高三数学总复习练习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

高三数学总复习练习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及其线性运算 基础盘查一　向量的有关概念 ‎(一)循纲忆知 ‎1．了解向量的实际背景；‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)向量与向量是相等向量(　　)‎ ‎(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(　　)‎ ‎(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量(　　)‎ ‎(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与，，相等的向量．‎ 解：＝＝；‎ ‎＝＝；‎ ‎＝＝＝.‎ 基础盘查二　向量的线性运算 ‎(一)循纲忆知 ‎1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；‎ ‎2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；‎ ‎3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)两个向量的差仍是一个向量(　　)‎ ‎(2)＝－ (　　)‎ ‎(3)向量a－b与b－a是相反向量(　　)‎ ‎(4)两个向量相加就是两个向量的模相加(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(人教A版教材习题改编)化简：‎ ‎(1)(＋)＋＋＝________.‎ ‎(2)＋＋－＝________.‎ 答案：(1)　(2)0‎ 基础盘查三　共线向量定理 ‎(一)循纲忆知 理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上(　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ＝________.‎ 答案：－ ‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③　　 B．①②‎ C．③④ D．④⑤‎ 解析：选A　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥，‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，因此，＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.‎ ‎2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎[类题通法]‎ 平面向量有关概念的核心 ‎(1)向量定义的核心是方向和长度．‎ ‎(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．‎ ‎(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．‎ ‎(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．‎ ‎(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．‎ |(重点保分型考点——师生共研)‎ ‎[必备知识]‎ ‎1．向量的加法 定义：求两个向量和的运算．‎ 运算法则(几何意义)：如图 运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ ‎2．向量的减法 定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．‎ 运算法则(几何意义)：如图 ‎3．向量的数乘 定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.‎ 运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：‎ ‎(1)|λa|＝|λ|·|a|.‎ ‎(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；‎ 当λ＜0时，λa与a的方向相反；‎ 当λ＝0时，λa＝0.‎ 运算律：λ(μa)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb.‎ ‎[提醒]　(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；‎ ‎(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.‎ ‎[典题例析]‎ ‎1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A． B. C． D. 解析：选A　＋＝(＋)＋(＋)＝‎ (＋)＝，故选A.‎ ‎2．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.‎ 答案： ‎[类题通法]‎ ‎1．向量线性运算的解题策略 ‎(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．‎ ‎2．两个结论 ‎(1)P为线段AB的中点⇔＝(＋)；‎ ‎(2)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0.‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2015·聊城二模)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)‎ A.b＋c　　　　　　 B.c－b C.b－c D.b＋c 解析：选A　如图，可知＝＋＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.故选A.‎ ‎2．若典例2条件变为：若＝2，＝＋λ，则λ＝________.‎ 解析：∵＝＋，＝＋，‎ ‎∴2＝＋＋＋.‎ 又∵＝2，‎ ‎∴2＝＋＋ ‎＝＋＋(－)‎ ‎＝＋.‎ ‎∴＝＋，即λ＝.‎ 答案： |(题点多变型考点——全面发掘)‎ ‎[必备知识]‎ 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎[提醒]　限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．‎ ‎[一题多变]‎ ‎[典型母题]‎ 设两个非零向量e1和e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．‎ ‎[解]　∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，‎ ‎∴＝＋＝3e1－2e2.‎ ‎∵A，C，F三点共线，‎ ‎∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ.‎ ‎∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，‎ 又e1，e2是不共线的非零向量，‎ ‎∴因此k＝2.∴实数k的值为2.‎ ‎[题点发散1]　在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．‎ 解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，‎ 即ke1＋e2＝λe1＋λke2，‎ ‎∴解得k＝±1.‎ ‎[题点发散2]　在本例条件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．‎ 证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，‎ ‎∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，‎ ‎∴＝－2，∴与共线．‎ 又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．共线向量定理及其应用 ‎(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．‎ ‎(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．‎ ‎2．证明三点共线的方法 若＝λ，则A，B，C三点共线．‎ 一、选择题 ‎1．给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．‎ ‎③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误的命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．‎ ‎②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．‎ ‎③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.‎ ‎④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.‎ ‎2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a　　　　　　　　　　 B．b C．c D．0‎ 解析：选D　依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝‎ mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.