安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试 高三数学试题（理）‎ 一、 填空题（本小题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1． 定义集合运算：﹡=,设，,则集合 ‎﹡的所有元素之和为 （ ） [来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ．0 ．2 ．3 ．6‎ ‎2．已知函数，若，则实数等于 （ ）‎ ‎ ． ． ． ．‎ ‎3．已知,(0,π),则= （　　）‎ A．1 B． C． D．1‎ ‎4．已知为第二象限角,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若为所在平面内一点，且满足,则的形状为 ( )‎ ‎ ．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对 ‎6． 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当≥1时，‎ ‎ ，则有 ( )‎ ‎ ． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若是上周期为5的奇函数，且满足，则 ‎ ． B． C． D．‎ ‎8．已知直线是曲线的切线，则等于 （ ）‎ ‎. 0 . 1 . ‎ ‎9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数的图像与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ . . . .‎ 一、 选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）‎ ‎11．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 ．‎ ‎12．幂函数的图像经过点，则的解析式是 .‎ ‎13．已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎14． ‎ ‎15．定义在上的偶函数，满足，且在上是增函数，下列五个关于的命题中：①是周期函数；②的图像关于对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．‎ 其中正确命题的序号是 （请把所有正确的序号全部写出）‎ 二、 解答题（本大题共6小题，共75分，16---18每题12分，19---21每题13分，解答题写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．）‎ ‎16． 已知函数,.‎ ‎⑴ 求函数的最小正周期;‎ ‎⑵ 求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎17．已知函数的图像与函数的图像关于点对称．‎ ‎ ⑴ 求函数的解析式；‎ ‎ ⑵ 若，在区间上的值不小于6，求实数的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎19．已知．‎ ‎ ⑴ 若的图像有与轴平行的切线，求的取值范围；‎ ‎ ⑵ 若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎20．已知是实数，函数 ‎⑴求函数的单调区间；‎ ‎⑵设为在区间上的最小值 ‎（i）写出的表达式；‎ ‎（ii）求的取值范围，使得≤≤．‎ ‎21．已知函数 ‎⑴ 当时，≤恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎⑵ 证明：．‎ ‎ ‎ 安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试 高三数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ D C A B C B A B D D 二、填空题 ‎11． 2 12． ‎ ‎13． 14． 15．①②⑤‎ 三、解答题 ‎16．解： ‎ ‎ ‎ 所以,的最小正周期. ‎ ‎(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为. ‎ ‎17．解：(1) 设图像上任一点坐标为，点关于点的对称点在上，‎ ‎ ∴，∴‎ ‎ 即 ‎ ‎ (2) 由题意 ‎ 且≥6，‎ ‎ ∵ ∴≥，‎ ‎ 即≥‎ ‎ 令 ‎ ∴ ∴ ≥7‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎18．解:(1)证明:由 及正弦定理得: ‎ ‎, [来源:Z&xx&k.Com]‎ 即 ‎ 整理得:,所以,又 ‎ 所以 ‎ ‎(2) 由(1)及可得,又 ‎ 所以, ‎ 所以三角形ABC的面积 ‎19．解：⑴，由已知有解 ‎ ∴≥0，故≤‎ ‎ (2) 由题意是方程的一个根，设另一个根为，[来源:学|科|网]‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，；当时，；[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ∴ 当时，有极大值；‎ ‎ 又，，‎ 即当时，的最大值为 ‎∵ 对时，恒成立，‎ ‎∴≥，∴ ≤-1，或≥2.‎ 故的取值范围是 ‎20．解：函数的定义域为，‎ ‎（）．‎ 若，则，‎ 有单调递增区间．‎ 若，令，得，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 有单调递减区间，单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，‎ 所以．‎ 综上所述， ‎ ‎（ii）令．‎ 若，无解．‎ 若，解得．‎ 若，解得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎21．解：⑴ 因为，所以当时，≤恒成立 则≤，∴≥，‎ 令，则≥，‎ 因为，由得 且当时，；当时，‎ 所以 故≥‎ ‎(2) 由⑴知当时，有≤，当时，‎ 即，令，构造函数，‎ 即，‎ 所以，，…，，‎ 相加得，‎ 而 所以