高三数学（文数）总复习练习专题十九 几何证明选讲

高三数学（文数）总复习练习专题十九 几何证明选讲

‎(2015· 广东，15，中)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝2，则AD＝________.‎ ‎【解析】　方法一：如图，连接OC，‎ ‎∵C为切点，‎ ‎∴在△OCE中，OC＝r＝2，CE＝2，‎ ‎∴OE＝4，‎ ‎∴sin ∠CEO＝，∴∠CEO＝30°.‎ 在Rt△AED中，∠AED＝∠CEO＝30°，‎ ‎∴AD＝AE＝(AO＋OE)＝3.‎ 方法二：如图，连接OC.∴OC⊥CD.‎ 又AD⊥CD，∴OC∥AD，‎ ‎∴△OCE∽△ADE.‎ 依题得，CE2＝BE·AE，‎ ‎∴CE2＝BE·(AB＋BE)．‎ 又CE＝2，AB＝4，∴BE＝2.‎ 又△OCE∽△ADE，∴＝，‎ ‎∴AD＝＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎1．(2014·天津，7，易)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.‎ 则所有正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ ‎【答案】　D　由题意知∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，‎ ‎∴∠FBD＝∠DBC，故①正确；‎ 由切割线定理知②正确；‎ 易证△ACE∽△BDE.‎ ‎∴＝，‎ ‎∴③不正确；‎ ‎∵在△ABF和△BDF中，∠FBD＝∠BAD，∠BFD＝∠BFA，‎ ‎∴△ABF∽△BDF，∴＝，‎ ‎∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．‎ 故选D.‎ ‎2．(2014·陕西，15B，易)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.‎ ‎【解析】　由已知得∠AEF＋∠BEF＝180°，∠BEF＋∠BCF＝180°，‎ 所以∠AEF＝∠BCF；同理，可证∠AFE＝∠ABC.‎ 所以△AEF∽△ACB，‎ 所以＝⇒EF＝·BC＝×6＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎3．(2013·广东，15，易)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.‎ ‎【解析】　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.‎ 因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2012·陕西，15B，易)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________．‎ ‎【解析】　由相交弦定理得AE·EB＝DE2，∴DE＝.‎ 又△DEB∽△DFE，∴DE2＝DF·DB＝5.‎ ‎【答案】　5‎ ‎5．(2013·辽宁，22，10分，中)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：‎ ‎(1)∠FEB＝∠CEB；‎ ‎(2)EF2＝AD·BC.‎ 证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.‎ 由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝90°；‎ 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝90°，从而∠FEB＝∠EAB.‎ 故∠FEB＝∠CEB.‎ ‎(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，‎ 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.‎ 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.‎ 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，‎ 故EF2＝AF·BF，‎ 所以EF2＝AD·BC.‎ ‎6．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 证明：(1)如图，连接AF，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.‎ 又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，所以四边形ADCF是平行四边形，‎ 故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，‎ 故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，∠BGD＝∠BDG.‎ 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.‎ 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，‎ 故△BCD∽△GBD.‎ 考向1　相似三角形的判定方法与性质应用 ‎1．相似三角形的判定方法 ‎(1)判定定理 定理1：两角对应相等，两三角形相似．‎ 定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．‎ 定理3：三边对应成比例，两三角形相似．‎ ‎(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．‎ ‎(3)直角三角形相似的特殊判定方法 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．‎ ‎2．相似三角形的性质 ‎(1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．‎ ‎(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ ‎(1)(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.‎ ‎(2)(2012·辽宁，23，10分)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：‎ ‎①AC·BD＝AD·AB；‎ ‎②AC＝AE.‎ ‎【解析】　(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠DCF＝∠FAE，∠CDF＝∠FEA，∴△CDF∽△AEF，‎ ‎∴＝＝.‎ 又∵EB＝2AE，∴AB＝3AE＝CD⇒＝3⇒＝＝3，‎ ‎∴＝3.‎ ‎(2)证明：①由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，‎ 同理∠ACB＝∠DAB，‎ 所以△ACB∽△DAB，‎ 从而＝，‎ 即AC·BD＝AD·AB.‎ ‎②由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD.‎ 从而＝，‎ 即AE·BD＝AD·AB.‎ 结合(1)的结论，可得AC＝AE.‎ ‎【点拨】　解题(1)及(2)①的关键是证明三角形相似；题(2)②需注意应用圆中的有关定理，并结合相似三角形进行证明．‎ ‎ 相似三角形的判定定理的选择 ‎(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；‎ ‎(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；‎ ‎(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定．‎ ‎(2013·陕西，15B)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.‎ ‎【解析】　因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED，所以∠A＝∠PED.‎ 又∠P是公共角，所以△PED∽△PAE.‎ 则＝，即PE2＝PA·PD.‎ 由PD＝2DA＝2，可得PE2＝6.‎ 所以PE＝.‎ ‎【答案】　 考向2　截割定理与射影定理的应用 ‎1．