2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（　　）‎ A．﹣i B． C．i D．‎ ‎2．（5分）演绎推理是（　　）‎ A．部分到整体，个别到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到一般的推理 D．一般到特殊的推理 ‎3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（　　）‎ A．1+a+a2+a3+a4 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3‎ ‎4．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．﹣‎ ‎5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2‎ ‎，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]‎ ‎10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）观察下列不等式：‎ ‎①1+＜；‎ ‎②1++＜；‎ ‎③1+++＜；‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为　 　．‎ ‎14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为　 　．‎ ‎15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=　 　．‎ ‎16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值 ‎（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点．用空间向量进行以下证明和计算：‎ ‎（1）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；‎ ‎（3）求点C到面A1BD的距离．‎ ‎20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．‎ ‎（1）求证：AF∥平面BCE；‎ ‎（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；‎ ‎（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．‎ ‎21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；‎ ‎（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（　　）‎ A．﹣i B． C．i D．‎ ‎【分析】由z（1+i）=1﹣i，得到z==﹣i，由此能求出z的共轭复数．‎ ‎【解答】解：∵z（1+i）=1﹣i，‎ ‎∴z===﹣i，‎ ‎∴z的共轭复数=i．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，注意共轭复数的概念的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）演绎推理是（　　）‎ A．部分到整体，个别到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到一般的推理 D．一般到特殊的推理 ‎【分析】根据题意，由演绎推理的定义，分析选项即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，演绎推理的模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，‎ 是从一般到特殊的推理．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的推理形式．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（　　）‎ A．1+a+a2+a3+a4 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3‎ ‎【分析】当n=1时，左端的a的次数由0次依次递增，最高次数为（2n+1）次，从而可知n=1时，左端计算所得项．‎ ‎【解答】解：∵等式“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”左端和式中a的次数由0次依次递增，当n=k时，最高次数为（2k+1）次，‎ ‎∴用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为1+a+a2+a3，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、分析与推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．﹣‎ ‎【分析】利用双曲线的焦点坐标，判断k的符号，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），‎ 可知k＜0，并且：=3，解得k=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，注意k的符号是易错点．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得C1、E、B、C各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线C1E与BC所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图 设正方体的棱长为2，得 C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）‎ ‎∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0）‎ 因此，得到||==3，‎ ‎||=2，且•=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2‎ ‎∴cos＜，＞==﹣‎ ‎∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角 ‎∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 故选：C ‎【点评】‎ 本题在正方体中，求两条异面直线所成角的余弦之值，着重考查了空间直角坐标系中，利用向量求异面直线所成角的知识点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵△AF1B的周长为4，‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，‎ ‎∴4a=4，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵离心率为，‎ ‎∴，c=1，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，‎ 当x=1时，f′（1）=2，‎ 即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎【分析】求出f′（x），根据函数在x=2时取极值得到f′（2）等于0，代入得到①；又切线与已知直线平行得到两直线的斜率相等，求出已知直线的斜率等于切线的斜率，根据切线斜率等于f′（1）列出②，把①②联立即可求出a与b的值，把a与b的值代入到f′（x）中并令导函数小于0，列出关于x的不等式，求出x的解集即为函数的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx，因为函数在x=2时有极值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；‎ 又直线3x+y=0的斜率为﹣3，则切线的斜率k=f′（1）=3a+2b=﹣3②，‎ 联立①②解得a=1，b=﹣3，‎ 令f′（x）=3x2﹣6x＜0即3x（x﹣2）＜0，‎ 解得0＜x＜2．‎ 故选B ‎【点评】此题要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]‎ ‎【分析】先求出导函数，欲使函数f（x）在区间[1，2]上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=9x2﹣2ax+1‎ ‎∵f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增 ‎∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立．‎ 即，即a≤5，故选A ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）满足，‎ ‎∴‎ 令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，‎ F（2）=4•f（2）=．‎ 由，得f′（x）=，‎ 令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．‎ ‎∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．‎ ‎∴φ（x）≥0．‎ 又x＞0，∴f′（x）≥0．‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ ‎∴f（x）既无极大值也无极小值．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），‎ ‎∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），‎ ‎∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，‎ 又由λμ=得=，解得=，‎ ‎∴e==‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，‎ 即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，‎ 设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，‎ 即a，‎ 则F′（x）=，‎ 当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，‎ ‎∴F（x）在[1，e]上单调递增，‎ 即Fmin（x）=F（1）=0，‎ 因此a＞0即可．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）观察下列不等式：‎ ‎①1+＜；‎ ‎②1++＜；‎ ‎③1+++＜；‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为　1+++++＜　．‎ ‎【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式 ‎【解答】解：由已知中的不等式 ‎1+，1++，…‎ 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方 右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，‎ 故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），‎ 所以第五个不等式为1+++++＜‎ 故答案为：1+++++＜‎ ‎【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性 ‎　‎ ‎14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为　x=﹣1　．‎ ‎【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，‎ 两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），‎ 又因为直线的斜率为1，所以=1，‎ 所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，‎ 即y1+y2=4，所以p=2，‎ 所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．