北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年度高二上学期期中数学试卷 一、选择题(本大题共8小题)‎ 1. 抛物线x2=4y的焦点坐标为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎“a=‎2”‎是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”(  )‎ A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) ‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ 4. 直线l:x+y+3=0被圆C:(θ为参数)截得的弦长为(  )‎ A. B. C. D. 8‎ 5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,则下列命题中正确的为(  )‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 7. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且,则△AFK的面积为(  )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ 8. 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(    )‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ 9. 已知直线的参数方程为(t为参数),则其倾斜角为______.‎ 10. 若圆O:x2+y2=1与圆C:x2+y2+6x+8y+m=0相切,则实数m=______.‎ 11. 若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是______.‎ 12. 直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点,若点P(4,1)为线段AB的中点,则直线l的方程是______.‎ 13. 已知圆,圆C2与圆C1关于直线y=x+1对称,则圆C2的标准方程是______.‎ 14. 已知椭圆G:的两个焦点分别为F1和F2,短轴的两个端点分别为B1和B2,点P在椭圆G上,且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.当b变化时,给出下列三个命题: ①点P的轨迹关于y轴对称; ②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个; ③|OP 北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年度高二上学期期中数学试卷 一、选择题(本大题共8小题)‎ 1. 抛物线x2=4y的焦点坐标为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎“a=‎2”‎是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”(  )‎ A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) ‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ 4. 直线l:x+y+3=0被圆C:(θ为参数)截得的弦长为(  )‎ A. B. C. D. 8‎ 5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,则下列命题中正确的为(  )‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 7. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且,则△AFK的面积为(  )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ 8. 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(    )‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ 9. 已知直线的参数方程为(t为参数),则其倾斜角为______.‎ 10. 若圆O:x2+y2=1与圆C:x2+y2+6x+8y+m=0相切,则实数m=______.‎ 11. 若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是______.‎ 12. 直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点,若点P(4,1)为线段AB的中点,则直线l的方程是______.‎ 13. 已知圆,圆C2与圆C1关于直线y=x+1对称,则圆C2的标准方程是______.‎ 14. 已知椭圆G:的两个焦点分别为F1和F2,短轴的两个端点分别为B1和B2,点P在椭圆G上,且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.当b变化时,给出下列三个命题: ①点P的轨迹关于y轴对称; ②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个; ③|OP ‎|的最小值为2, 其中,所有正确命题的序号是______.‎ 三、解答题(本大题共4小题)‎ 1. 已知动点P与平面上点A(-1,0),B(1,0)的距离之和等于2. (1)试求动点P的轨迹方程C. (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线l的方程. ‎ 2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1. (Ⅰ)若点F为PD上一点且PF=PD,证明:CF∥平面PAB; (Ⅱ)求二面角B-PD-A的大小.‎ ‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,点(2,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与圆O:x2+y2=2相切,与椭圆C相交于P,Q两点,求证:∠POQ是定值. ‎ 4. 设A、B分别为椭圆的左右顶点,设点P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N. (1)判断B与以MN为直径的圆的位置关系(内、外、上)并证明. (2)记直线x=4与轴的交点为H,在直线x=4上,求点P,使得S△APN=S△APH. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解:∵抛物线x2 =4y中,p=2,=1,焦点在y轴上,开口向上,∴焦点坐标为( 0,1 ), 故选:C. 先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而写出焦点坐标. 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,抛物线x2=2py的焦点坐标为(0,),属基础题. 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解:当直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直时,‎2a+‎3a=0即a=0, 所以“a=2”是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”的既不充分又不必要条件. 