高三数学（文数）总复习练习专题二 函数概念及其基本性质
1．(2015·湖北，6，易)函数 f(x)＝ 4－|x|＋lg x2－5x＋6
x－3
的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
【答案】 C 要使函数有意义，则{4－|x| ≥ 0，
x2－5x＋6
x－3
＞0，
x ≠ 3，
解得 2＜x≤4 且 x≠3，
所以定义域为(2，3)∪(3，4]．
2．(2015·课标Ⅰ，10，中)已知函数 f(x)＝{2x－1－2， x ≤ 1，
－log2（x＋1）， x > 1，且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝
( )
A．－7
4 B．－5
4
C．－3
4 D．－1
4
【答案】 A 若 a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，a∈∅；若 a＞1，得－log 2(a＋1)＝－3，解得 a＝7，
所以 f(6－a)＝f(－1)＝－7
4，选 A.
3．(2015·山东，10，中)设函数 f(x)＝{3x－b， x＜1，
2x， x ≥ 1.若 ＝4，则 b＝( )
A．1 B.
7
8
C.
3
4 D.
1
2
【答案】 D f (5
6 )＝5
2－b.若5
2－b＜1，即 b＞3
2
时，3(5
2－b)－b＝4，解得 b＝7
8，不符合题意，
故舍去；若5
2－b≥1，即 b≤3
2时，得 2
5
2－b＝4，解得 b＝1
2.故选 D.
思路点拨：先计算出 f (5
6 )的值，再根据 f (5
6 )的取值范围进行讨论，最后解方程求得 b 的
值．
4．(2015·湖北，7，中)设 x∈R，定义符号函数 sgn x＝{1，x＞0，
0，x＝0，
－1，x＜0.
则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】 D 当 x＜0 时，x|sgn x|＝x＜0，排除 A；
x sgn|x|＝x＜0，排除 B；
|x|sgn x＝－|x|，排除 C，故选 D.
5．(2015·浙江，12，易)已知函数 f(x)＝{x2， x ≤ 1，
x＋6
x
－6， x > 1，则 f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是
5
6f f
________．
【解析】 ∵f(－2)＝4，
∴f(f(－2))＝f(4)＝－1
2.
当 x≤1 时，f(x)＝x2，
求得 f(x)min＝0.
当 x＞1 时，f(x)＝x＋6
x－6≥2 6－6，当且仅当 x＝ 6时取“＝”．
∴f(x)min＝2 6－6＜0.
∴f(x)的最小值是 2 6－6.
【答案】 －1
2 2 6－6
1．(2014·山东，3，易)函数 f(x)＝ 1
log2x－1
的定义域为( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】 C 要使函数有意义，
须满足{log2x－1 > 0，
x > 0， 解得 x>2.
2．(2012·福建，9，中)设 f(x)＝{1，x > 0，
0，x＝0，
－1，x < 0，
g(x)＝{1，x为有理数，
0，x为无理数，则 f(g(π))的值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．π
【答案】 B 因为π为无理数，所以 g(π)＝0，故 f(g(π))＝f(0)＝0.
方法点拨：分段函数求值的关键是分清自变量所在的区间所对应的函数解析式，复合函数求值要由
里到外逐层求值．
3．(2011·福建，8，中)已知函数 f(x)＝{2x，x＞0，
x＋1，x ≤ 0.若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】 A 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2.
∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故 a＝－3，故选 A.
思路点拨：首先由 f(a)＋f(1)＝0，求 f(a)的值，再根据 f(a)的值判断出 f(a)对应的解析式，求出 a 的
值．
4．(2014·浙江，7，中)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且 0
9
【答案】 C 由已知得 f(－1)＝－1＋a－b＋c＝f(－2)＝－8＋4a－2b＋c，所以 3a－b＝7.①
f(－1)＝－1＋a－b＋c＝f(－3)＝－27＋9a－3b＋c，所以 4a－b＝13.②
联立①②解得 a＝6，b＝11，
所以 f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.
又 0 0，
1－x2 ≥ 0，
x ≠ 0，
解得 0 0.
π
4f f
若 f(f(a))＝2，则 a＝________.
【解析】 (1)f (π
4 )＝－tan
π
4 ＝－1<0，
∴f (f(π
4 ))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
(2)若 a>0，则 f(a)＝－a2<0，
∴f(f(a))＝a4－2a2＋2，
由 f(f(a))＝2，得 a4－2a2＋2＝2，
解得 a＝ 2(舍负)．
若 a≤0，则 f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，
∴f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2<0≠2.
综上，a＝ 2.
【答案】 (1)－2 (2) 2
【点拨】 解题(1)的思路是根据自变量的取值代入不同的解析式；解题(2)要注意分类讨论思想的应
用．
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量
的取值范围．
当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
(1)(2012·陕西，11)设函数 f(x)＝{ x，x ≥ 0，
(1
2 ) x
，x < 0，则 f(f(－4))＝________．
(2)(2011·江苏，11)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝ {2x＋a，x < 1，
－x－2a，x ≥ 1.若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为
________．
(1)【解析】 f(－4)＝(1
2 )－4
＝16.
又 f(16)＝ 16＝4，
∴f(f(－4))＝4.
【答案】 4
(2)【解析】 ①当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1.
这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，
解得 a＝－3
2，
不符合题意，舍去．
②当 a<0 时，1－a>1，1＋a<1.
这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－3
4.
综合①②知 a 的值为－3
4.
【答案】 －3
4
1．(2015·江西南昌二模，3)函数 y＝ x（x－1）－lg
1
x的定义域为( )
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1 或 x＜0} D．{x|0＜x≤1}
【答案】 B 由{x（x－1） ≥ 0，
1
x＞0， 得 x≥1.故选 B.
2．(2015·河北秦皇岛一模，3)设函数 y＝ 1
x2－3x－10
的定义域为 A，B＝{x||x－m|<6}且 A∪B＝R，
则实数 m 的取值范围为( )
A．－10 解得 x<－2 或 x>5，所以 A＝{x|x<－2 或 x>5}．
因为 B＝{x||x－m|<6}＝{x|－6＋m 5， 解得－1 0，
10x，x ≤ 0， 则 f(f(－2))的值为( )
A.