平行线等分线段定理 ‎(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ ‎(2)推论 ‎①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ ‎②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 ‎(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ ‎(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎3．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．‎ ‎(1)(2011·广东，15)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．‎ ‎(2)(2015·河南郑州一模，22，10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.‎ 求证：EF∶DF＝BC∶AC.‎ ‎【解析】　(1)在梯形ABCD中，过C作CG∥AD交AB于G，交EF于H，如图．‎ 则HF＝1，GB＝2.又EF∥AB，‎ 即HF∥GB，∴＝＝，‎ ‎∴F为CB的中点，∴EF为梯形ABCD的中位线．‎ 设梯形EFCD的高为h，则梯形ABCD的高为2h.‎ S梯形ABCD＝＝＝6h，‎ S梯形EFCD＝＝＝.‎ 所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD＝12∶5，‎ S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.‎ ‎(2)证明：∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，‎ ‎∴由射影定理得AC2＝CD·BC，‎ ‎∴＝.①‎ ‎∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，‎ ‎∴＝.‎ 又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，‎ ‎∴AE＝EF，∴＝.②‎ 由①②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.‎ ‎【点拨】　解题(1)时应充分利用平行线分线段成比例定理，寻找比例关系，表示出相关梯形的面积；题(2)已知条件中含有直角三角形且涉及斜边上的高，首先考虑射影定理．‎ ‎ 利用比例关系求值或证明的方法 高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等．在求值时往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证．同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用．‎ ‎(1)(2015·广东佛山一模，15)如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝，则△DEF的边长为________．‎ ‎(2)(2015·陕西宝鸡质检，15B)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.‎ ‎(1)【解析】　设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等．又DE∥BC，则＝＝，‎ ‎∴＝＝，‎ 解得x＝.‎ ‎【答案】　 ‎(2)【解析】　如图，连接CD.‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴CD⊥AD.‎ ‎∵△ABC为直角三角形，‎ ‎∴BC2＝BD·AB，‎ ‎∴BD＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2014·陕西西安一模，15B)如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于________．‎ ‎【解析】　因为AD∥EF，DE∥FC，所以△ADE∽△EFC.因为S△ADE∶S△EFC＝1∶4，所以AE∶EC＝1∶2，所以AE∶AC＝1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9，所以S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎2．(2015·广东湛江一模，15)如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，BC＝100，则EF＝________.‎ ‎【解析】　∵AB∥EF∥CD，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴＋＝＝1，‎ 即＋＝1.‎ ‎∴EF＝16.‎ ‎【答案】　16‎ ‎3．(2015·陕西咸阳二模，15B)如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝________．‎ ‎【解析】　根据切割线定理可得∠ABC＝∠EAC.‎ 因为线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC.‎ 又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠ADE＝∠EAD，‎ 即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，‎ 在△ACE和△ABE中，因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，‎ 所以△CAE∽△ABE，则有＝⇒AE＝4，‎ 即DE＝AE＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎4．(2015·广东惠州调研，15)已知梯形ABCD的上底AD＝8 cm，下底BC＝15 cm，在边AB，CD上分别取E，F，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF＝________cm.‎ ‎【解析】　因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5.‎ 又因为BC＝15 cm，‎ 所以EP＝9 cm.同理PF＝3.2 cm.所以EF＝12.2 cm.‎ ‎【答案】　12.2‎ ‎5．(2015·天津五校联考，13)如图，直线PC与⊙O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.‎ ‎【解析】　由切割线定理知PA·PB＝PC2，所以PA＝2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO＝5，‎ 连接OC，在△OCP中，由三角形的面积相等知CE·OP＝OC·PC，所以CE＝＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2014·河南开封一模，22，10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△EAD；‎ ‎(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．‎ 解：(1)证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAF＝∠AED.‎ 又∵∠BFE＝∠C，‎ ‎∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，‎ ‎∴∠BFA＝∠ADE.‎ ‎∴△ABF∽△EAD.‎ ‎(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°.‎ ‎∴＝sin 60°，AE＝＝.‎ 又＝，‎ ‎∴BF＝·AD＝.‎ ‎1．(2015·天津，6，易)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　)‎ A. B．3‎ C. D. ‎【答案】　A　由相交弦定理，得 CM·MD＝AM·MB＝AN·BN ‎＝AB2＝8.‎ CN·NE＝AN·BN＝AB2＝8，‎ 又∵CN＝3，‎ ‎∴NE＝.2.