故选:D. 先求出直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直时,a满足的条件,即可判断. 本题主要考查充分、必要条件的判断以及直线垂直的等价条件应用,属于基础题. 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解:由题意,双曲线E:=1中a=3. ∵|PF1|=3,∴P在双曲线的左支上, ∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6, ∴|PF2|=9. 故选:B. 确定P在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论. 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题. 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解:圆C:(θ为参数)化为:(x+1)2+(y-2)2=16, 可得:圆心C(-1,2),半径r=4. ∴圆心C到直线l的距离d==2. ∴直线l被圆C截得的弦长=2=2=4. 故选:B. 利用平方关系把圆C的参数方程化为标准方程,求出圆心C到直线l的距离d,利用直线l被圆C截得的弦长=2即可得出. 本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离结论公式、平方关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解:设右焦点F(c,0), 将代入椭圆方程可得x=±a=±a, 可得B(-a,),C(a,), 由∠BFC=90°,可得kBF•kCF=-1, 即有 •=-1, 化简为b2=‎3a2‎-4c2, 由b2=a2-c2,即有‎3c2=‎2a2‎ ‎, 由e=,可得e2==, 可得e=, 故选:A. 设右焦点F(c,0),将代入椭圆方程求得B,C的坐标,运用两直线垂直的条件:斜率之积为-1,结合离心率公式,计算即可得到所求值. 本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件:斜率之积为-1,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解:由α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,得: 在A中,若m∥n,n⊂α,则m与α相交、平行或m⊂α,故A错误; 在B中,若m∥α,n⊂α,则m与n平行或异面,故B错误; 在C中,若α⊥β,m⊂α,则m与β相交、平行或m⊂β,故C错误; 在D中,若m⊥β,m⊂α,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确. 故选:D. 在A中,m与α相交、平行或m⊂α;在B中,m与n平行或异面;在C中,m与β相交、平行或m⊂β;由面面垂直的判定定理得α⊥β. 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解:∵抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2 ∴K(-2,0) 设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0) ∵,又AF=AB=x0-(-2)=x0+2 ∴由BK2=AK2-AB2得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,±4) ∴△AFK的面积为 故选B. 根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程,进而可求得K的坐标,设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0),根据及AF=AB=x0-(-2)=x0+2,进而可求得A点坐标,进而求得△AFK的面积. 本题抛物线的性质,由题意准确画出图象,利用离心率转化位置,在△ABK中集中条件求出x0是关键; 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和配方法是解决本题的关键,属于较难题. 根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论. 【解答】‎ 解:设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,(a1>a2),半焦距为c, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F‎1F2|=‎2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2, ∵∠F1PF2=, ∴由余弦定理可得‎4c2=(r1)2+(r2)2-2r1r2cos =(r1)2+(r2)2-r1r2, 不妨设r1>r2‎ ‎,由椭圆和双曲线的定义可知, 得, ∴=, 令m= = ​=, 当时,, ∴, 即的最大值为, 故选A.‎ ‎ 9.【答案】 ‎ ‎【解析】解:直线的参数方程为(t为参数), 消去参数t,化为普通方程是y-1=(x-1), 则该直线的斜率为,倾斜角为. 故答案为:. 把直线的参数方程化为普通方程,求出它的斜率和倾斜角的大小. 本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题,是基础题. 10.【答案】-11或9 ‎ ‎【解析】解:圆x2+y2+6x-8y+m=0即(x+3)2+(y-4)2=25-m, 表示以(-3,4)为圆心,半径等于的圆. 由题意,两个圆相内切,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值, 可得5=|-1|, 解得m=-11. 两个圆相外切,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=+1, 解得m=9, 故答案为:-11或9. 由题意,两个圆相内切,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值,两个圆相外切,两圆的圆心距等于半径之和,求得m的值. 本题主要考查圆的标准方程的特征,两点间的距离公式,两圆的位置关系的判定方法,属于中档题. 11.【答案】(,5) ‎ ‎【解析】解:由题意方程表示的是焦点在x轴上的椭圆, k-2>5-k>0, ∴<k<5. 故答案为:(,5) 焦点在x轴上的椭圆,满足x2的分母大于y2的分母并且大于0,建立不等式可求k的取值范围. 本题以椭圆的标准方程为载体,考查椭圆的性质,利用焦点在y轴上的椭圆,满足x2的分母大于y2的分母并且大于0,是解题的关键. 12.【答案】x-y-3=0 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与双曲线的位置关系,点差法的应用.涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化. 设出A,B的坐标,代入双曲线方程,两式相减,根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2‎ 的值,进而求得直线AB的斜率,根据点斜式求得直线的方程. 