1
100 B．2 C. 10 D．－2
【答案】 D ∵－2≤0，∴f(－2)＝10－2，
∴f(f(－2))＝f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
4．(2015·安徽合肥三模，6)已知函数 f(x)＝{2x，x < 0，
f（x－1）＋1，x ≥ 0，则 f(2 015)等于( )
A．2 015 B.
4 033
2 C．2 016 D.
4 031
2
【答案】 B 由题意知，当 x≥0 时，f(x＋1)＝f(x)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝1，
∴f(2 015)＝f(1)＋2 014×1.
又 f(0)＝f(－1)＋1＝1
2＋1＝3
2，f(1)＝f(0)＋1＝5
2，
∴f(2 015)＝5
2＋2 014＝4 033
2 .
5．(2014·辽宁沈阳质检，9)设函数 f(x)＝{21－x，x ≤ 1，
1－log2x，x＞1，则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
【答案】 D f(x)≤2⇔{x ≤ 1，
21－x ≤ 2或{x＞1，
1－log2x ≤ 2⇔0≤x≤1 或 x＞1，故 x 的取值范围是[0，＋
∞)．
6．(2015·山东滨州二模，8)具有性质 f (1
x )＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函
数．下列函数：①y＝x－1
x
；②y＝x＋1
x；③y＝{x（0＜x＜1），
0（x＝1），
－1
x
（x＞1）
中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．只有①
【答案】 C (逐项验证法)对于①，f (1
x )＝1
x
－x＝－f(x)满足条件；
对于②，f (1
x )＝1
x＋x≠－f(x)不满足条件；
对于③，f (1
x )＝{－x （0＜x＜1），
0 （x＝1），
1
x （x＞1）
满足 f (1
x )＝－f(x)．故③满足“倒负”变换，故选 C.
7．(2015·云南昆明统一检测，8)已知函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果 f(x＋2 014)＝
{ 2sin x，x ≥ 0，
lg（－x），x < 0，那么 f (2 014＋
π
4 )·f(－7 986)＝( )
A．2 014 B．4 C.
1
4 D.
1
2 014
【答案】 B f (2 014＋
π
4 )＝ 2sin
π
4 ＝1，
f(－7 986)＝f(2 014－10 000)＝lg 10 000＝4，则 f (2 014＋
π
4 )·f(－7 986)＝4.
8．(2015·河南开封模拟，13)若一次函数 y＝f(x)满足 f(f(x))＝9x＋1，则 f(x)＝________________．
【解析】 设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则 f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b
＝9x＋1.
∴a2＝9 且 ab＋b＝1，
解得{a＝3，
b＝1
4
或{a＝－3，
b＝－1
2.
∴f(x)＝3x＋1
4或 f(x)＝－3x－1
2.
【答案】 3x＋1
4或－3x－1
2
9．(2015·黑龙江大庆第二次质检，14)设函数 f(x)＝ {2x，x ≤ 0，
|log2x|，x > 0，则使 f(x)＝1
2的 x 的集合为
________．
【解析】 由题意知，若 x≤0，则 2x＝1
2
，解得 x＝－1；若 x>0，则|log2x|＝1
2，
解得 x＝2
1
2或 x＝2－1
2.
故 x 的集合为{－1， 2，
2
2 }.
【答案】 {－1， 2，
2
2 }
1．(2015·陕西，9，易)设 f(x)＝x－sin x，则 f(x)( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
【答案】 B f(x)的定义域为 R，
∵f(－x)＝－x－sin(－x)
＝－x＋sin x＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数．
∵f′(x)＝1－cos x≥0，
∴f(x)在 R 上为增函数．
∵f(0)＝0，∴函数 f(x)有零点．
故选 B.
2．(2015·课标Ⅱ，12，中)设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ 1
1＋x2，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围
是( )
A.(1
3，1)
B.(－∞，
1
3)∪(1，＋∞)
C.(－1
3，
1
3)
D.(－∞，－1
3)∪(1
3，＋∞)
【答案】 A 易判断 f(x)是偶函数，当 x＞0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1
1＋x2.∵f′(x)＝ 1
1＋x
＋ 2x
（1＋x2）2
＞0，∴f(x)在(0，＋∞)是增函数，∴不等式可化为 f(|x|)＞f(|2x－1|)，即|x|＞|2x－1|，即 3x2－4x＋1＜0，
解得1
3＜x＜1.
思路点拨：由于 f(x)是偶函数，故先研究 x＞0 的情况，当 x＞0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1
1＋x2，利用导
数判断 f(x)在(0，＋∞)是增函数，转化为|x|＞|2x－1|，进而求得 x 的取值范围．
1．(2014·北京，2，易)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
【答案】 B 选项 A，y＝e－x＝(1
e ) x
，在 R 上为减函数；
选项 B，y＝x3 在 R 上为增函数；
选项 C，y＝ln x，定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为增函数；
选项 D，y＝|x|＝{x，x ≥ 0，
－x，x < 0 在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数．
2．(2014·湖南，4，易)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ 1
x2 B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
【答案】 A 选项 A，由于 y＝x2 在(－∞，0)上单调递减，所以 f(x)＝ 1
x2在(－∞，0)上单调递增；
选项 B，f(x)＝x2＋1 是偶函数但在(－∞，0)上单调递减；选项 C，f(x)＝x3 为奇函数；选项 D，f(x)＝2－x
为非奇非偶函数，综上选 A.
3．(2014·陕西，7，中)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝ D．f(x)＝(1
2 ) x
【答案】 B (根据函数满足的条件和函数性质逐一判断)f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满
足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，A 错误．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，且 f(x)＝3x 是增函
数，B 正确．f(x)＝ ，f(x＋y)＝(x＋y)1
2
≠ · ，不满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，C 错误．f(x)＝(1
2 )
x
，f(x＋y)＝(1
2 )x＋y
＝(1
2 ) x
·(1
2 ) y
，满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，但 f(x)＝(1
2 ) x
不是增函数，D
错误．
方法点拨：解抽象函数的有关试题的关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理，
例如采用赋值法，以寻求解题的切入点．
4．(2013·北京，3，中)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝1
x B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
【答案】 C (逐项验证法)A 中 y＝1
x是奇函数，A 不正确；B 中 y＝e－x＝(1
e ) x
是非奇非偶函数，
B 不正确；C 中 y＝－x2＋1 是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中 y＝lg |x|在(0，＋∞)
上是增函数，D 不正确．故选 C.
