江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 命题“∀x∈R，x2≥‎0”‎的否定为（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 2. 已知函数f（x）=x+（x＜0），则下列结论正确的是（　　）‎ A. 有最小值4 B. 有最大值‎4 ‎C. 有最小值 D. 有最大值 3. 已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=，则此数列的第三项是（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ 4. 已知a，b为实数，M：，N：a＜b，则M是N的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 关于x的不等式≥0的解集是（　　）‎ A. B. C. D. 或 6. 已知a，b为非零实数，且a-b≥0，则下列结论一定成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知数列{an}，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，则a2020=（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 7 D. 8‎ 8. ‎“∃x∈[1，2]，ax2+1≤‎0”‎为真命题的充分必要条件是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知实数x1，x2，m，n满足x1＜x2，m＜n，且（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0，则下列结论正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知数列{an}、{bn}均为等差数列，其前n项和分别记为An、Bn，满足=，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 设正实数x，y满足x+2y=1，则的最小值为（　　）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ 12. 已知数列{an}的通项an=，且存在正整数T，S使得aT≤an≤aS对任意的n∈N*恒成立，则T+S的值为（　　）‎ A. 15 B. ‎17 ‎C. 19 D. 21‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a‎4a6a8a10=16，则的值为______．‎ 14. 函数f（x）=x2+（x＞1）的最小值为______．‎ 15. 已知数列{an}满足a1=，n（n+1）（an+1-an）=an+1an，则该数列{an}的通项公式an=______．‎ 16. 已知关于x的不等式（4x-3）2≤4ax2的解集中的整数解恰好有三个，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 17. 已知数列{an}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，前n项和为Sn，a2、a4、a5成等比数列，且S5=-15． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{}的前10项和．‎ ‎ ‎ 1. 已知p：x2-2x-35≤0，q：x2-3mx+（‎2m-1）（m+1）≤0．（其中实数m＞2）． （1）分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． ‎ 2. 已知函数f（x）=-x2+a|x-3|+9． （1）a=2时，解关于x的不等式f（x）≥0； （2）若不等式f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 3. 已知数列{an}中，a1=4，（n+1）•an+1-（n+2）•an=（n2+3n+2）•2n． （1）设bn=，求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． ‎ 4. 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为AD=x，CD=y（单位：cm），且要求yx，部件的面积是cm2． （1）求y关于x的函数表达式，并求定义域； （2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值． ‎ ‎ ‎ 1. 已知数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有2Sn=（n+1）an恒成立． （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知关于n的不等式…对一切n≥3，n∈N*恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知cn=（）2，数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小并证明． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥‎0”‎的否定是∃x∈R，x2＜0． 故选：D． 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵x＜0， ∴-x＞0， ∴f（x）=x+=-[（-x）+]≤-2=-4，当且仅当（-x）=，即x=-2时取等号， ∴f（x）有最大值-4， 故选：D． 根据基本不等式即可求出． 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=， 可得a2=a1+=+=， a3=a2+=×+=， 故选：D． 由已知数列的递推式，分别令n=1，n=2，计算可得所求值． 