‎ ‎3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：选B　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.‎ ‎4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A　由题意得＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，‎ 因此＋＋＝＋(＋－)‎ ‎＝＋＝－，‎ 故＋＋与反向平行．‎ ‎5．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n (m，n∈R)，则的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D. 解析：选A　设＝a，＝b，则＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则，所以＝－2.‎ ‎6．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选B　∵D为AB的中点，‎ 则＝(＋)，‎ 又＋＋2＝0，‎ ‎∴＝－，∴O为CD的中点，‎ 又∵D为AB中点，‎ ‎∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，‎ 则＝4.‎ 二、填空题 ‎7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.‎ 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，||＝||＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．(2015·江门模拟)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ 解析：如图所示，由＝λ且＋＋＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎9．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．‎ 解析：∵＋＝＋，∴－＝－，‎ ‎∴＝，BA綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．‎ 答案：平行四边形 ‎10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，‎ 给出下列命题：①＝a－b；②＝‎ a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.‎ 其中正确命题的个数为________．‎ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；‎ ‎＝＋＝a＋b，‎ 故②正确；‎ ‎＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，‎ 故③正确；‎ ‎∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.‎ ‎∴正确命题为②③④.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果‎3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．‎ 解：由题设知，＝d－c＝2b－‎3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ 因为a，b不共线，所以有 解之得t＝.‎ 故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ ‎12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.‎ ‎(1)用a，b表示向量，，，，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ 解：(1)延长AD到G，使＝，‎ 连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，‎ 所以＝a＋b，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝b，‎ ‎＝－＝(a＋b)－a＝(b－‎2a)，‎ ‎＝－＝b－a＝(b－‎2a)．‎ ‎(2)证明：由(1)可知＝，‎ 又因为，有公共点B，‎ 所以B，E，F三点共线．‎ 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 基础盘查一　平面向量基本定理 ‎(一)循纲忆知 ‎　了解平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC(　　)‎ ‎(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的(　　)‎ ‎(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(人教A版教材复习题改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝________.‎ 答案：4‎ 基础盘查二　平面向量的坐标运算 ‎(一)循纲忆知 ‎1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同(　　)‎ ‎(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标(　　)‎ ‎(3)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则＝(－3,2)(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．(人教A版教材例题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则‎3a＋4b＝________.‎ 答案：(－6,19)基础盘查三　平面向量共线的坐标表示 ‎(一)循纲忆知 ‎　理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝(　　)‎ ‎(2)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√‎ ‎2．O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k＝________时，A，B，C三点共线？‎ 答案：－2或11‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2　　　　　　 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ 解析：选D　选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ‎＝＋＝－b＋＝b－a，‎ ‎＝＋＝－b－＝a－b.‎ ‎[类题通法]‎ ‎(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2); ‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－2,1)‎ C．(－1,0) D．(－1,2)‎ 解析：选D　a＝，b＝，‎ 故a－b＝(－1,2)．‎ ‎2．(2015·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－‎3a，则点N的坐标为(　　)‎ A．(2,0)　　　　　　　　　 B．(－3,6)‎ C．(6,2) D．(－2,0)‎ 解析：选A　＝－‎3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，‎ 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ 所以即选A.‎ ‎3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎[类题通法]‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ |(题点多变型考点——全面发掘)‎ ‎[必备知识]‎ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[一题多变]‎ ‎[典型母题]‎ 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.‎ ‎∴k＝－.‎ ‎[题点发散1]　在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.‎ 解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，‎ 由题意得 得或 ‎∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．‎ ‎[题点发散2]　在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，求的值．‎ 解：ma＋nb＝(‎3m－n,‎2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)，‎ 由题意得－2(‎3m－n)－5(‎2m＋2n)＝0.‎ ‎∴＝－.‎ ‎[题点发散3]　若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能否共线．‎ 解：＝(－4,0)，＝(1，－1)，‎ ‎∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共线．‎ ‎∴A，B，C三点不共线．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.