内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二下学期数学（理）月考试题

内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二下学期数学（理）月考试题

呼市二中2019—2020学年高二第二学期月考数学 ‎（理科）试卷 第Ⅰ卷选择题，共80分；第Ⅱ卷非选择题共70分.‎ 满分150分，考试时间为120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）‎ ‎1.已知函数的导函数,且满足，则＝(　　)‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．‎ ‎【详解】对函数进行求导，得把代入得，‎ 直接可求得．‎ ‎【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是是一个实数．‎ ‎2.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数证明即可.‎ ‎【详解】‎ 的单调增区间为 故选C ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎3.若在曲线上一点处的切线与平行，则点的横坐标为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用导数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】设，‎ ‎，即 解得或（舍）‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎4.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为(　　).‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.‎ 详解：‎ 导函数在上的图象如图所示，‎ 由函数取得极大值点的充要条件是：‎ 在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，‎ 由图象可知，函数只有在点处取得最大值，‎ 而在点处取得极小值，而在点处无极值，‎ 函数在上的极大值点的个数为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎5.已知的一个极值点为，且，则、的值分别为（ ）‎ A. 、 B. 、 C. 、 D. 、‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数在处是否取到极值进行检验，可得出结果.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意得，解得或.‎ 当，，则，‎ 此时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当，时，，‎ 若，，若，则，‎ 此时，函数在处取得极小值，合乎题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6.下列积分值等于1的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.‎ ‎【详解】；‎ 令，则，因为表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分 则 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了牛顿莱布尼兹公式的应用，属于中档题.‎ ‎7.已知函数在处取到极小值，则的值为（ ）‎ A. 3或9 B. ‎3 ‎C. 9 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出，由，得出或，进行验证，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得或 当时，‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 满足在处取到极小值 当时，‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 则在处取得极大值 综上，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了已知函数的极值点求参数，属于中档题.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，已知曲线，过点（为自然对数的底数）的直线与曲线切于点，则点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得出切线方程，将点代入得，解出，即可得出答案.‎ ‎【详解】设，则曲线在点处的切线方程为 将点代入得，化简得到 ‎，则 在上为增函数 又有唯一解 即 故选B ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎9.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )‎ A. 6 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求可积区间，再根据定积分求面积.‎ ‎【详解】由,得交点为，‎ 所以所求面积为，选D.‎ ‎【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎10.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0‎ B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则()=0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.‎ 考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．‎ ‎11.函数图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.‎ 详解】函数，‎ 则，令，‎ 解得的两个极值点为，故排除AD，‎ 且当时，恒为正，排除C，‎ 即只有B选项符合要求，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.‎ ‎12.若函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在区间上不是单调函数的等价条件为在有实数根，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由题，得，函数在区间上不是单调函数的等价条件为在有实数根.‎ 当在有1个实数根时，有，即，解得；‎ 当在有2个不等实数根时，有，即，解得，；‎ 当时，也满足题意；‎ 综上，‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及一元二次方程根的分布问题.‎ ‎13.定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为（ ）‎ A. (0,+∞) B. (－∞,0)∪(3,+ ∞)‎ C. (－∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由变形得，，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集．‎ ‎【详解】由变形得，，设，所以原不等式等价于，‎ 因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力．‎ ‎14.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎15.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取何值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义得出函数是奇函数，利用导数得出其单调性，根据奇函数和单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】的定义域为，关于原点对称 是奇函数 ‎（当且仅当，即时等号成立）‎ ‎，当且仅当时等号成立 在上单调递增 ‎，解得 故选A ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.‎ ‎16.曲线：与曲线：公切线的条数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公切线与的切点为，公切线与的 切点为，利用导数的几何意义分别得出在切点，处的切线方程，由得到，构造函数，利用导数得出方程的根的个数，即可得出结论.‎ ‎【详解】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为 的导数为；的导数为 则在切点处的切线方程为，即 则在切点处的切线方程为，即 ‎，整理得到 令，则 ‎；‎ 在区间上单调递减，在区间上单调递增 即函数与的图象，如下图所示 由图可知，函数与有两个交点，则方程有两个不等正根，即曲线：与曲线：公切线的条数有2条 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于较难题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共70分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎17.曲线在点处的切线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数在x=0时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程.‎ ‎【详解】，‎ 斜率，切点为，‎ 则切线方程为即y=3x+1‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎18.已知，，则函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用导数得出单调性，画出图象，即可得出结论.‎ ‎【详解】，则 令 当时，，‎ 则函数在区间上单调递减 当时，‎ ‎；‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减 画出函数与的图象，如下图所示 由图可知函数与的图象有三个交点，则函数的零点个数为3个 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于中档题.‎ ‎19.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数在区间上存在单调递增区间，转化为存在，使得成立，构造函数，利用导数得出的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在区间上存在单调递增区间 所以存在，使得成立 即存在，使得成立 即存在，使得成立 令，则 在区间上单调递减，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，属于中档题.‎ ‎20.曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义得出，整理得到，构造函数，利用导数得出其值域，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为 函数，的导数分别为，‎ 则公切线的斜率为，整理得 由可知，‎ 令，则 ‎；‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减 ‎；当时，，即 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共50分.）‎ ‎21.已知函数在处取到极值.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，即可得出函数的解析式；‎ ‎（2）利用导数求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 由题意得，解得 即 ‎（2）‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 ‎【点睛】本题主要考查了由函数极值求参数以及利用导数求最值，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，方程有且仅有一个解.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论参数的值，利用导数证明单调性即可；‎ ‎（2）构造函数，利用导数得出其单调性，结合，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，；或 在，上单调递减，在上单调递增 当时，‎ ‎；‎ 在上单调递减，在上单调递增 当时，或；‎ 在，上单调递增，在上单调递减 当时，，则在上单调递增 ‎（2）当时，，令 ‎，‎ ‎；‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎，即 即在上单调递增，且 有且仅有一个解 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）且（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出存在，使得成立，即存在，使得成立，求出的最大值，即可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）分类讨论参数的值，利用导数得出的最小值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 上存在单调递减区间 存在，使得成立 即存在，使得成立 且 ‎（2）‎ 当时，，则函数在上单调递减 成立，即 当时，由，则 所以函数在上单调递减，恒成立，即 当时，；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增 ‎，解得 综上，‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒能成立问题，属于中档题.‎ ‎24.已知函数.‎ ‎（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围.‎ ‎（2）如果对任意、，有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数得出的单调性以及极值，画出其函数图象，根据图象，得出实数 的取值范围；‎ ‎（2）结合函数的单调性，构造函数，由得出函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，得出的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，‎ ‎；‎ 在上单调递增，在上单调递减，则极大值为 当时，；当时，‎ 由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象，如下图所示 在区间，上同时存在函数的极值点和零点 ‎，解得 即 ‎（2）由（1）可知，函数在上单调递减 不妨设，由，得 令 函数在上单调递减 则在上恒成立，即在上恒成立 当时，的最小值为 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.‎