5．(2012·辽宁，8，中)函数 y＝1
2x2－ln x 的单调递减区间为( )
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】 B (根据函数的导数小于 0 的解集就是函数的单调减区间求解)由题意知，函数的定义域
为(0，＋∞)，又由 y′＝x－1
x≤0，解得 0f(x2)，那
么就说函数 f(x)在区间 D 上是
减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，所以求函数的单调区间时，必须先求函数的定义
域．
(2)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是
增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数 y＝x2，当 x∈[0，＋∞)时是增函数，当 x∈(－∞，
0]时是减函数．
(3)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一单调性的区间用“和”连接(或用“，”隔开)，
不能用“∪”连接．
(1)(2015·浙江金华十校调研，4)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )
A．y＝1
x－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex－x
(2)(2014·天津，12)函数 f(x)＝lg x2 的单调递减区间是________．
(3)(2015·广东佛山联考，17，12 分)讨论函数 f(x)＝ ax
x2－1(a>0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】 (1)对于 A，y1＝1
x在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则 y＝1
x－x 在
(0，＋∞)内是减函数；B，C，D 选项中的函数在(0，＋∞)上的单调性不确定．故选 A.
(2)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2 在(－∞，0)上递减，
在(0，＋∞)上递增，故 f(x)在(－∞，0)上单调递减．
(3)方法一(定义法)：设－10，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.
又 a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数 f(x)在(－1，1)上为减函数．
方法二(导数法)：
f′(x)＝（ax）′（x2－1）－ax（x2－1）′
（x2－1）2
＝a（x2－1）－2ax2
（x2－1）2 ＝a（－x2－1）
（x2－1）2 ＝－a（x2＋1）
（x2－1）2.
∵a>0，x∈(－1，1)，
∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1，1)上是减函数．
【点拨】 题(1)利用已知函数的单调性来判断；解题(2)的关键是利用复合函数“同增异减”的法则
来判断；题(3)利用单调性的定义或导数来判断．
判断函数单调性的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，如已知 f(x)，g(x)为增函数，则－f(x)为减函数，f(x)＋g(x)为增函数．
(2)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判
断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大
小关系及不等式的性质作出判断．
(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单
调性．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
(5)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于 y＝f(g(x))型的复合函数，可以把它看成由 y＝
f(t)和 t＝g(x)复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复
合后的函数为减函数．
(2011·江苏，2)函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【解析】 要使 y＝log5(2x＋1)有意义，则 2x＋1>0，即 x>－1
2，而 y＝log5u 为(0，＋∞)上的增函数，
当 x>－1
2时，u＝2x＋1 也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是(－1
2，＋∞).
【答案】 (－1
2，＋∞)
考向 2 求函数的最值或值域
1．函数的最值
(1)最大值：函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足以下两个条件：①对于任意的 x∈I，都
有 f(x)≤M；②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
(2)最小值：函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足以下两个条件：①对于任意的 x∈I，都
有 f(x)≥m；②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝m.那么，我们称 m 是函数 y＝f(x)的最小值．
函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值．
(1)(2015·河南郑州检测，5)已知 a>0，设函数 f(x)＝ 2 012x＋1＋2 010
2 012x＋1 (x∈[－a，a])的最
大值为 M，最小值为 N，那么 M＋N＝( )
A．2 008 B．2 009
C．4 018 D．4 022
(2)(2013·北京，13)函数 f(x)＝{log
1
2x，x ≥ 1，
2x，x < 1
的值域为________．
(3)(2014·云南昆明模拟，18，12 分)已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a
x
，x∈[1，＋∞)．
①当 a＝1
2时，求函数 f(x)的最小值；
②若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
【解析】 (1)由题意得 f(x)＝2 012x＋1＋2 010
2 012x＋1
＝2 012－ 2
2 012x＋1.
∵y＝2 012x＋1 在[－a，a]上是单调递增的，
∴f(x)＝2 012－ 2
2 012x＋1
在[－a，a]上是单调递增的，
∴M＝f(a)，N＝f(－a)，
∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 024－ 2
2 012a＋1
－ 2
2 012－a＋1
＝4 022.故选 D.
(2)当 x≥1 时，f(x)＝log
1
2x 是单调递减的，
此时，函数的值域为(－∞，0]；
当 x<1 时，f(x)＝2x 是单调递增的，
此时，函数的值域为(0，2)．
综上，f(x)的值域是(－∞，2)．
(3)①当 a＝1
2时，f(x)＝x＋ 1
2x
＋2，在[1，＋∞)上为增函数，故 f(x)min＝f(1)＝7
2.
②f(x)＝x＋a
x＋2，x∈[1，＋∞)．
a．当 a≤0 时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．
最小值为 f(1)＝a＋3.
要使 f(x)＞0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，只需 a＋3＞0，即 a＞－3，所以－3＜a≤0.
b．当 0＜a≤1 时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.
所以 a＋3＞0，a＞－3.所以 0＜a≤1.
c．当 a＞1 时，f(x)在[1， a]上为减函数，在( a，＋∞)上为增函数，
所以 f(x)在[1，＋∞)上的最小值是 f( a)＝2 a＋2，2 a＋2＞0，显然成立．
综上所述，f(x)>0 在[1，＋∞)上恒成立时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．
【点拨】 解题(1)的关键是判断函数 f(x)的单调性；解题(2)时注意求出 f(x)在每一段的值域，最后
求并集；解题(3)①的关键是判断函数的单调性，②的方法是将恒成立问题转化为函数的最值问题．
1.求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最
值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
2．恒成立问题的解法
(1)m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max.
(2)m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.