‎ 故答案为：x=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=　﹣　．‎ ‎【分析】设f（x）dx=c，则f（x）=x2+2c，所以f（x）dx=（x2+2c）dx==c，解出c即可．‎ ‎【解答】解：设f（x）dx=c，则f（x）=x2+2c，‎ 所以f（x）dx=（x2+2c）dx==c，解得c=；‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了定积分的计算，关键适当换元，得到方程解出f（x）dx．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是　10　．‎ ‎【分析】直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40，直接求a的值．‎ ‎【解答】解：∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．‎ 设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，‎ 在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°‎ ‎⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=a．‎ ‎△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°‎ ‎⇔×a×（a+a）×=40‎ ‎⇔a=10，‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程，判断动圆C的圆心满足椭圆定义，转化求解椭圆方程即可．‎ ‎【解答】解：定圆M圆心M（2，0），半径r=8，因为动圆C与定圆M内切，‎ 且动圆C过定点A（﹣2，0），|MA|+|MB|=8．‎ 所以动圆心C轨迹是以B、A为焦点，长轴长为8的椭圆．c=2，a=4，b2=12，‎ 动圆心轨迹方程．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值 ‎（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【分析】（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意可得：=f′（1）=0，联立解得a，b．可得f（x），令f′（x）≤0，解出即可得出函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎（2）由（1）可得：f（x）=）=x3﹣x2﹣2x+c，对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立⇔＜c2﹣c，令g（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，‎ ‎∵=f′（1）=0，‎ ‎∴+2a×+b=0，3+2a+b=0，‎ 联立解得a=，b=﹣2．‎ f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），‎ 令f′（x）=（3x+2）（x﹣1）≤0，‎ 解得．‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间为．‎ ‎（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，‎ 对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立⇔＜c2﹣c，‎ 令g（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，‎ ‎∴g′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），‎ 由（1）可得：函数g（x）在，[1，2]上单调递增，在区间上单调递减．‎ 而=，g（2）=2．∴g（x）max=2．‎ ‎∴c2﹣c＞2，即c2﹣c﹣2＞0，‎ 解得c＞2，或c＜﹣1．‎ ‎∴c的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点．用空间向量进行以下证明和计算：‎ ‎（1）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；‎ ‎（3）求点C到面A1BD的距离．‎ ‎【分析】（1）取BC中点O为原点，OB为x轴，在平面BB1C1C内过O作BB1的平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥平面AB1D．‎ ‎（2）求出面BA1D的法向量和面AA1D的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．‎ ‎（3）求出面BA1D的法向量，向量=（2，0，0），利用向量法能求出点C到面A1BD的距离．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（1）取BC中点O为原点，OB为x轴，在平面BB1C1C内过O作BB1的平行线为y轴，OA为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A1（0，2，），B1（1，2，0），C1（﹣1，2，0），D（﹣1，1，0），‎ ‎=（1，2，﹣），=（﹣2，1，0），=（1，﹣2，﹣），‎ ‎∴=0，=0，‎ ‎∴AB1⊥BD，AB1⊥A1B，‎ 又BD∩A1B=B，∴AB1⊥平面AB1D．‎ 解：（2）∵AB1⊥平面AB1D，∴==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，‎ 设面AA1D的法向量=（x，y，z），=（0，2，0），=（﹣1，1，﹣），‎ 则，取x=﹣3，得=（﹣3，0，）‎ 设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，‎ 则cos＜＞==﹣，‎ ‎∴sinθ==，‎ ‎∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为．‎ ‎（3）==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，向量=（2，0，0），‎ ‎∴点C到面A1BD的距离为d===．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．‎ ‎（1）求证：AF∥平面BCE；‎ ‎（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；‎ ‎（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．‎ ‎【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；‎ ‎（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩‎ DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；‎ ‎（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．‎ ‎【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，‎ ‎∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．‎ 又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，‎ ‎∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）‎ 又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE． …（4分）‎ ‎（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，‎ ‎∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，‎ ‎∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，‎ ‎∴AF⊥平面CDE． …（6分）‎ 又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE． …（8分）‎ ‎（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），‎ 建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，‎ 则C（0，﹣1，0），．…（9分）‎ 设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，‎ 则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）‎ 显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．‎ 设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．‎ α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．‎ ‎【分析】（1）依题意知，2a=4，e=由此可求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为，由题设条件能推出3x1﹣4y1=﹣5x0．再由点P（x0，y0）在椭圆C：上，能够铁推出3x1﹣4y1的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为，‎ ‎∴‎ 解得：，．‎ ‎∴3x1﹣4y1=﹣5x0．‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆C：上，‎ ‎∴﹣2≤x0≤2，则﹣10≤﹣5x0≤10．‎ ‎∴3x1﹣4y1的取值范围为[﹣10，10]．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；‎ ‎（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．‎ ‎【分析】（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a﹣2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；‎ ‎（2）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln﹣＞0，根据（1）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且大于1，利用函数的单调性可得证．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=﹣==，‎ 因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立 即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，‎ 当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，‎ 得：2a﹣2≤x+，‎ 设g（x）=x+，x∈（0，+∞），‎ 则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，‎ 所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；‎ ‎（2）设m＞n，‎ 要证，只需证＜，‎ 即ln＞，即ln﹣＞0，‎ 设h（x）=lnx﹣，‎ 由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，‎ 所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，‎ 得到．‎ ‎【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．在证明第（2）时注意利用第（1）问中的结论．‎ ‎　‎