2018-2019学年吉林省实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年吉林省实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）‎ A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好。选A ‎2．在复平面内，复数(1＋i)·i对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以对应的点坐标为，故选 B．‎ 考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义．‎ ‎3．曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题考查极坐标方程的知识 答案 B 点评：通过极坐标的公式就可以直接转化 ‎4．若复数，其中i为虚数单位，则=‎ A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，选B.‎ ‎【考点】复数的运算，复数的概念 ‎【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.‎ 视频 ‎5． 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）‎ A．－ B． C．－ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得，故选D.‎ 考点：程序框图.‎ ‎6．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为（ ）‎ A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把给出的函数采用多项式乘多项式展开后，直接运用函数和的导数求导即可．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算，解答的关键是熟记基本初等函数的导数运算公式，此题是基础题．‎ ‎7．曲线，（ 为参数）的对称中心（ ）‎ A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.‎ 考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.‎ 视频 ‎8．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2‎ C．＜ D．＞‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质，特值法，作差法对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A选项，若，则，故不正确；‎ B选项，，，且，，故正确；‎ C选项，， ， ，故错误；‎ D选项，， ， ，故错误；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等关系与不等式、不等式的基本性质、比较法等基础知识，考查运 算求解能力．属于基础题．‎ ‎9．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为（ ）‎ A．(0，1) B．(0，＋∞)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，0)(1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数为，再解得的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．‎ ‎【详解】‎ 函数的导数为 令 ，得 ∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数． 因此，函数的单调递减区间是 . 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查考查函数的单调区间的求法，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A．s≤?‎ B．s≤?‎ C．s≤?‎ D．s≤?‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此时），因此可填，故选C.‎ 考点：程序框图及循环结构.‎ ‎11．极坐标系内曲线上的动点与定点的最近距离等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先将曲线的方程化为直角坐标方程，再把定点Q化成直角坐标，再利用数形结合求最短距离.‎ 详解：将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),‎ 则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,‎ 故答案为：A.‎ 点睛：(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)解答极坐标的问题，通常先把所有的条件化成直角坐标再解答.‎ ‎12．设x，y，z＞0，则三个数 （ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数相等列方程组求出的值，结合复数的模长公式进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 即，解得，‎ 即，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的模及复数相等的性质．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎14．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．‎ ‎【答案】<‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用作差比较法解答.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,‎ 所以 所以.‎ 故答案为：＜‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9．‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得。‎ 考点：线性回归方程 ‎16．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，，则f(x)＞2x＋4的解集为____．‎ ‎【答案】(－1，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 构造函数F(x)=f(x)-2x,,所以即求F(x)>4的解集，而F（x）在R上是单调递增函数，所以x>-1,填。‎ ‎【点睛】一般含有导数的不等式的式子，我们常需要根据题意中的不等式特征构造原函数y=F(x)，使得所构造原函数与不等式中的导函数相关，最重要的是能判定y=F(x)的单调性，再根据F(x)的单调性来解题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎∵2a3－b3－2ab2＋a2b＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)‎ ‎＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)‎ ‎＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，‎ 又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，‎ ‎∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，‎ ‎∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，‎ ‎∴2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝．‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝16，(t为参数)；（2）11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等式消参得到圆C的普通方程，根据直线的参数方程公式写出直线的参数方程得解；（2）把直线l的参数方程代入圆的普通方程消元整理，再利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ ‎【详解】‎ 由消去，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角＝，‎ 所以l的参数方程为 即(t为参数).‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得，‎ 即t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，‎ 由参数方程的几何意义得，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的参数方程和t的几何意义，考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．‎ ‎(1) 试估计哪个班级学生平均上网的时间较长。‎ ‎(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．‎ ‎【答案】（1）B班;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接计算两班的上网时间的平均值，再比较即得解；（2）直接利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)A班样本数据的平均值为 (9＋11＋14＋20＋31)＝17. ‎ 由此估计A班学生每周平均上网时间为17小时；‎ B班样本数据的平均值为 (11＋12＋21＋25＋26)＝19，‎ 由此估计B班学生每周平均上网时间较长.‎ ‎(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，‎ B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21，‎ 从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，‎ 分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，‎ 其中a＞b的情况有(14,11)，(14,12)两种，‎ 故a＞b的概率p＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图，考查平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程； ‎ ‎(2)用所求线性回归方程预测该地区2019年(t＝6)的人民币储蓄存款．‎ ‎（回归方程中，，）‎ ‎【答案】（1）；（2）10.8(千亿元)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；（2）将t＝6代入回归方程，可预测该地区2017年的人民币储蓄存款.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)易求＝ (1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝， ‎ 又＝120－5×3×7.2＝12， ＝55－5×32＝10.‎ 从而＝ ＝＝1.2，∴＝7.2－1.2×3＝3.6，‎ 故所求回归方程为＝1.2t＋3.6. ‎ ‎(2)将t＝6代入回归方程，‎ 可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．‎ 为了解“三高”疾病是否与性别有关，某医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： ‎ 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 ‎6‎ ‎30‎ 女 总计 ‎36‎ ‎(1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？‎ ‎(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式，其中n＝a＋b＋c＋d）‎ ‎【答案】（1）3人;（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分层抽样是按比例抽样，故首先确定抽样比为，从而可确定从女性中抽取的人数分别为；人；（2）根据表中数据，带入统计量计算公式中，然后与临界值表中数据比较即可．‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ 患三高疾病 ‎ 不患三高疾病 ‎ 合计 ‎ 男 ‎ ‎24 ‎ ‎6 ‎ ‎30 ‎ 女 ‎ ‎12 ‎ ‎18 ‎ ‎30 ‎ 合计 ‎ ‎36 ‎ ‎24 ‎ ‎60 ‎ ‎ ‎ 在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为 ‎∴女性应该抽取人. 6分 ‎（2）∵8分 ‎， 10分 那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系． 12分 考点：独立性检验和分层抽样.‎ ‎22．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．‎ ‎(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，可得函数是上的减函数，是上的增函数，函数在上的最小值为.， 且当时，有 .，从而可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由可得 ‎. ‎ 当时,,. ‎ 所以 曲线在点处的切线方程为，‎ 即. ‎ ‎（Ⅱ） ，‎ 解得或.‎ 当，即时，在区间上，，‎ 所以是上的增函数.‎ 所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.‎ 当，即时，随的变化情况如下表 ‎↘ ‎ ‎↗ ‎ 由上表可知函数在上的最小值为.‎ 因为 函数是上的减函数，是上的增函数，‎ 且当时，有 . ‎ 所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