【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4节学案
第4节 二次函数性质的再研究与幂函数
最新考纲 1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图像，了解它们的变化情况.
知 识 梳 理
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图像和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数；
在上是增函数
在上是减函数
2.幂函数
(1)幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.
(2)常见的5种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图像过定点(1，1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材习题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝( )
A. B.1
C. D.2
解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图像过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
答案 C
3.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
a>b.
答案 A
4.(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
解析 设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.
答案 B
5.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________.
解析 二次函数f(x)图像的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
考点一 幂函数的图像和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图像是( )
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈ )的图像关于y轴对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A.－3 B.1
C.2 D.1或2
解析 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，
借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)(2018·渭南模拟)若a＜0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( )
A.5－a＜5a＜0.5a B.5a＜0.5a＜5－a
C.0.5a＜5－a＜5a D.5a＜5－a＜0.5a
(2)(2018·北京东城区一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
解析 (1)5－a＝，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.
(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)的图像与直线y＝k，如图所示，则当00的解集为{x|10的解集为(1，3)，
设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.
由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.
因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.
所以f(x)＝－x2－x－.
考点三 二次函数的图像与性质的应用(多维探究)
命题角度1 二次函数的单调性与最值
【例3－1】 (2018·景德镇调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
命题角度2 二次函数的图像应用
【例3－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
解析 由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图像也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称.
不妨设x1x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
答案 A
3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是( )
解析 若a<0，由y＝xa的图像知排除C，D选项，由y＝ax＋的图像知应选B；若a>0，y＝xa的图像知排除A，B选项，但y＝ax＋的图像均不适合，综上选B.
答案 B
4.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)0的解集是( )
A.(－4，2) B.(－2，4)
C.(－∞，－4)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(4，＋∞)
解析 依题意，f(x)图像是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<－4.
答案 C
二、填空题
6.(2018·潍坊质检)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
答案
7.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图像观察可知0≤a≤4.
答案 [0，4]
8.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________.
解析 由x＋y＝1，x≥0，y≥0，得0≤x≤1.
∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋.
当x＝时，x2＋y2有最小值，
当x＝0或x＝1时，x2＋y2有最大值1.
∴x2＋y2的取值范围是.
答案
三、解答题
9.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N+)的图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 幂函数f(x)的图像经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N+，∴m＝1.∴f(x)＝x，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由f(2－a)>f(a－1)得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
10.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋1，
则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·宝鸡调研)已知f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A.有最小值 B.有最大值
C.是减函数 D.是增函数
解析 由于f(x)在(－∞，1)上有最小值，
所以x＝a<1，g(x)＝＝x＋－2a，
若a≤0，则g(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
若00)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f ＝________.
解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f ＝－.
答案 －
13.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0].