‎ ‎2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．‎ 一、选择题 ‎1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．b－a　　　　　 B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析：选A　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴＝.故选D.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为(　　)‎ A．(0，－2) B．(－4,2)‎ C．(16,14) D．(0,2)‎ 解析：选A　设D(x，y)，由题意知＝＋，‎ 即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，‎ ‎∴∴故选A.‎ ‎4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 解析：选D　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．‎ ‎5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1‎ 解析：选C　若点A，B，C不能构成三角形，‎ 则向量，共线，‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ‎＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎6．(2015·山西四校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.‎ 又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.‎ 二、填空题 ‎7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.‎ 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.‎ 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，‎ 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(‎2m＋n)e2.‎ 由平面向量基本定理，得 所以 答案：　－ ‎8．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ (λ∈R)，则λ的值为________．‎ 解析：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.‎ 答案： ‎9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.‎ 解析：＝－＝(－3,2)，‎ ‎∴＝2＝(－6,4)．‎ ‎＝＋＝(－2,7)，‎ ‎∴＝3＝(－6,21)．‎ 答案：(－6,21)‎ ‎10．(2015·九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．‎ 解析：P中，a＝(－1＋m,1＋‎2m)，‎ Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．‎ 则得 此时a＝b＝(－13，－23)．‎ 答案： 三、解答题 ‎11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：‎ ‎(1)|a＋3b|；‎ ‎(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？‎ 解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，‎ 故|a＋3b|＝＝.‎ ‎(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，‎ 因为ka－b与a＋3b平行，‎ 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.‎ 此时ka－b＝(k－2，－1)＝，‎ a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，‎ 即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．‎ ‎12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．‎ 解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，‎ 有 故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．‎ ‎∵＝－＝(4,4)，‎ ‎＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，‎ ‎∴A，B，M三点共线．‎ 第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 基础盘查一　平面向量的数量积 ‎(一)循纲忆知 ‎1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义；‎ ‎2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量(　　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(　　)‎ ‎(3)两个向量的夹角的范围是(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×‎ ‎2．(人教A版教材例题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________‎ 答案：－10‎ 基础盘查二　平面向量数量积的性质及其坐标表示 ‎(一)循纲忆知 ‎1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；‎ ‎2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0(　　)‎ ‎(2)两向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(　　)‎ ‎(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.‎ 答案：1‎ ‎3．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于________．‎ 答案：9‎ 基础盘查三　平面向量数量积的运算律 ‎(一)循纲忆知 ‎　掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)(a·b)·c＝a·(b·c)(　　)‎ ‎(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×‎ ‎2．(人教A版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角为______．‎ 答案：150°‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎1．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.‎ ‎2．向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a.‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎3．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎[提醒]　投影和两向量的数量积都是数量， 不是向量．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与‎2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：选D　a＋2b＝(－1＋‎2m,4)，‎2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋‎2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，‎ 所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎2.(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选A　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝.‎ ‎3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ 解析：因为a＝(－2，－6)，‎ 所以|a|＝＝2，‎ 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，‎ 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.‎ 答案：10‎ ‎4．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝(＋)，则·＝________.‎ 解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．‎ 则B(0,0)，E，D(2,2)．由＝(＋)知F为BC 的中点，故＝，＝(－1，－2)，‎ ‎∴·＝－2－＝－.‎ 答案：－ ‎[类题通法]‎ 向量数量积的两种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos a，b．