(2015·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎(1)证明：EF∥BC；‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．‎ 解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，‎ 所以AD是∠CAB的平分线．‎ 又因为⊙O分别与AB，‎ AC相切于点E，F，‎ 所以AE＝AF，故AD⊥EF.‎ 从而EF∥BC.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，‎ 故AD是EF的垂直平分线．‎ 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．‎ 如图，连接OE，OM，则OE⊥AE.‎ 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，‎ 所以∠OAE＝30°.‎ 因此△ABC和△AEF都是等边三角形．‎ 因为AE＝2，‎ 所以AO＝4，OE＝2.‎ 因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，‎ 所以OD＝1.‎ 于是AD＝5，AB＝.‎ 所以四边形EBCF的面积为 ××－×(2)2×＝.‎ ‎3．(2015·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.‎ ‎(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．‎ 解：(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，‎ 故∠DEC＝∠DCE.‎ 连接OE，则∠OBE＝∠OEB.‎ 又∠ACB＋∠ABC＝90°，‎ 所以∠DEC＋∠OEB＝90°，‎ 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.‎ 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.‎ 可得x＝，所以∠ACB＝60°.‎ ‎1．(2013·天津，13，易)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．‎ ‎【解析】　因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB·EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△EBA，所以＝，则BD＝＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎2．(2012·湖南，11，易)如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于________．‎ ‎【解析】　方法一：设PO与圆O交于点D，半径为R，则由切割线定理得PA·PB＝PD·(PO＋OD)，即1×3＝(3－R)·(3＋R)，所以R＝.‎ 方法二：如图，取AB的中点C，连接OB，OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝＝.‎ ‎∴圆O的半径为OB＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎3．(2014·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.‎ 由(1)知，∠D＝∠E，‎ 所以△ADE为等边三角形．‎ ‎4．(2014·辽宁，22，10分，中)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎(1)求证：AB为圆的直径；‎ ‎(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.‎ 证明：(1)因为PD＝PG，‎ 所以∠PDG＝∠PGD.‎ 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.‎ 又由于∠PGD＝∠EGA，‎ 故∠DBA＝∠EGA.‎ 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，‎ 从而∠BDA＝∠PFA.‎ 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，‎ 于是∠BDA＝90°，故AB是直径．‎ ‎(2)连接BC，DC.‎ 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，‎ 从而Rt△BDA≌Rt△ACB.‎ 于是∠DAB＝∠CBA.‎ 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，‎ 故DC∥AB.‎ 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，‎ 于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.‎ ‎5．(2013·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明：DB＝DC；‎ ‎(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ 解：(1)证明：连接DE，交BC于点G.‎ 由弦切角定理得∠ABE＝∠BCE.‎ 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°，‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)由(1)知∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，BC为△BCF外接圆的直径，故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ 方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理，余弦定理相结合解三角形．‎ 考向1　与圆有关的比例线段问题 定理名称 基本图形 内容 条件 结论 应用 相交 弦定 理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 弦AB，CD相交于圆内点P ‎(1)PA·PB＝PC·PD ‎(2)△ACP∽△DBP ‎(1)在PA，PB，PC，PD四条线段中知三求一 ‎(2)求弦长及角 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 PAB，PCD是⊙O的割线 ‎(1)PA·PB＝PC·PD ‎(2)△PAD∽△PCB ‎(1)求线段PA，PB，PC，PD及AB，CD ‎(2)应用三角形相似求AD，BC 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 PA切⊙O于点A，‎ PBC是 ‎⊙O的 割线 ‎(1)PA2＝PB·PC ‎(2)△PAB∽△PCA ‎(1)对于线段PA，PB，PC的长可知二求一 ‎(2)求解AB，AC ‎(2014·课标Ⅱ，22，10分)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ ‎【思路导引】　(1)由等腰三角形的性质、三角形外角的性质及圆的有关性质求解；(2)由切割线定理和相交弦定理，再结合条件求解．‎ ‎【证明】　(1)如图，连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，‎ ‎∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而＝，‎ 因此BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC，‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，‎ BD＝PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC.‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎ 与圆有关的比例线段问题的解题方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．‎ ‎(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ ‎【解析】　由相交弦定理知EF·FC＝AF·BF，解得FC＝2.