2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（实验班）

2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（实验班）

‎ 长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高二级 数学试题（理科实验）‎ 时间:100分钟 总分:150分 命题人：任晓龙 审题人：李林刚 一、 选择题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设，且，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C． D.‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为( 　 )‎ ‎ A.(,0) B.(0,) C.(,0) D.(0,)‎ ‎3. 下列说法正确的是( )‎ ‎ A. “若则”的否命题是“若则”‎ ‎ B．在中, “”是“”的必要不充分条件 ‎ C. “若,则”是真命题 ‎ D. ,使得成立 ‎4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地。”请问第三天走了（ ）‎ A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 ‎5.函数的最小正周期是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知，若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是(　　)‎ A． ‎ B． C． D． ‎ ‎7．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.P为双曲线上一点,为焦点,如果 则双曲线的离心率为（　　）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．用数学归纳法证明时，从“‎ 到”左边需增乘的代数式为( 　 )‎ ‎ A. B． C. D．‎ ‎10.函数,的最大值为( 　 ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎12.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则等于(　 )‎ ‎ A．9 B．‎4 ‎C． 6 D．3‎ ‎13．双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点, 的中点为， 的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A.4 B‎.2 ‎ C. D．‎ ‎14.设是函数的导函数，且满足，若在中，是钝角，则（ ）‎ A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的相应横线上.）‎ ‎15. ．‎ ‎16．设是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点的距离等于，则点到焦点的距离等于 ．‎ ‎17.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ‎ ‎ ．‎ ‎18．函数若对于任意，都有成立，则实数的值为 ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答）‎ ‎19.（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，. ‎ ‎ （1）求的通项公式； ‎ ‎ （2）设 ,求数列的前项和. ‎ ‎20.（本小题满分12分）一辆家庭轿车在年的使用过程中需要如下支出：购买轿车的费用12万元；保险费、燃油费等每年1万元；维修保养费用万元；使用年后汽车价值万元.在这辆汽车上的年平均支出（单位：万元）是使用时间 ‎（单位：年）的函数.‎ （1） 求出关于使用时间的函数解析式；‎ （2） 随着的变化，函数值的变化有何规律;并求当取何值时，函数有最小值，求出最小值.‎ ‎21.（本小题满分12分）如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎23．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：当时，；‎ ‎（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．‎ 长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准（理科实验）‎ 一、选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 A D C B B D D C D B A C B C 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎15． 16．17 17． 3 18. 4‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共60分．）‎ ‎19.解：（1）由，可知 可得即 由于可得又，解得 所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为 ‎（2）由，‎ 设数列的前n项和为，则 ‎20.解：（1）…………………………5分 ‎（2）由，求得 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，函数有最小值为．…………………………12分 ‎21.解：(1)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以平面，故=又 ，故 . …………………………………6分 ‎（2）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以 故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直． ‎ 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则 ‎，，，‎ ‎，‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即 所以可取 设是平面的法向量，则，同理可取………………10分 则，所以二面角的余弦值为.………………12分22.解：(1) 设，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. …………………4分 ‎（2）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= +…………………………8分 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，等号成立，且满足，…………………………10分 所以当OPQ的面积最大时，‎ 的方程为： 或. …………………………12分 ‎23.解：（1），曲线在点处的切线方程为；…………………………4分 ‎（2）当时，，即不等式，‎ 对成立，设 ‎，则 ‎，当时，，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，成立； …………………………………8分 ‎（3）使成立，，等价于，；，‎ 当时，，函数在（0，1）上位增函数，，符合题意；‎ 当时，令，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎，显然不成立，‎ 综上所述可知：的最大值为2.…………………………13分