年湖北省宜昌二中（宜昌市人文艺术高中）高二上学期期中阶段性检测数学（文）试题 Word版

2018-2019学年湖北省宜昌二中（宜昌市人文艺术高中）高二上学期期中阶段性检测数学（文）试题 Word版

‎2018-2019学年湖北省宜昌二中（宜昌市人文艺术高中）高二上学期期中阶段性检测数学试卷(文)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知全集2，3，4，5，6，，集合3，5，，集合3，4，6，，则集合　　‎ A. B. C. 5， D. 3，5，6，‎ 2. 若x，y满足，则的最大值为　　‎ A. 1 B. 3 C. 5 D. 9‎ 3. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为(    )‎ A. 80 B. 96 C. 108 D. 110‎ 4. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的　　 ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ‎ 5. 如上图，在正方体中，M、N分别是，CD的中点，则异面直线AM与所成的角是　　‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若直线：与：平行，则与的距离为　　‎ A. B. C. D. ‎ 1. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　 ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若点和点关于直线对称，则　　‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 3. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 圆与圆的公切线有几条　　‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是　　‎ A. B. C. D. ‎ 6. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，则圆C的方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 7. 总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成利用下面的随机数表选取4个个体选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为______ ‎ ‎7806　6572　0802　6314　2947　1821　9800 3204　9234　4935　3623　4869　6938　7481‎ 8. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．‎ 9. 已知，，若直线与圆相切，则的取值范围是______ ．‎ 10. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是______ 岁 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 1. 在中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． 求角 A的大小； 若，求的面积． ‎ 2. 已知数列的前n项的和为，且，其中．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若数列满足，求数列的前n项和． ‎ 3. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点，N是CE的中点． 求证：； 求证：平面ADE； 求点A到平面BCE的距离．‎ ‎ ‎ 1. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 x ‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数 个 ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验． 请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：， 参考数据： ， ． ‎ 2. 已知圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点 求圆C的标准方程； 已知，经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于，两点． 求证：为定值； 求的最大值． ‎ 3. 已知圆C：，直线l： Ⅰ求直线 l所过定点A的坐标；Ⅱ求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；Ⅲ已知点，在直线MC上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．‎ ‎2018高二数学期中测试题 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. B 2. D 3. C 4. B 5. D 6. B 7. B 8. D 9. A 10. C 11. A 12. C ‎ ‎13. 29  ‎ ‎14.   ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：， ， ， ， 由余弦定理得，可得， 又， ． 根据正弦定理得， 又， ．  ‎ ‎18.Ⅰ当时，， 故：． 当时，， 且符合上式． 故数列的通项公式为：．Ⅱ由题可知，， 则：， ， 得：， 整理得：， 则：．  ‎ ‎19. 证明：Ⅰ，M是AB的中点，，分 平面平面ABCD，平面平面，平面ABE， 平面ABCD，分 平面ABCD，分Ⅱ取DE的中点F，连接AF，NF， ‎ 是CE的中点，， 是AB的中点，， ，四边形AMNF是平行四边形，分 ，分 平面ADE，平面ADE， 平面分 解：设点A到平面BCE的距离为d， 由知平面ABC，，， 则，，分 ， ， ，分即， 解得，故点A到平面BCE的距离为分  ‎ ‎20. 解：由数据求得，， 由公式求得，再由， 求得， 关于x的线性回归方程为； 当时，，时，， ，． 该小组所得线性回归方程是理想的．  ‎ ‎21. 解：由圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点 设，则， ，， ，，即， 圆C的标准方程为． 设直线l的方程为 ‎， 与圆的方程联立，可得， ， ，． 证明：为定值； ， 令，则，上式即为． 当且仅当，即时，取得最大值．  ‎ ‎22. 解：Ⅰ依题意得，， 令且，得，直线l过定点，Ⅱ当时，所截得弦长最短，由题知，， ，得，由得， 圆心到直线的距离为， 最短弦长为．Ⅲ法一：由题知，直线MC的方程为，假设存在定点满足题意， 则设，，得，且 整理得， 上式对任意恒成立， 且 解得或，舍去，与M重合 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数 法二：设直线MC上的点 取直线MC与圆C的交点，则 取直线MC与圆C的交点，则 令，解得或舍去，与M重合，此时 若存在这样的定点N满足题意，则必为， 下证：点满足题意， 设圆上任意一点，则 ， ‎ ‎ 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：2，3，4，5，6，，3，4，6，， 3，5，， 故选：B． 利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出B. 本题考查利用交集、补集、并集的定义进行集合的交、并、补的混合运算．‎ ‎2. 解：x，y满足的可行域如图： 由可行域可知目标函数经过可行域的A时，取得最大值，由，可得， 目标函数的最大值为：． 故选：D． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．‎ ‎3. 解：设高二x人，则，， 所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400 因为，所以，高二学生抽取人数为：， 故选C． 求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数． 