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎[提醒]　(1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.‎ ‎(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．‎ |(常考常新型考点——多角探明)‎ ‎[必备知识]‎ 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎[多角探明]‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎(1)平面向量的模；‎ ‎(2)平面向量的夹角；‎ ‎(3)平面向量的垂直.‎ 角度一：平面向量的模 ‎1．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝‎2a＋2b，＝‎2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选A　因为＝(＋)＝(‎2a＋2b＋‎2a－6b)＝‎2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.‎ ‎2．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.‎ 解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∵ λa＋b＝0.‎ ‎∴即 由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.‎ 答案： 角度二：平面向量的夹角 ‎3．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－‎2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　(a－2b)·a＝|a|2－‎2a·b＝0，(b－‎2a)·b＝|b|2－‎2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－‎2a·b＝|a|2－2|a|2cos 〈a，b〉＝0，可得cos〈a，b〉＝，又因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.‎ ‎4．(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ 解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.‎ 答案： 角度三：平面向量的垂直 ‎5．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. 解析：选C　因为‎2a－3b＝(2k－3，－6)，(‎2a－3b)⊥c，所以(‎2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.‎ ‎6．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________________．‎ 解析：①当A＝90°时，‎ ‎∵⊥，∴·＝0.‎ ‎∴2×1＋3k＝0，解得k＝－.‎ ‎②当B＝90°时，∵⊥，‎ 又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，‎ ‎∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，‎ 解得k＝.‎ ‎③当C＝90°时，‎ ‎∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，‎ 即k2－3k－1＝0.∴k＝.‎ 答案：－或或.‎ ‎[类题通法]‎ 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ |(重点保分型考点——师生共研)‎ ‎[典题例析]‎ ‎(2013·江苏高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ 解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，‎ 即(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝2.‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，‎ 所以2－‎2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.‎ ‎(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，‎ 所以 由此得，cos α＝cos (π－β)，‎ 由0<β<π，得0<π－β<π.‎ 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，‎ 得sin α＝sin β＝，而α>β，‎ 所以α＝，β＝.‎ ‎[类题通法]‎ 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎[演练冲关]‎ 已知向量a＝，b＝，c＝(，－1)，其中x∈R，‎ ‎(1)当a·b＝时，求x的取值集合；‎ ‎(2)设函数f(x)＝(a－c)2，求f(x)的最小正周期及其单调递增区间．‎ 解：(1)∵a·b＝cos cos ＋sin sin ＝cos x＝，∴x＝2kπ±(k∈Z)．‎ ‎∴所求x的取值集合为xx＝2kπ±，k∈Z.‎ ‎(2)∵a－c＝，‎ ‎∴f(x)＝(a－c)2＝2＋2‎ ‎＝5－2cos ＋2sin ＝5＋4 ‎＝5＋4sin.‎ ‎∴最小正周期为T＝＝.‎ 由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得－≤x≤＋(k∈Z)．‎ ‎∴单调递增区间是(k∈Z)．‎ 一、选择题 ‎1．(2015·惠州调研)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．5 D．13‎ 解析：选B　由题意得2×6＋3x＝0⇒x＝－4⇒|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝.‎ ‎2．(2015·长春调研)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－，故选A.‎ ‎3．已知向量a，b满足(a＋2b)·(‎5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　因为(a＋2b)·(‎5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，‎ 所以‎6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.‎ 又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝，‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C　由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝|‎ ‎|，故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎5．(2015·东北三校联考)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边的中点，则||等于(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ 解析：选D　由题知＝(＋)，·＝－16，∴||·||cos∠BAC＝－16.‎ 在△ABC中由余弦定理得，‎ ‎||2＝||2＋||2－2||||cos∠BAC，‎ ‎∴102＝||2＋||2＋32，||2＋||2＝68，‎ ‎∴||2＝(2＋2＋2·)＝(68－32)＝9，∴||＝3，故选D.‎ ‎6．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.‎ 二、填空题 ‎7．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.‎ 解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，‎ ‎∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，‎ ‎∴|c|＝＝8.‎ 答案：8 ‎8．(2015·山西四校联考)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．‎ 解析：∵＋＝2，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC 中，有||＝||，∴∠B＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cos ∠B＝2×＝3.‎ 答案：3‎ ‎9．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．‎ 解析：∵A，B，C为单位圆上三点，‎ ‎∴||＝||＝||＝1，‎ 又＋＋＝0，‎ ‎∴－＝＋，‎ ‎∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得 cos 〈，〉＝－，‎ ‎∴向量，的夹角为120°.‎ 答案：120°‎ ‎10．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 解析：因为＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝－，‎ 所以·＝· ‎＝||2－||2－·＝2，‎ 将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.