(1)(2015·黑龙江重点中学质检，15)用 min{a，b，c}表示 a，b，c 三个数中的最小值，设
f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则 f(x)的最大值为________；
(2)(2014·广东惠州高三月考，14)已知函数 f(x)的值域为[3
8，
4
9]，则函数 g(x)＝f(x)＋ 1－2f（x）的值
域为______．
【解析】 (1)画出 y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x 的图象，观察图象可知
f(x)＝{2x（0 ≤ x < 2），
x＋2（2 ≤ x < 4），
10－x（x ≥ 4），
∴f(x)的最大值在 x＝4 时取得，且最大值为 6.
(2)∵3
8≤f(x)≤4
9，
∴1
3≤ 1－2f（x）≤1
2.
令 t＝ 1－2f（x），则 f(x)＝1
2(1－t2)，
令 y＝g(x)，则 y＝－1
2(t－1)2＋1.
∴当 t＝1
3时，y 有最小值7
9；当 t＝1
2
时，y 有最大值7
8.
∴g(x)的值域为[7
9，
7
8].
【答案】 (1)6 (2)[7
9，
7
8]
考向 3 函数单调性的应用
函数的单调性的应用
(1)比较函数值的大小；
(2)解抽象函数不等式；
(3)求待定参数的值或取值范围．
(1)(2015·北京模拟，7)设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，
则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)f(3)>f(2)，即 f(π)>f(－3)>f(－2)．
(2)∵f(log
1
2
a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，
∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，
即 1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．
又 f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，
∴－1≤log2a≤0，∴1
2≤a≤1.
综上可知1
2≤a≤2.
【答案】 (1)A (2)C
【点拨】 解题(1)的关键是利用偶函数的性质将－2，π，－3 转化到同一个单调区间上；解题(2)
的关键是结合图象利用单调性将“f”脱掉．
利用函数单调性求参数取值范围的方法
利用函数的单调性求参数的取值范围，首先要视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确
定函数的单调区间，然后与已知单调区间比较求参数．需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，
则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．此外，也可结合常见函数的单调性求解，比如一次函数、
反比例函数和二次函数．
在求抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，得到关于参数的等式或不
等式关系．
(2012·安徽，13)若函数 f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则 a＝________．
【解析】 ∵f(x)＝{2x＋a，x ≥ －a
2，
－2x－a，x < －a
2，
∴f(x)在(－∞，－a
2)上单调递减，在[－a
2，＋∞)上单调递增，∴－a
2＝3，
∴a＝－6.
【答案】 －6
1．(2015·安徽阜阳二模，5)给定函数①y＝x
1
2
，②y＝log
1
2
(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区
间(0，1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】 B ①y＝x
1
2在(0，1)上递增；②∵t＝x＋1 在(0，1)上递增，且 0<
1
2<1，故 y＝log
1
2(x＋1)
在(0，1)上递减；③结合图象可知 y＝|x－1|在(0，1)上递减；④∵u＝x＋1 在(0，1)上递增，且 2>1，故 y
＝2x＋1 在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③.
2．(2015·福建福州一模，8)函数 f(x)＝{－x＋3a，x < 0，
ax，x ≥ 0 (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数，则 a 的取
值范围是( )
A．(0，1) B.[1
3，1)
C.(0，
1
3] D.(0，
2
3]
【答案】 B 当 x<0 时，函数 f(x)＝－x＋3a 是减函数；当 x≥0 时，若函数 f(x)＝ax 是减函数，则
00
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】 B ∵函数 f(x)＝log2x＋ 1
1－x
在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，
∴当 x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；
当 x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，
即 f(x1)＜0，f(x2)＞0.
4．(2015·北京丰台一模，6)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，则下
列各式一定成立的是( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)>f(3) D．f(－2)f(3)，∴f(－1)>f(3)，故选 C.
5．(2014·辽宁五校第二次联考，12)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，
且 f (1
3 )＝0，则不等式 f(log
1
8
x)＞0 的解集为( )
A.(1
2，2) B．(2，＋∞)
C.(0，
1
2)∪(2，＋∞) D.(1
2，1)∪(2，＋∞)
【答案】 C 由已知 f(x)在 R 上为偶函数，且 f (1
3 )＝0，
∴f(log
1
8x)＞0 等价于 f(|log
1
8x|)＞f (1
3 ).
又 f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|log
1
8x|＞1
3，即 log
1
8x＞1
3或 log
1
8x＜－1
3，
解得 0＜x＜1
2或 x＞2，故选 C.
6．(2015·湖北武汉模拟，9)若不等式 x2＋a|x|＋1≥0 对 x∈[－1
2，
1
2]恒成立，则实数 a 的取值范围是
( )
A．[－2，＋∞) B．[－2，2]
C．(－∞，－2] D.[－5
2，＋∞)
【答案】 D 不等式 x2＋a|x|＋1≥0 对 x∈[－1
2，
1
2]恒成立等价于|x|2＋a|x|＋1≥0 对 x∈[0，
1
2]恒
成立，即 a≥－(|x|＋ 1
|x|).令 t＝|x|，t∈(0，
1
2]，g(t)＝t＋1
t.
∵g(t)在(0，
1
2]单调递减，
∴g(t)≥1
2＋2＝5
2，故－(|x|＋ 1
|x|)的最大值为－5
2，
所求实数 a 的取值范围是[－5
2，＋∞).
7 ． (2014· 福 建 厦 门 质 检 ， 13) 函 数 f(x) ＝ (1
3 ) x
－ log2(x ＋ 2) 在 区 间 [ － 1 ， 1] 上 的 最 大 值 为
________．
【解析】 由于 y＝(1
3 ) x
在 R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以 f(x)在[－1，1]
上单调递减，故 f(x)在[－1，1]上的最大值为 f(－1)＝3.
【答案】 3
8．(2015·四川成都高三月考，12)已知函数 f(x)＝{1，x > 0，
0，x＝0，
－1，x < 0，
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________．
【解析】 由条件知 g(x)＝{x2，x > 1，
0，x＝1，
－x2，x < 1.