本题考查数列递推式的运用：求其中的某一项，考查运算能力，是一道基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵a，b为实数，∴由，能够得到a＜b， 反之，由a＜b，不一定有，如-3＜-2，而无意义． ∴M是N的充分不必要条件． 故选：A． 由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由≥0可得，， ∴， 解可得，{x|-3＜x≤1} 故选：C． 由≥0可得，，结合二次不等式的求法即可求解． 本题主要考查了分式不等式的求解，解题的关键是转化为二次不等式的求解． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：a，b为非零实数，且a-b≥0， 所以a≥b，a2-b2=（a-b）（a+b）， ， ‎ ab2-ba2=ab（b-a）， 无法判断正负， 而成立， 故选：C． 作差法判断不等式是否成立即可． 本题利用作差法判断不等式问题，基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：数列{an}，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，所以a4=3，a5=8，a3=7，… 数列是周期数列，数列的周期为：4， a2020=a504×4+4=a4=3． 故选：B． 判断数列的周期性，然后转化求解a2020． 本题考查数列的周期性，递推关系式的应用，考查计算能力，是基本知识的考查． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：“∃x∈[1，2]，使ax2+1≤‎0”‎为真命题，等价于当x∈[1，2]时，a≤（-）max， x∈[1，2]时，g（x）=的值域为[-1，-]， ∴（-）max=-． ∴“∃x∈[1，2]，ax2+1≤‎0”‎为真命题的充分必要条件是a≤． 故选：B． “∃x∈[1，2]，ax2+1≤‎0”‎为真命题⇔当x∈[1，2]时，a≤（-）max，求出在[1，2]上的最大值，则答案可求． 本题考查充分必要条件的应用，考查特称命题的应用，考查数学转化思想方法，注意存在性命题和任意性命题的区别，属于中档题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0， m＜x1＜n，m＜x2＜n， ∵x1＜x2，m＜n， ∴m＜x1＜x2＜n 故选：A． 结合二次不等式的求解分别求出不等式（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0，的解集，然后即可进行比较． 本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础试题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，设An=kn（4n+1），Bn=kn（2n+3），k≠0， 则a5=S5-S4=5k（20+1）-4k（16+1）=105k-68k=37k， b7=S7-S6=7k（14+3）-6k（12+3）=119k-90k=29k， 所以==， 故选：B． An、Bn，满足=，不妨设An=kn（4n+1），Bn=kn（2n+3），即可得到的值． 本题考查了等差数列的前n项和，考查了前n项和与二次函数的关系，考查推理能力和运算能力，属于基础题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由正实数x，y满足x+2y=1， 则=+=2++≥2+2=6当且仅当=，即x=，y=时取等号， 故的最小值为6， 故选：B． 运用基本不等式即可得到所求最小值． 本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：an==，210＜2021＜211， 当n≤10时，数列递减；且an＜1，最小值为第10项， 当n＞10，数列递减，且an＞1，最大值为第11项， 故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项， 使得aT≤an≤aS对任意的n∈N*恒成立，所以T+S=10+11=21． 故选：D． 对an=变形，考虑数列的单调性，利用单调性求出故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项，得出结论． 考查数列的单调性判断和单调性的应用，存在性问题，中档题． 13.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：∵在各项均为正数的等比数列{an}中，a‎4a6a8a10=16， ∴a‎4a6a8a10==16，解得a7=2， ∴===a7=2． 故答案为：2． 推导出a‎4a6a8a10==16，解得a7=2，再由===a7，能求出结果． 本题考查等比数列的两项比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：由x＞1，得x2＞1，x2-1＞0； 所以函数f（x）=x2+=（x2-1）++1≥2•+1=3， 当且仅当x2-1=1，即x=时取“=”， 所以函数f（x）的最小值为3． 故答案为：3． 由题意，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值． 本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵n（n+1）（an+1-an）=an+1an， ∴两边同时除以an+1an得：， 化简得：n（n+1）（）=1， ∴两边同时除以n（n+1）得：=， ∴， ， …… ， 上式累加得：， 即：2-，∴， ‎ ‎∴． 故答案为：． 根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式． 本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法是解决本题的关键． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题知，a≥0 则 （4x-3）2≤4ax2， （4x-3）2-4ax2≤0， （4x-3+2x）（4x-3-2x）≤0， [（4+2）x-3][（4-2）x-3]≤0， 当a=2时，不等式为-24x+9≤0，解集为x，不是恰好有三个整数解． 