【解答】 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=2, ∵x12-4y12=4,x22-4y22=4, 两式相减可得:(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴8(x1-x2)-8(y1-y2)=0, ∴kAB=1, ∴直线的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0. 故答案为:x-y-3=0. 13.【答案】x2+(y+1)2=1 ‎ ‎【解析】解:依题意,设圆C2的圆心坐标为(a,b), 则因为圆,的圆心为(-2,1), 所以解得, 所以圆C2的标准方程是:x2+(y+1)2=1, 故答案为:x2+(y+1)2=1, 求出圆C2的圆心坐标,又圆C1和圆C2的半径相等,即可得到其方程. 本题考查了圆的标准方程,考查了点关于直线的对称点的求法,属于基础题. 14.【答案】①③ ‎ ‎【解析】解:椭圆G:的两个焦点分别为 F1(,0)和F2(-,0), 短轴的两个端点分别为B1(0,-b)和B2(0,b), 设P(x,y),点P在椭圆G上,且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|, 由椭圆定义可得,|PB1|+|PB2|=‎2a=2>2b, 即有P在椭圆+=1上. 对于①,将x换为-x方程不变,则点P的轨迹关于y轴对称, 故①正确; 对于②,由图象可得轨迹关于x,y轴对称,且0<b<, 则椭圆G上满足条件的点P有4个, 不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个,故②不正确; 对于③,由图象可得,当P满足x2=y2,即有6-b2=b2,即b=时, |OP|取得最小值,可得x2=y2=2,即有|OP|的最小值为2,故③正确. 故答案为:①③. 运用椭圆的定义可得P也在椭圆+=1上,分别画出两个椭圆的图形,即可判断①正确; 通过b的变化,可得②不正确;由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时,|OP|的值取得最小,即可判断③. 本题考查椭圆的定义和方程的运用,以及对称性,考查数形结合的思想方法,以及运算能力,属于中档题. 15.【答案】解:(1)由|AB|=2<|PA|+|PB|=2, 根据椭圆的第一定义,可得P的轨迹为以A,B为焦点的椭圆, 且‎2a=2,即a=,c=1, b==1,则动点P的轨迹方程C为+y2=1; (2)将直线l:y=kx+1代入椭圆方程x2+2y2=2, 可得(1+2k2)x2+4kx=0‎ ‎, 解得x1=0,x2=-, 可得M(0,1),N(-,), 由题意可得|MN|==, 解得k=±1,即有直线l的方程为y=±x+1. ‎ ‎【解析】(1)由椭圆的第一定义,可得P的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可你到底所求轨迹方程; (2)将直线方程代入椭圆方程,解方程可得M,N的坐标,再由两点的距离公式解方程可得斜率k,进而得到直线方程. 本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆的第一定义,考查弦长的求法,注意运用直线方程和椭圆方程联立,考查运算能力,属于中档题. 16.【答案】证明:(Ⅰ)过点F作FH∥AD,交PA于H,连接BH, 因为PF=PD,所以HF=AD=BC. 又FH∥AD,AD∥BC,所以HF∥BC. 所以BCFH为平行四边形,所以CF∥BH. 又BH⊂平面PAB,CF⊄平面PAB, 所以CF∥平面PAB. 解:(Ⅱ)因为梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,所以BC⊥AB.PB⊥平面ABCD, 如图,以B为原点,BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3). 设平面BPD的一个法向量为=(x,y,z),平面APD的一个法向量为=(a,b,c), 因为=(3,3,-3),=(0,0,3) 所以, 取x=1得到=(1,-1,0), 同理可得=(0,1,1), 所以cos<>==-, 因为二面角B-PD-A为锐角, 所以二面角B-PD-A为. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)过点F作FH∥AD,交PA于H,连接BH,证明HF∥BC,CF∥BH,然后证明CF∥平面PAB. (Ⅱ)说明BC⊥AB.PB⊥AB,PB⊥BC,以B为原点,BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面BPD的一个法向量,平面APD的一个法向量,通过向量的数量积求解二面角B-PD-A的大小. 本题考查直线与平面平行的判定,二面角的平面角的求法,向量的数量积的应用,考查空间想象能力以及计算能力. 17.【答案】解:(1)由题得e=,所以c2=,则b2=, 再将点(2,1)带入方程得,解得a2=6,所以b2=3,则椭圆C的方程为:; (2)①当直线PQ斜率不存在时,则直线PQ的方程为x=或x=-, 当x=时,P(,),Q(,-),此时,所以OP⊥OQ,即∠POQ=90°, 当x=-时,同理可得OP⊥OQ,∠POQ=90°; ②当直线PQ斜率存在时,不妨设直线PQ的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0, 因为直线与圆相切,所以,即m2=2k2+2, 联立,得(1+2k2)x2+4kmx+‎2m2‎-6=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有,, 此时=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)==‎ ‎, 将m2=2k2+2代入上式可得,所以OP⊥OQ,则∠POQ=90°; 综上:∠POQ是定值为90°. ‎ ‎【解析】(1)由题得e=得到a,b,c的关系,再将点(2,1)代入可解得a2=6,进而得到方程; (2)考虑PQ斜率不存在和存在两种情况,分别计算出=0,可得∠POQ=90°为定值. 本题是直线与椭圆的综合,计算出=0时判断∠POQ是否为定值的关键,属于中档题. 18.【答案】解:(1)点B在以MN为直径的圆内.证明如下: 由已知可得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0). ∵M点在椭圆上,∴y02=(4-x02). ① 又点M异于顶点A、B,∴-2<x0<2. 由P、A、M三点共线可得, 即P(4,). 从而=(x0-2,y0),=(2,). ∴=2x0-4+=(x02-4+3y02). ② 将①代入②,化简得=(2-x0). ∵2-x0>0,∴>0,于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角, 故点B在以MN为直径的圆内. (2)可得A(-2,0),B(2,0).设N(x0,y0).P(4,t), 由P、B、N三点共线可以得,即t=. 又S△APN=S△APH等价于S△ABN=S△BPH. 即|y0|=|t|=||⇒x0=1. ∴+=1,∴y0=, ∴t=±3. 故点P(4,±3) ‎ ‎【解析】(1)由已知得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0).又点M异于顶点A、B,可得-2<x0<2.由P、A、M三点共线可以得P.可得>0,即可证明. (2)设N(x1,y1).P(4,t)由P、B、N三点共线可得t=.由S△APN=S△APH.等价于S△ABN=S△BPH.解得x0=1.即可. 本题考查了椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系,考查了转化思想,运用三点共线求点的坐标是关键,属于难题. ‎
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