‎ ‎∵BD∥EC，∴＝＝＝，‎ 即BD＝，＝.‎ 又由切割线定理知 BD2＝CD·AD＝4CD2，‎ 即CD＝BD＝.‎ ‎【答案】　 考向2　四点共圆问题 圆内接四边形的性质定理和判定定理 性质定理 圆内接四边形对角互补 判定定理 如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆 四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆；四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．‎ ‎(2013·课标Ⅱ，22，10分)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．‎ ‎(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．‎ ‎【思路导引】　(1)要证CA是△ABC外接圆的直径，只需证∠ABC为直角；(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比．‎ ‎【解析】　(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.‎ 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．‎ ‎(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.‎ 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎ 证明四点共圆的主要方法 ‎(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆．‎ ‎(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．‎ ‎(5)相交弦定理的逆定理．‎ ‎(6)割线定理的逆定理．‎ ‎(2011·辽宁，22，10分)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ 证明：(1)因为EC＝ED，‎ 所以∠EDC＝∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，‎ 所以∠EDC＝∠EBA，‎ 故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，‎ 从而∠FED＝∠GEC.‎ 如图，连接AF，BG，‎ 则△EFA≌△EGB，‎ 故∠FAE＝∠GBE，‎ 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，‎ 所以∠FAB＝∠GBA.‎ 所以∠AFG＋∠GBA＝180°，‎ 故A，B，G，F四点共圆．‎ ‎1．(2014·广东四校联考，15)如图，过点C作△ABC外接圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD＝，AB＝AC＝2，则BC＝________.‎ ‎【解析】　由切割线定理，得CD2＝DA·DB，即3＝DA·(DA＋2)，解得DA＝1.由于AD2＋DC2＝AC2，所以△ADC为直角三角形，且∠D＝90°，所以BC＝＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎2．(2015·天津河东一模，13)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A， ∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.‎ ‎【解析】　因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则∠B＝∠EAC.‎ 又因为CD平分∠ACB，‎ 则∠ACD＝∠BCD，‎ 所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.‎ 根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.‎ 因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，‎ 所以△ADF是等腰直角三角形．‎ 所以∠ADF＝∠AFD＝45°.‎ ‎【答案】　45°3.(2015·陕西西安五校联考，15B)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．‎ ‎【解析】　连接AB，∵PA切圆O于点A，且B为PO的中点，‎ ‎∴AB＝OB＝OA，‎ ‎∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.‎ 在△POD中，由余弦定理知PD2＝PO2＋OD2－2PO·OD·cos∠POD＝7，‎ ‎∴PD＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2015·湖南株洲一模，11)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA，②AF·AG＝AD·AE，③△AFB∽△ADG，其中正确结论的序号是________．‎ ‎【解析】　由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，‎ 所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋(BF＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；‎ 因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE.‎ 又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；‎ 根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD.‎ 又因为BD＝BF，‎ 所以∠BDF＝∠BFD＝∠AGD.‎ 在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．‎ ‎【答案】　①②‎ ‎5．(2014·河南郑州一模，22，10分)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.‎ ‎(1)证明：AC2＝AD·AE；‎ ‎(2)证明：FG∥AC.‎ 证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线，‎ ‎∴AB2＝AD·AE.‎ 又∵AC＝AB，∴AC2＝AD·AE.‎ ‎(2)∵AC2＝AD·AE，∴＝.‎ 又∵∠DAC＝∠CAE，‎ ‎∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC.‎ 又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG.‎ ‎∴FG∥AC.6.(2015·辽宁盘锦二模，22，10分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：B，P，E，F四点共圆；‎ ‎(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．‎ 解：(1)证明：如图，连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.‎ 因为EF⊥CE，‎ 所以∠PBF＋∠PEF＝180°，‎ 所以B，P，E，F四点共圆．‎ ‎(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，‎ 且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.‎ 因为BC切圆P于点B，‎ 且CD＝2，CB＝2，‎ 所以由切割线定理得CB2＝CD·CE，‎ 所以CE＝4，所以DE＝2，则BP＝PE＝1.‎ 又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，‎ 所以EF∶BP＝CE∶CB，得EF＝.‎ 在Rt△FEP中，PF＝＝，‎ 即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.‎