高考数学专题复习练习：第九章 9_9 第三课时 定点、定值、探索性问题
第3课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题
例1 (2017·长沙联考)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
(1)解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
解 (1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①
焦点F(c,0)，因为＝，②
将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③
由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.
因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，
即t2－λ2＋2＝0.④
设圆与x轴的交点为T(x0,0)，
则＝(－－x0，y1)，＝(－x0，y2)．
因为MN为圆的直径，
故·＝x－2＋y1y2＝0.⑤
当t＝0时，不符合题意，故t≠0.
因为y1＝，y2＝，
所以y1y2＝，代入⑤结合④得
·＝
＝，
要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)，
即椭圆的两个焦点．
题型二 定值问题
例2 (2016·广西柳州铁路一中月考)椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值．
(1)解 ∵椭圆的焦点在y轴上，
故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，∴a＝，
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，与题意不符；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0,
则x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
∴|CD|＝
＝·
＝＝，
解得k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)证明 当直线l的斜率不存在时，与题意不符．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0，k≠±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴点P的坐标为(－，0)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，
且直线AC的方程为y＝(x＋1)，
直线BD的方程为y＝(x－1)，
将两直线方程联立，消去y，
得＝.
∵－1
0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：
取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
∵点M在曲线C上，∴x0＝，
∴|TS|＝2＝2是定值．
题型三 探索性问题
例3 (2015·四川)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由已知，点(，1)在椭圆E上，
因此
解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，
即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)，
由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2，
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，
下面证明：对任意直线l，均有＝，
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，
A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
因此＋＝＝2k，
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝，
故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立．
思维升华 解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
(2015·湖北)一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1) 求曲线C的方程；
(2) 设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
解 (1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且||＝||＝1，
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，
可得＋＝1，即所求曲线C的方程为＋＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
②当直线l的斜率存在时，
设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，
即m2＝16k2＋4.(*1)
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝·|PQ|·d＝·|m|·|xP－xQ|＝·|m|·＝.(*2)
将(*1)式代入(*2)式得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；
当0≤k2<时，
S△OPQ＝8＝8.
因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，
所以S△OPQ＝8≥8，
当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
23．设而不求，整体代换
典例 (12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．
思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．
规范解答
解 (1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.
由题意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.[2分]
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝ .
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.
所以＝.[4分]
因为－b>0)的离心率e＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．
解 (1)由短轴长为2，得b＝，
由e＝＝＝，
得a2＝4，b2＝2.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
证明如下：
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，即x＋2y＝4，
因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝(x＋2)，
所以M(0，)，直线QA方程为y＝(x＋2)，
所以N(0，)，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋(y－)(y－)＝0，
即x2＋y2－y＋＝0，
因为x－4＝－2y，所以x2＋y2＋2y－2＝0，
令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±.
所以以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
2．(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
(1)解 因为e＝，所以c＝a，a2＝b2＋(a)2.①
又椭圆过点(，)，所以＋＝1.②
由①②，解得a2＝6，b2＝4，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设直线l：y＝kx＋1，
联立
得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
易知B(0，－2)，
故kBC·kBD＝·
＝·
＝
＝k2＋＋
＝k2＋3k·－(3k2＋2)
＝－2.
所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，
又∵·＝(a＋c)·(a－c)
＝a2－c2＝1.
∴a2＝2，b2＝1，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，
且F恰为△PQM的垂心，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.
于是设直线l为y＝x＋m，
由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
∵·＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.
又yi＝xi＋m(i＝1,2)，
∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.(*)
将①②代入(*)式得2·－(m－1)＋m2－m＝0，
解得m＝－或m＝1，
经检验m＝－符合条件．
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，
直线l的方程为3x－3y－4＝0.
*4.(2016·江西三校第一次联考)已知半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点．
(1)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若|A1A2|>|B1B2|，求的取值范围；
(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
解 (1)∵F0(c,0)，F1(0，－)，F2(0，)，
∴|F0F2|＝＝b＝1，
|F1F2|＝2＝1，
∴c2＝，a2＝b2＋c2＝，
∴所求“果圆”的方程为
(2)由题意，得a＋c>2b，
即>2b－a，
∴a2－b2>(2b－a)2，得<.
又b2>c2＝a2－b2，∴>.
∴∈(，)．
(3)设“果圆”C的方程为
记平行弦的斜率为k，当k＝0时，
直线y＝t(－b≤t≤b)与半椭圆＋＝1(x≥0)的交点是P(a，t)，与半椭圆＋＝1(x<0)的交点是Q(－c，t)．
∴P，Q的中点M(x，y)满足x＝·，y＝t，得
＋＝1.
∵a2＝b2＋c2<2b2，∴a0时，过B1的直线l与半椭圆＋＝1(x≥0)的交点是(，)．
因此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为(，)，
轨迹在直线y＝－x上，即不在某一椭圆上．
当k<0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上．