其函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
【答案】 [0，1)
9．(2014·江西南昌质检，14)已知函数 f(x)＝x2＋a
x (a＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数 a 的
取值范围为________．
【解析】 方法一(定义法)：在区间(2，＋∞)上任取 x1，x2，且 x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝x＋a
x1 －x＋a
x2
＝(x1＋a
x1)－(x2＋a
x2)
＝(x1－x2)＋( a
x1－a
x2)
＝(x1－x2)＋a（x2－x1）
x1x2
＝(x1－x2)(1－ a
x1x2).
∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴(x1－x2)(1－ a
x1x2)<0.
又 x1＜x2，即 x1－x2＜0，
∴ a
x1x2＜1，即 a＜x1x2.
∵x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2，
∴x1·x2＞4.
∴a≤4.又 a＞0，
∴a 的取值范围为(0，4]．
方法二(导数法)：f(x)＝x＋a
x，f′(x)＝1－ a
x2≥0，
由题意知 f(x)≥0 在(2，＋∞)上恒成立，
∴a≤x2，∴0＜a≤4.
【答案】 (0，4]
1．(2015·安徽，4，易)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
【答案】 D 函数 y＝ln x 不具备奇偶性；y＝sin x 是奇函数；y＝x2＋1 是偶函数，但 x2＋1＝0 无
实数根，故无零点，而 y＝cos x 是偶函数，且 cos x＝0 有实数根，故有零点．
2．(2015· 北京，3，易)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
【答案】 B 对于 A，令 f(x)＝x2sin x，则 f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，不是偶函数；
对于 B，令 f(x)＝x2cos x，则 f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，是偶函数；对于 C，函数 y＝|ln x|的
定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；对于 D，令 f(x)＝2－x，则 f(－x)＝2x，既不是奇函数
也不是偶函数．
3．(2015· 广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ 1
2x D．y＝x2＋sin x
【答案】 D y＝x＋sin 2x 为奇函数．
y＝x2－cos x 与 y＝2x＋ 1
2x为偶函数．
y＝x2＋sin x 即不是奇函数，也不是偶函数，选 D.
4．(2015·山东，8，中)若函数 f(x)＝2x＋1
2x－a
是奇函数，则使 f(x)＞3 成立的 x 的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【答案】 C f(1)＝ 3
2－a
，f(－1)＝ 3
1－2a.因为 f(x)是奇函数，所以 f(1)＋f(－1)＝0，解得 a＝1，所
以 f(x)＝2x＋1
2x－1.不等式 f(x)＞3，即2x＋1
2x－1
＞3⇒
2x－2
2x－1
＜0⇒1＜2x＜2，解得 0＜x＜1，故选 C.
5．(2015·湖南，8，中)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则 f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
【答案】 A f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln
1＋x
1－x
，
f(－x)＝ln1－x
1＋x
＝ln(1＋x
1－x)－1
＝－ln
1＋x
1－x
＝－f(x)，
所以 f(x)是奇函数．
设 u＝1＋x
1－x
，则 y＝ln u，
又因为 u＝1＋x
1－x
在(0，1)上为增函数，
且 y＝ln u 为增函数，
所以由复合函数性质得 y＝f(x)在(0，1)上是增函数．
1．(2014·广东，5，易)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝2x－ 1
2x B．y＝x3sin x
C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x
【答案】 A 选项 B 中的函数是偶函数；选项 C 中的函数也是偶函数；选项 D 中的函数是非奇非
偶函数．根据奇函数的定义可知选项 A 中的函数是奇函数．
易错点拨：对于奇、偶函数的判断除了要注意 f(－x)与 f(x)外，还要注意函数的定义域必须是关于原
点对称的区间，否则，一定不具有奇偶性．
2．(2012·广东，4，易)下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln x2＋1
【答案】 D (定义法)选项 A，B 为奇函数，选项 C 为非奇非偶函数．故选 D.
3．(2011·课标全国，3，易)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
【答案】 B 对于 A，y＝x3 为奇函数，不合题意；对于 C，D，y＝－x2＋1 和 y＝2－|x|在(0，＋∞)
上单调递减，不合题意；对于 B，y＝|x|＋1 的图象如图所示，知 y＝|x|＋1 符合题意，故选 B.
4．(2013·山东，3，中)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋1
x，则 f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】 A 由函数 f(x)为奇函数，得
f(－1)＝－f(1)＝－2，故选 A.
5．(2011·辽宁，6，中)若函数 f(x)＝ x
（2x＋1）（x－a）为奇函数，则 a＝( )
A.
1
2 B.
2
3 C.
3
4 D．1
【答案】 A (定义法)因为 f(x)＝ x
（2x＋1）（x－a）为奇函数，
即 －x
（2x＋1）（x－a）＝ －x
（－2x＋1）（－x－a），
整理得(2x＋1)(x－a)＝(x＋a)(2x－1)．
化简得(4a－2)x＝0，根据恒等，得 4a－2＝0，∴a＝1
2，故选 A.
6．(2013·湖北，8，中)x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)＝x－[x]在 R 上为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
【答案】 D (图象法)函数 f(x)＝x－[x]在 R 上的图象如图：
故 f(x)＝x－[x]在 R 上为周期函数．
7．(2012·山东，8，中)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋
2)2，当－1≤x＜3 时，f(x)＝x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
【答案】 B 由 f(x＋6)＝f(x)可知，函数 f(x)的周期为 6，所以 f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，
f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋
0－1＋0＝1，所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
思路点拨：本题的解题关键是根据函数的周期性，把 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)化到一个周期内
计算．
8．(2014·山东，9，难)对于函数 f(x)，若存在常数 a≠0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x)＝
f(2a－x)，则称 f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
【答案】 D 由题意可得准偶函数的图象关于直线 x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是
y 轴的对称轴．选项 A，C 中函数的图象不存在对称轴，选项 B 中函数的图象的对称轴为 y 轴，只有选
项 D 中函数的图象存在不是 y 轴的对称轴．
方法点拨：若 f(x)＝f(2a－x)对定义域内任意 x 恒成立，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称，反
之亦然．
9．(2012·重庆，12，易)若 f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数 a＝________．
【解析】 方法一(特值法)：由函数 f(x)为偶函数得
f(1)＝f(－1)，
即(1＋a)·(1－4)＝(－1＋a)·(－1－4)，
所以 a＝4.
