2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题

2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题

东北育才学校高中部2020届高三第三次 模拟考试 ‎(理科数学）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ‎ ‎1. 设集合，，则=（ ）A. B. C. D.‎ ‎2.复数的虚部为（　）A.‎-1‎ B.‎-3‎ C. D.‎ ‎3.已知直线和互相平行，则实数（  ）‎ A. m=-1‎或3 B. m=-1‎ C. m=-3‎ D. m=1‎或m=-3‎ ‎4.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（ ） A. B． C． D．‎ ‎6.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分 ‎30‎ ‎°‎ A B C ‎75‎ ‎°‎ ‎60m 别为，，此时气球的高是m，则河流的 宽度等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.三个数大小关系是（　　）‎ A．1.10.4＜0.41.1＜log0.41.1 B．0.41.1＜log0.41.1＜1.10.4 ‎ C．log0.41.1＜1.10.4＜0.41.1 D．log0.41.1＜0.41.1＜1.10.4 ‎ ‎9.设函数，其中，则导数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知点O是‎△ABC内部一点，满足，且的面积为，‎△ABC的面积为则( )   ‎ A. ​ B. C. D. ‎ ‎11. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②‎ ‎③④ 其中为“H函数”的有（ ）‎ A.①② B.③④ C. ②③ D. ①②③‎ ‎12.经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐 近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若是坐标原点，△‎ 的面积是，则该双曲线的离心率是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.函数的最大值是______．‎ ‎14. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为 ‎,则直线的方程是 ______．‎ ‎15.设定义域为的函数满足则不等式解集为______．‎ ‎16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的长度．‎ ‎18.2019年电商“双十一”大战前夕.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对沈阳地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位：岁)[来源:Z|xx|k.Com]‎ 年龄段 ‎[15，25)‎ ‎[25，35)‎ ‎[35, 45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65)‎ ‎[65，75]‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.22‎ ‎0.05‎ ‎0.03‎ 购物人数 ‎8‎ ‎28‎ ‎24[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎1‎ (1) 若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？‎ 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 总计 使用网上购物 不使用网上购物 总计 (2) 若从年龄在［55， 65)，［65， 75］的样本中各随机选取2 人进行座谈，记选中的 4人中"使用网上购物”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考数据 参考公式：‎ 19. 四棱锥中，，底面为 20. 菱形，且有，，，为 中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎20.设函数 ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）‎ ‎21.已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴极坐标，曲线的方程：，曲线的方程：．‎ ‎（1）求曲线和曲线的直角坐标系方程；‎ ‎（2）从上任意一点作曲线的切线，设切点为，求切线长的最小值及此时点的极坐标．‎ ‎23.设函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若的解集为，，求证：．‎ 东北育才学校高中部2020届高三第三次模拟考试试题答案 选择题1-12：‎ CBABB DBDAA CC 填空题：13.1 14. 15.‎(1,+∞)‎ 16.‎ ‎17.解：（1）△ABC中，由acosB＝（c﹣b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB＝sinCcosA﹣sinBcosA，化简可得 sin（A+B）＝sinCcosA，即 sinC＝sinCcosA，求得cosA＝，∴A＝．‎ ‎（2）由cosB＝，可得sinB＝，再由正弦定理可得，即，得b＝2．△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，AB＝6.‎ ‎18.解：由统计表得，低于45岁的人数为70人，不低于45岁的人数为30人 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 总计 使用网上购物 ‎60‎ ‎15‎ ‎75‎ 不使用网上购物 ‎10‎ ‎15[来源:Zxxk.Com]‎ ‎25‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 故在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关 ‎（2）X的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[来源:学。科。网]‎ X的数学期望为 ‎19.解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，‎ ‎∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD ‎∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点 ‎∴EO∥PA，又∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD ‎∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线 ‎∴AC⊥面BED（6分）‎ ‎（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得 ‎∴（8分）‎ 设是平面ABE一个法向量 由，解得，‎ 所以取x1＝1，，，可得，‎ 因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝（10分）‎ ‎∴‎ 根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝‎ ‎∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．（12分）‎ ‎20.解：（1）的定义域为 令，解得；令，解得 当时，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ ‎；无极小值 -----------------------4分 ‎（2），因为，所以（）恒成立 ‎ 设，则 ‎ ‎ 设则 ‎ 所以在上单调递增，‎ 又 所以存在使得，‎ 当时，；当时，‎ 所以在上单调递减，上单调递增 ‎ 所以 ‎ ‎ 又，‎ ‎ 所以 令 则，所以在上单调递增 ‎ 所以，即 ‎ 因为，所以，所以的最大值为2 -------------------------------------12‎ ‎21.解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA•kPB＝＝﹣．‎ 又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．‎ ‎（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，‎ ‎∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵＝2，∴y1＝﹣2y2，‎ ‎∴+＝﹣，代入可得：m2＝．‎ ‎∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，‎ ‎∴S2＝m2•＝××＝9×．‎ ‎∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．‎ ‎∴△OAB面积的最大值为1．‎ ‎22.解：（I）曲线C1的方程：（α为参数），可得．‎ 由曲线C2的方程：．展开化为，化为x+y﹣8＝0．‎ ‎（II）根据题意设曲线C1的圆心为M，则|PQ|＝，当|PQ|最短时，|PM|最小，‎ 当PM⊥C2时，|PM|最短，此时|PM|＝＝6，‎ 此时PM的直线方程为y＝x，可得P．‎ 化为极坐标P，|PQ|的最小值＝＝．‎ ‎23.解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，‎ ‎∴①，或②，或 ③．‎ 解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥5，‎ ‎∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）．‎ ‎（2）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，‎ ‎∴，解得a＝1，∴+＝1 （m＞0，n＞0）．‎ ‎∴m+4n＝（m+4n）•（+）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即 m＝+1，n＝时，取等号．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布