‎ 答案：22‎ 三、解答题 ‎11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ 解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|‎4a－2b|2＝‎16a2－‎16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|‎4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).‎ ‎(1)若⊥a，且||＝||，求向量；‎ ‎(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin θ取最大值4时，求·.‎ 解：(1)由题设知＝(n－8，t)，‎ ‎∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.‎ 又∵||＝||，‎ ‎∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.‎ 当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，‎ ‎∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．‎ ‎(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，‎ ‎∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，‎ tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ‎＝－2k2＋.‎ ‎∵k＞4，∴0＜＜1，‎ ‎∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.‎ 由＝4，得k＝8，‎ 此时θ＝，＝(4,8)．‎ ‎∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.‎ 第四节数系的扩充与复数的引入 基础盘查一　复数的有关概念 ‎(一)循纲忆知 ‎1．理解复数的基本概念；‎ ‎2．理解复数相等的充要条件．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时复数z为纯虚数(　　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．(人教A版教材例题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝________，y＝________.‎ 答案：4　－2‎ 基础盘查二　复数的几何意义 ‎(一)循纲忆知 ‎　了解复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)原点是实轴与虚轴的交点(　　)‎ ‎(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√‎ ‎2．(人教A版教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．‎ 答案：3＋5i 基础盘查三　复数的运算 ‎(一)循纲忆知 ‎1．会进行复数代数形式的四则运算；‎ ‎2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ ‎(二)小题查验 ‎1．判断正误 ‎(1)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2(　　)‎ ‎(2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立(　　)‎ ‎(3)两个复数的积与商一定是虚数(　　)‎ ‎(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(人教A版教材习题改编)计算：‎ ‎(1)＝________，(2)＝________.‎ 答案：(1)－＋i　(2)1－38i |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎1．复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎2．复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎3共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎4．复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·湖北八校联考)设x∈R，则“x＝‎1”‎是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　由纯虚数的定义知：⇒x＝1，选C.‎ ‎2．(2015·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：选A　a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.‎ ‎3．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)‎ A．－2　　　　　　　　 B．－2i C．2 D．2i 解析：选C　因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.‎ ‎4．(2015·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ 解析：选A　依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.‎ ‎[类题通法]‎ 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5　　　　　　　　　　 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i 解析：选A　由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎2．(2015·山西四校联考)复数z＝(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　因为z＝＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内所对应的点在第一象限，故选A.‎ ‎3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ 解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，‎ ‎＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ 答案：1‎ ‎[类题通法]‎ 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ |(基础送分型考点——自主练透)‎ ‎[必备知识]‎ ‎1．复数的乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(2)除法：＝＝ ‎＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·洛阳统考)i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D．－ 解析：选A　依题意得z＝＝i，z·＝i·(－i)＝－i2＝1，选A.‎ ‎2．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　z＝＝＝＝－－，则＝－＋在复平面内对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选D　法一：＝＝＝＝－1－i.‎ 法二：＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.‎ ‎4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝______.‎ 解析：∵z＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－＋i，‎ 故＝－－i，‎ ‎∴z·＝＝＋＝.‎ 答案： ‎[类题通法]‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，‎ i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ 一、选择题 ‎1．(2014·江西高考)若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ ‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C. D. 解析：选C　法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.‎ 法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.‎ ‎2．已知复数是纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A．－2 B．4‎ C．－6 D．6‎ 解析：选D　＝，∴当a＝6时，复数为纯虚数．‎ ‎3．(2015·洛阳统考)设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内i对应的点的坐标为(　　)‎ A．(1,1) B．(－1,1)‎ C．(1，－1) D．(－1，－1)‎ 解析：选C　∵z＝＝－1＋i，∴i＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．