方法二(定义法)：f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝(x－a)－(x＋4)＝f(x)＝(x＋a)(x－4)，∴a＝4.
【答案】 4
10．(2011·安徽，11，中)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x 2－x，则 f(1)＝
________.
【解析】 ∵f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
【答案】 －3
考向 1 函数奇偶性的判断
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫
作偶函数
关于 y 轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就
叫作奇函数
关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反．
(2)若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.
(3)若函数 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(|x|)．
(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个类型，即 f(x)＝0，其中定义域是关于原点对称的非空数
集．
(1)(2013·广东，2)定义域为 R 的四个函数 y＝x 3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x 中，奇函
数的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(2014·课标Ⅰ，5)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中
正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】 (1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x 为非奇非偶函数，y＝x2＋1 为偶函数，y＝
x3 与 y＝2sin x 为奇函数，故选 C.
(2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于 A：令 h(x)＝f(x)·g(x)，则 h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝
－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A 错；
对于 B：令 h(x)＝|f(x)|g(x)，则 h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，
B 错；
对于 C：令 h(x)＝f(x)|g(x)|，则 h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C 正确；
对于 D：令 h(x)＝|f(x)g(x)|，则 h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)为偶函数，
D 错．
【答案】 (1)C (2)C
【点拨】 解题(1)(2)的关键是利用奇偶函数的定义判断．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进
行化简，再利用定义进行判断．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)图象法
(3)性质法
设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
【答案】 D 因为 f(x)＝2x＋2－x，所以 f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．又 f(x)＝2x＋2－x 的定义域为 R，故
f(x)＝2x＋2－x 为偶函数．易证 A，B 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而 C 选项中的函数为奇
函数．
考向 2 函数奇偶性的应用
(1)(2013·湖南，4)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝
4，则 g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)(2014·湖南，15)若 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝________.
(3)(2013·江苏，11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)>x 的解
集用区间表示为________．
【解析】 (1)由函数的奇偶性可得 f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则{－f（1）＋g（1）＝2，
f（1）＋g（1）＝4， 联立解
得 g(1)＝3.
(2)函数 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 为偶函数，故 f(－x)＝f(x)，即 ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得 ln
1＋e3x
e3x＋e6x＝2ax＝ln e2ax，即 1＋e3x
e3x＋e6x＝e2ax，整理得 e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以 2ax＋3x＝0，解得 a＝－
3
2.
(3)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝x2＋4x.
又 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
∴f(x)＝{x2－4x，x＞0，
0，x＝0，
－x2－4x，x＜0.
①当 x＞0 时，由 f(x)＞x 得 x2－4x＞x，解得 x＞5；
②当 x＝0 时，f(x)＞x 无解；
③当 x＜0 时，由 f(x)＞x 得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.
综上得不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为(－5，0)∪(5，＋∞)．
【答案】 (1)B (2)－3
2 (3)(－5，0)∪(5，＋∞)
【点拨】 解题(1)的方法是根据函数的奇偶性列出关于 f(1)和 g(1)的方程组求 g(1)；题(2)是利用函
数的奇偶性、对数函数、对数式与指数式的运算，结合方程思想和转化思想求参数的值；解题(3)的关键
是求出 f(x)的解析式，然后分段解不等式．
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)
的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值
或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
(1)(2011·湖北，3)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x，则 g(x)＝
( )
A．ex－e－x B.1
2(ex＋e－x)
C.
1
2(e－x－ex) D.
1
2(ex－e－x)
(2)(2011·广东，12)设函数 f(x)＝x3cos x＋1，若 f(a)＝11，则 f(－a)＝________．
(1)【答案】 D x∈R 时，f(x)＋g(x)＝ex，①
用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝e－x，
又 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以 f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②可解得 g(x)＝ex－e－x
2 .故选 D.
(2)【解析】 方法一：∵a3cos a＋1＝11，
∴a3cos a＝10.
∴f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1
＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
方法二(换元法)：令 φ(x)＝x3cos x，很明显φ(x)是奇函数，
∴f(x)＝φ(x)＋1，
∴f(a)＝φ(a)＋1，
∴f(－a)＝φ(－a)＋1，
∴f(a)＋f(－a)＝φ(a)＋φ(－a)＋2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＋11＝2，f(－a)＝－9.
【答案】 －9
考向 3 函数的周期性及其应用
周期函数的几个结论
周期函数 y＝f(x)满足：
(1)f(x＋T)＝f(x)，则|T|为 f(x)的一个周期；
(2)f(x＋T)＝－f(x)，则|2T|为函数 f(x)的一个周期；
(3)f(x＋T)＝ 1
f（x），则|2T|为 f(x)的一个周期；
(4)f(x＋T)＝－ 1
f（x），则|2T|为 f(x)的一个周期；
(5)f(x＋T)＝1＋f（x）
1－f（x），则|4T|为 f(x)的一个周期；
(6)f(x＋T)＝1－f（x）
1＋f（x），则|2T|为 f(x)的一个周期；
(7)函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)且 f(b＋x)＝f(b－x)，则 2|b－a|为 f(x)的一个周期．
应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
(1)(2014·课标Ⅱ，15)偶函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，f(3)＝3，则 f(－1)＝
________．
(2)(2014· 安 徽 ， 14) 若 函 数 f(x)(x∈R) 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 ， 且 在 [0 ， 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) ＝
{x（1－x），0 ≤ x ≤ 1，
sin πx，1＜x ≤ 2， 则 f (29
4 )＋f (41
6 )＝________．
【解析】 (1)因为 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，所以 f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又 f(－x)＝f(x)，
所以 f(x)＝f(4＋x)，则 f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
(2)∵f(x)是以 4 为周期的奇函数，∴f (29
4 )＝f (8－3
4)＝f (－3
4 )，f (41
6 )＝f (8－7
6)＝f (－7
6 ).
∵当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，
∴f (3
4 )＝3
4×(1－3
4)＝ 3
16.