当a≠2时，不等式为含x的一元二次不等式，此时 若时，即a=0时，不等式的解为x=不是恰好有三个整数解． 若0时，即0＜a＜4且a≠2时，不等式的解集为{x|} 又∵，∴如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3． ∴ 解得：．  若时，即a＞4时，不等式的解集为{x|x或}不会恰好有三个整数解． 综上所述，a的取值范围是[，）． 故答案为：[，）． 由题意，原不等式转化为，[（4+2）x-3][（4-2）x-3]≤0，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围． 本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．属于中档题． 17.【答案】解：（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=-a1d， 又∵d≠0，∴a1=-5d； 而，∴d=1； ∴an=a1+（n-1）d=n-6，∴{an}的通项公式为an=n-6． （2）∵，∴， 令，则为常数，∴{cn}是首项为-5，公差为的等差数列， ∴的前10项和为． ‎ ‎【解析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出，令，说明{cn}是首项为-5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可． 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力． 18.【答案】解：（1）由x2-2x-35=（x-7）（x+5）≤0，得M=[-5，7]； 由x2-3mx+（‎2m-1）（m+1）=[x-（‎2m-1）][x-（m+1）]≤0， ∵m＞2，∴‎2m-1＞m+1，得N=[m+1，‎2m-1]； （2）∵p是q的必要不充分条件，N⫋M， ∴，且等号不同时取， 解得-6≤m≤4， 又m＞2，∴2＜m≤4． ‎ ‎【解析】（1）分别求解一元二次不等式即可得到集合M与N； （2）由p是q的必要不充分条件，得N⫋M，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解． 本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题． ‎ ‎19.【答案】解：（1）a=2时，-x2+2|x-3|+9≥0，x≥3时，（x-3）（x+1）≤0， ∴-1≤x≤3，∴x=3；x＜3时，（x-3）（x+5）≤0，∴-5≤x≤3，∴-5≤x＜3； 综上所述，不等式的解集为[-5，3]． （2）f（x）≤0恒成立时，x2-9-a|x-3|≥0恒成立， ①x=3时，不等式恒成立，∴a∈R； ②x＞3时，（x-3）（x+3-a）≥0恒成立，∴x+3-a≥0恒成立，∴a≤6； ③x＜3时，（x-3）（x+3+a）≥0恒成立，∴x+3+a≤0恒成立，∴a≤-6； 综上所述，a的取值范围是（-∞，-6]． ‎ ‎【解析】（1）化简不等式，通过x与3的大小比较，去掉绝对值求解即可． （2）f（x）≤0恒成立时，x2-9-a|x-3|≥0恒成立，通过①x=3时，②x＞3时，③x＜3时，转化求解即可． 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是中档题． 20.【答案】解：（1）∵，等式两边同时除以（n+1）（n+2）得：，即； ∴n≥2时，有， …． 累加得，又，∴n≥2时，． 又n=1时，b1=2也满足上式，∴n∈N*时，． （2）由（1）可得， ∴， ∴$2{S_n}=egin{array}{l}{egin{array}{l}{}&{}end{array}}end{array}2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（{n+1}）•{2^{n+1}}$， ∴ =， ∴． ‎ ‎【解析】（1）已知条件化为，推出；利用累加法转化求解即可． （2）由（1）可得，利用错位相减法求解数列的和即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21.【答案】解：（1）∵，∴， 由得，∴函数的定义域为． （2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2， 过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则， ∴ =， ∵x2＞0，由基本不等式得：∴， 当且仅当，即时，取“=”． ∴圆形铁片的最小面积为（cm2）， 答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）． ‎ ‎【解析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可． （2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 22.【答案】解：（1）∵2Sn=（n+1）an，∴n≥2时，2Sn-1=nan-1， ‎ ‎∴2an=（n+1）an-nan-1，即 （n-1）an=nan-1（n≥2）， 又a1=1≠0，∴an≠0，∴， ∴， 累乘得n≥2时，， n=1时，a1=1也满足上式，∴an=n．（或构造常数列） （2）设， 则 = =， ∴f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， ∴，∴． （3）， ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn = =． ∴． ‎ ‎【解析】（1）利用数列的递推关系式化简，通过累积法转化求解数列的通项公式． （2）设，利用后一项与前一项的差的符号，判断数列的单调性即可． （3）通过放缩法，利用裂项消项法求解数列的和Tn=c1+c2+c3+…+cn然后推出结果． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是难题． ‎