‎ ‎4．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为(　　)‎ A．－ B．－i C. D.i 解析：选A　由题意得所以a＝1，‎ 所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.‎ ‎5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 解析：选D　对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．‎ ‎6．(2015·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1] B. C. D. 解析：选C　由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2 θ－3sin θ＝42－，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈.‎ 二、填空题 ‎7．(2015·河北教学质量监测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.‎ 解析：－＝－＝－＝，由已知得m＝1－m，则m＝.‎ 答案： ‎8．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．‎ 解析：∵|z－2|＝＝，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知max＝＝.‎ 答案： ‎9．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.‎ 解析：由＝＝＝a＋bi，‎ 得a＝，b＝，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.‎ 答案：3‎ ‎10．已知复数z＝1－i，则＝________.‎ 解析：＝＝z－1－＝(－i)－＝－i－＝－2i.‎ 答案：－2i 三、解答题 ‎11．计算：(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 解：(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＝＝＝＝＋i.‎ ‎(3)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝ ‎＝＝ ‎＝－－i.‎ ‎12．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(‎2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．‎ 解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(‎2a－5)i ‎＝＋[(a2－10)＋(‎2a－5)]i ‎＝＋(a2＋‎2a－15)i.‎ ‎∵1＋z2是实数，‎ ‎∴a2＋‎2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.‎ ‎∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.‎ 命题点一　平面向量基本定理 命题指数：☆☆☆☆‎ 难度：低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 解析：选B　由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B，事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.‎ ‎2．(2014·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝ ________.‎ 解析：因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.因为0＜0＜，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.‎ 答案： 命题点二　平面向量数量积 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2013·大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)‎ A．－4　　　　　　　　 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析：选B　由题意可得m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，‎ 因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝0，‎ 所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ 解析：选A　由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得‎4a·b＝4，所以a·b＝1.‎ ‎3．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A. B．2 C．5 D．10‎ 解析：选C　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.‎ ‎4．(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0,1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1)．‎ 因为·＝－，‎ 所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，‎ 即(λ－1)(μ－1)＝.‎ 因为＝＋＝(λ－，λ＋1)，‎ ‎＝＋＝(－μ，μ＋1)，‎ 又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.‎ 由整理得λ＋μ＝.‎ ‎5．(2014·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.‎ 解析：(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.‎ 答案：±3‎ ‎6．(2014·湖北高考)若向量＝(1，－3)，|| ＝||， ·＝0，则 || ＝________.‎ 解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又 ·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|| ＝2；当x＝－3，y＝－1时，|| ＝2.则|| ＝2.‎ 法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2.‎ 答案：2 ‎7．(2014·山东高考)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．‎ 解析：根据平面向量数量积的概念得 ‎·＝||·||cos A，‎ 当A＝时，根据已知可得||·||＝，‎ 故△ABC的面积为||·||·sin ＝.‎ 答案： ‎8．(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ 解析：由已知可以得到c＝(m＋4,‎2m＋2)，‎ 且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，‎ 又|b|＝2|a|，所以‎2c·a＝c·b，‎ 即2＝4(m＋4)＋2(‎2m＋2)，‎ 解得m＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2013·山东高考)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ‎ ‎＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.‎ 答案： 命题点三　复数 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 难度：低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选B　＋i＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝ ＝，选B.‎ ‎3．(2014·天津高考)i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1－i　　　　　　　　　　　 B．－1＋i C.＋i D．－＋i 解析：选A　＝＝＝1－i.选A.‎ ‎4．(2014·江西高考)是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．1＋i　　　　　　　　　 B．－1－i C．－1＋i D．1－i 解析：选D　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以‎2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z ‎＝1－i.‎ ‎5．(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．‎ 解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.‎ 答案：21‎ ‎6．(2014·上海高考)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.‎ 解析：∵z＝1＋2i，∴＝1－2i.‎ ‎∴·＝z·＋1＝5＋1＝6.‎ 答案：6‎