本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键．‎ ‎4. 【分析】 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当时，程序终止即可得到结论． 【解答】 解：执行程序框图，有，，，代入循环， 第一次满足循环，，，； 满足条件，第二次满足循环，，，； 满足条件，第三次满足循环，，，； 满足条件，第四次满足循环，，，； 满足条件，第五次满足循环，，，‎ ‎； 满足条件，第六次满足循环，，，； 不成立，退出循环输出，； 故选B．‎ ‎5. 解：如图所示，建立空间直角坐标系 不妨设，则0，，0，，2，，1，，0，． 2，，． ． ． 故选：D． 如图所示，建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式即可得出． 本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6. 解：若直线：与：平行， 则，解得：， 故：与：的距离是： ， 故选：B． 根据直线平行求出a的值，根据平行线间的距离公式计算即可． 本题考查了直线的位置关系，考查平行线间的距离公式，是一道基础题．‎ ‎7. 解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2， 几何体的表面积． 故选B． 几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成． 本题考查了圆柱，棱柱的三视图和面积计算，属于基础题．‎ ‎8. 【分析】 本题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、中点坐标公式、互相垂直的直线的斜率关系等基础知识，考查运算求解能力属于基础题． 点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直然后两点中点在直线上联立两个一元两次方程求解即得． 【解答】 解：由 ‎ 解得， 故选D．‎ ‎9. 【分析】 要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键． 【解答】 解：根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线l过，， 又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆， 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离，即， 解得：； 当直线l过B点时，直线l的斜率为， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为 故选A．‎ ‎10. 解：圆化为标准方程为：，圆心坐标为，半径为2 圆化为标准方程为：，圆心坐标为，半径为3 圆心距 即两圆的圆心距等于两圆的半径的和 两圆相外切 两圆的公切线有3条 故选C． 将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数． 本题重点考查两圆的位置关系，考查相外切，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于基础题．‎ ‎11. 解：圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为3， 圆的圆心坐标，半径为1， 由图象可知当P，，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即：． 故选：A． 求出圆关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值． 本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．‎ ‎12. 解：由题意，，，， 直线，即， 到直线的距离为， 直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且， ， 圆C的方程为， 故选C． 根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，可得半径，即可得出结论． 本题考查分层抽样，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎13. 解：按照随机数表的读法，所得样本编号依次为08，02，14，可知第4个个体的编号为29． 故答案为：29． 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎14. 解：设正方体的棱长为a， 这个正方体的表面积为18， ， 则，即， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即， 即， 则球的体积； 故答案为：． 根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．‎ ‎15. 解：由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 整理得：‎ ‎， 设，则有，即， 解得：， 则的取值范围为． 故答案为． 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为的范围． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ ‎16. 解：根据频率和为1，得； 年龄在之间的频率是 ； ， ， 令， 解得； 估计该市出租车司机年龄的中位数大约是． 故答案为：． 先求出年龄在之间的频率，再求出中位数即可． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．‎ ‎17. 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题利用余弦定理即可得出． 根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎18. 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎19.Ⅰ推导出，从而平面ABCD，由此能证明．Ⅱ取DE的中点F，连接AF，NF，推导出四边形AMNF是平行四边形，从而，由此能证明平面ADE． 设点A到平面BCE的距离为d，由，能求出点A到平面BCE的距离． 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20. 根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程． 根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想． 本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．‎ ‎21. 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 由题意设，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，解得a ‎，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程； 设直线l的方程为，联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得 为定值； 由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值．‎ ‎22. 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．Ⅰ利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．Ⅱ当时，所截得弦长最短，由题知，，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．Ⅲ法一：由题知，直线MC的方程为，假设存在定点满足题意， 则设，，得，且，求出，然后求解比值． 法二：设直线MC上的点取直线MC与圆C的交点，则，取直线MC与圆C的交点，则，通过令，存在这样的定点N满足题意，则必为，然后证明即可．‎