∵当 1 0，
x2，x ≤ 0， 由函数性质可知符合题中条件，故 A 正确；B 中，对于
比较熟悉的函数 f(x)＝x3 可知不符合题意，故 B 不正确；C 中，f(x)＝sin x 在定义域内不具有单调性，故
C 不正确；D 中，定义域关于原点不对称，故 D 不正确．故选 A.
2．(2015·湖南郴州二模，2)已知函数 y＝f(x)＋x 是偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝( )
A．－7 B．7
C．－5 D．5
【答案】 B ∵f(2)＋2＝5，y＝f(x)＋x 是偶函数，∴f(－2)－2＝f(2)＋2＝5，∴f(－2)＝7.
3．(2015·湖南邵阳一模，2)若函数 f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数 y＝f(x)在 x∈(0，＋∞)上单
调递增，则实数 a 的值为( )
A．±1 B．－1
C．1 D．0
【答案】 C ∵函数 f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a 为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即 f(－x)＝ax2－(1－a2)x－a
＝ax2＋(1－a2)x－a，
∴1－a2＝0，解得 a＝±1.
当 a＝1 时，f(x)＝x2－1，在 x∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当 a＝－1 时，f(x)＝－x2＋1，在
x∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故 a＝1.
4．(2015·河北唐山模拟，7)f(x)是 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当 x<0 时，f(x)＝
( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
【答案】 C 设 x<0，则－x>0，又 f(x)是 R 上的奇函数，
所以 f(x)＝－[f(－x)]
＝－[(－x)3＋ln(1－x)]
＝x3－ln(1－x)．
5．(2014·山东济南一模，10)已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x＝1 对称，
当 x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则 f(2 013)＋f(2 014)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】 D ∵函数 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，又函数的图象关于 x＝1 对称，则 f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)的周期为 4.
又函数的图象关于 x＝1 对称，
∴f(0)＝f(2)，
∴f(2 013)＋f(2 014)
＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)
＝21－1＋20－1＝1.
6．(2014·浙江浙北名校联盟高三联考，7)已知函数 y＝f(x＋1)为偶函数，且 f(x)在(1，＋∞)上单调递
减，设 a＝f(log210)，b＝f(log310)，c＝f(0.10.2)，则 a，b，c 的大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】 C 已知函数 y＝f(x＋1)为偶函数，故函数 f(x)关于直线 x＝1 对称．因为 c＝f(0.10.2)＝f(2
－ 0.10.2) ， 1<2 － 0.10.2<2 ， 3f(log310)>f(log210)，即 c>b>a.
7．(2015·华南师大附中模拟，8)如表定义函数 f(x)：
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则 a2 015 的值是( )
A．5 B．1 C．3 D．4
【答案】 A 因为 a1＝4，所以由函数定义知：
a2＝f(a1)＝f(4)＝1；a3＝f(a2)＝f(1)＝5；a4＝f(a3)＝f(5)＝2；a5＝f(a4)＝f(2)＝4，…，∴数列{an}是以
4 为周期的数列，故 a2 015＝a3＝5.
8．(2015·河南商丘模拟，13)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2 x－4(x≥0)，则不等式 f(x－2)>0 的解集为
________．
【解析】 由于 f(x)是偶函数，且 x≥0 时，f(x)＝2x－4，
∴当 x<0 时，－x>0，
∴f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
当 x－2<0 时，由 f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，解得 x<0；
当 x－2≥0 时，由 f(x－2)＝2x－2－4>0，解得 x>4.
综上可知不等式解集为{x|x<0 或 x>4}．
【答案】 {x|x<0 或 x>4}
9．(2014·山东泰安二模，16)对于定义在 R 上的函数 f(x)有以下四个命题：
①若 y＝f(x)是奇函数，则 y＝f(x－1)的图象关于 A(1，0)对称；
②若对于任意 x∈R，有 f(x－1)＝f(x＋1)，则 f(x)关于直线 x＝1 对称；
③函数 y＝f(x＋1)与 y＝f(1－x)的图象关于直线 x＝1 对称；
④如果函数 y＝f(x)满足 f(x＋1)＝f(1－x)，f(x＋3)＝f(3－x)，那么该函数以 4 为周期．
其中正确命题的序号为________．
【解析】 ①奇函数图象右移一个单位，对称中心变为(1，0)，故①正确；②若对于任意 x∈R，有
f(x－1)＝f(x＋1)，则 f(x)＝f(x＋2)，故②错误；③两函数图象关于直线 x＝0 对称，故③错误；④f(x＋1)＝
f(1－x)＝f[(－2－x)＋3]＝f[3－(－2－x)]＝f(5＋x)，∴f(x)＝f(x＋4)，该函数以 4 为周期，故④正确．
【答案】 ①④
(时间：90 分钟__分数：120 分)
一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)
1．(2013·广东，2)函数 y＝lg（x＋1）
x－1
的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
【答案】 C 要使函数 y＝lg（x＋1）
x－1
有意义，需满足 x＋1>0 且 x－1≠0，得 x>－1 且 x≠1，故
选 C.
2．(2012·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝1
x D．y＝x|x|
【答案】 D 方法一(定义法)：选项 A：y＝x＋1 是非奇非偶的增函数．
选项 B：y＝－x3 是奇函数，是减函数．
选项 C：y＝1
x是奇函数，是减函数．
选项 D：y＝x|x|＝{x2，x ≥ 0，
－x2，x＜0，其图象如图，由图象可知，y＝x|x|是奇函数也是增函数．故选 D.
方法二(排除法)：∵函数是奇函数，排除 A；又函数是增函数，排除 B，C，故选 D.
3．(2015·山东潍坊一模，5)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数．当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，
则 f(－1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】 A ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，则 b＝－1，f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－
f(1)＝－(21＋2－1)＝－3，故选 A.
4．(2013·重庆，9)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则 f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
【答案】 C ∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，①
∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，
即 f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，②
①＋②得 f(x)＋f(－x)＝8.③
又∵lg(log210)＝lg( 1
lg 2)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，
∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5，
又由③式知 f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8，
∴5＋f(lg(lg 2))＝8，
∴f(lg(lg 2))＝3.故选 C.
5．(2015·河南开封二模，6)已知函数 f(x)＝{(1
2 ) x
，x ≥ 4，
f（x＋1），x＜4，
则 f(2＋log23)的值为( )
A.
1
24 B.
1
12 C.
1
6 D.
1
3
【答案】 A ∵2＋log23＜4，
且 3＋log23＞4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝(1
2 )3＋log23
＝1
8×(1
2 )log23
＝1
8
×1
3＝ 1
24.
6．(2011·湖北，6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且
a≠1)．若 g(2)＝a，则 f(2)＝( )
A．2 B.
15
4 C.
17
4 D．a2
【答案】 B ∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，
∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)
＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得 g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝15
4 .故选 B.
7．(2015·山西太原质检，8)设函数 f(x)＝{log2x，x > 0，
log
1
2
（－x），x < 0，若 f(a)>f(－a)，则实数 a 的取值范
围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【答案】 C ①当 a＞0 时，∵f(a)＞f(－a)，
∴log2a＞log
1
2a＝log2
1
a.
∴a＞1
a，得 a＞1.
②当 a＜0 时，∵f(a)＞f(－a)，
∴log
1
2(－a)＞log2(－a)＝log
1
2
1
－a.
∴－a＜ 1
－a
得－1＜a＜0，故 C 项为正确选项．
8．(2014·河北石家庄检测，6)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象
关于点(1，0)对称，且 f(4)＝4，则 f(2 014)＝( )
A．0 B．－4 C．－8 D．－16
【答案】 B (先用对称性求周期，再求 f(2 014))由 y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称可知，y＝f(x)
的图象关于点(0，0)对称，即为奇函数．令 x＝－3 可知，f(3)＋f(－3)＝2f(3)，进而 f(－3)＝f(3)．又
f(－3)＝－f(3)，∴f(3)＝0，∴f(6＋x)＋f(x)＝0，∴f(x)是一个周期为 12 的周期函数，f(2 014)＝f(12×168－
2)＝f(－2)＝－f(2)．令 x＝－4，∴f(－4＋6)＋f(－4)＝0，∴f(2)＝－f(－4)＝f(4)＝4，
∴f(2 014)＝－f(2)＝－4.
9．(2015·陕西西安模拟，8)已知偶函数 f(x)对∀x∈R 满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且当－3≤x≤0 时，f(x)＝
log5(2－x)，则 f(2 015)的值为( )
A．2 015 B．2 C．1 D．0
【答案】 C ∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(4＋x)＝f[2－(2＋x)]＝f(－x)．
又∵f(x)为偶函数，即 f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴f(2 015)＝f(3)＝f(－3)＝log5[2－(－3)]＝1.
10．(2015·山东威海模拟，11)设函数 f(x)＝x α＋1(α∈Q)的定义域为[－b，－a]∪[a，b]，其中
00 且 a≠1)在区间(2，3)内恒有 f(x)>0，
则 f(x)的单调递增区间是________．
【解析】 x∈(2，3)时，7<2x2＋x－3<18，f(x)恒大于 0，∴a>1.又因为函数 f(x)＝loga(2x2＋x－3)的
定义域为(－∞，－3
2)∪(1，＋∞)，函数 t＝2x2＋x－3 在(－∞，－3
2)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递
增，函数 y＝logat 在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
13．(2012·课标全国，16)设函数 f(x)＝（x＋1）2＋sin x
x2＋1
的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝
________．
【解析】 f(x)＝x2＋1＋2x＋sin x
x2＋1
＝1＋2x＋sin x
x2＋1
，令 g(x)＝2x＋sin x
x2＋1
，则 g(x)为奇函数，有
g(x)max＋g(x)min＝0，故 M＋m＝2.
【答案】 2
14．(2015·湖南怀化一模，12)已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的
x∈R，都有 f(x＋1)＝ 1
f（x）；②函数 y＝f(x＋1)的图象关于 y 轴对称；③对于任意的 x1，x2∈[0，1]，且
x1f(x2)．则 f (3
2 )，f(2)，f(3)从小到大排列是____________．
【解析】 由①得 f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝ 1
f（x＋1）＝f(x)，所以函数 f(x)的周期为 2.因为函数 y＝f(x
＋1)的图象关于 y 轴对称，将函数 y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得 y＝f(x)的图象，所以函数 y＝
f(x)的图象关于 x＝1 对称．根据③可知函数 f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数 f(x)在[1，2]上为
增函数．因为 f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<
3
2<2，所以 f(1)m，求实数 m 的取值范围．
解：(1)当 x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．
由 f(x)为 R 上的奇函数，
得 f(－x)＝－f(x)＝2－x－1
2－x＋1
＝1－2x
2x＋1
，
∴f(x)＝2x－1
2x＋1
，x∈(－1，0)．
又由 f(x)为奇函数，得 f(0)＝0，
∵f(x＋1)＝f(x－1)，
∴当 x＝0 时，f(1)＝f(－1)．
又∵f(－1)＝－f(1)，
∴f(－1)＝0，f(1)＝0，
故 f(x)在区间[－1，1]上的解析式为
f(x)＝{2x－1
2x＋1，x ∈ （－1，1），
0，x＝ ± 1.
(2)∵x∈(0，1)，
∴f(x)＝2x－1
2x＋1
＝2x＋1－2
2x＋1
＝1－ 2
2x＋1.
又∵2x∈(1，2)，∴1－ 2
2x＋1
∈(0，
1
3).
若存在 x∈(0，1)，满足 f(x)>m，
则 m<
1
3，
故实数 m 的取值范围为(－∞，
1
3).
16．(12 分)(2015·山东潍坊高三月考，17)函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0，x∈R}，满足对∀x1，x2∈
D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求 f(1)的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)若 f(4)＝1，f(x－1)<2 且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．
解：(1)∵∀x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)在 D 上为偶函数，证明如下：
令 x1＝x2＝－1，
有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝1
2f(1)＝0，
令 x1＝－1，x2＝x
有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)在 D 上为偶函数．
(3)依题意，由 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2，即为 f(|x－1|)
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