高中数学北师大版新教材必修一同步课件：4-3-3 对数函数y=logax的图象和性质
3.3
对数函数
y=log
a
x
的图象和性质
必备知识
·
自主学习
对数函数的图象和性质
(1)
图象和性质
:
0
1
图
象
性
质
①
定义域
:
(
0
，
+∞
)
②
值域
:R
③
过定点
(1,0),
即
x=1
时
,y=0
④
当
x>1
时
,y<0;
当
00
④
当
x>1
时
,y>0;
当
01,
则
y=log
a
x
的函数值都大于零
. (
)
(2)
若对数函数
y=log
(a-1)
x
是减函数
,
则
a>2. (
)
提示
:
(1)×.
当
01,
则
y=log
a
x
的函数值都小于零
.
(2) ×.
由对数函数的单调性可知
,00,
得
x>2,
所以其定义域是
(2,+∞).
答案
:
(2,+∞)
3.
函数
f(x)=log
a
(2x-3)(a>0
且
a≠1)
的图象恒过定点
P,
则
P
点的坐标是
.
【
解析
】
令
2x-3=1,
解得
x=2,
且
f(2)=log
a
1=0
恒成立
,
所以函数
f(x)
的图象恒过定点
P(2,0).
答案
:
(2,0)
关键能力
·
合作学习
类型一 与定义域相关的问题
(
数学运算
)
【
题组训练
】
求下列函数的定义域
:
(1)y= ;(2)y= ;
(3)y= .
【
解析
】
(1)
要使函数有意义
,
则
x
2
-x-12>0,
解得
x<-3
或
x>4.
所以函数
y=
的定义域为
.
(2)
要使函数有意义
,
则 即 所以
-15
5
=8
5b
>13
4b
,
即
bπ
0
=1,ln >1,
所以
lo
g
3
15>
lo
g
4
20>2,
又
lo
g
6
30<
lo
g
6
36=2,
所以
a>b>c.
角度
2
复合函数的单调性、值域问题
【
典例
】
函数
y= (-x
2
+5x-6)
的单调增区间为
,
值域为
.
【
思路导引
】
利用复合函数的单调性的符号法则“同增异减”求单调区间
;
先求内层函数的值域
,
再利用单调性求原函数的值域
.
【
解析
】
由
-x
2
+5x-6>0
得
x∈(2,3),
令
t=-x
2
+5x-6,
由
y= t
为减函数
,t=-x
2
+5x-6
在
[
，
3 )
上单调递减
,
故函数的单调增区间为
[
，
3 )
,
又由
x∈(2,3)
时
,t=-x
2
+5x-6∈(
0
，
]
,
故
y= (-x
2
+5x-6)∈[2,+∞).
答案
:
[
，
3 )
[2,+∞)
角度
3
定点问题
【
典例
】
若函数
f(x)=log
a
(x+m)+1(a>0,
且
a≠1)
恒过定点
(2,n),
则
m+n
的值为
.
【
思路导引
】
将定点坐标代入求
m,n.
【
解析
】
依题意
log
a
(2+m)+1=n
为定值
,
可得
2+m=1,
即
m=-1,
所以
n=1,m+n=0.
答案
:
0
【
解题策略
】
1.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)
同底数的利用对数函数的单调性
;
(2)
同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化
;
(3)
底数和真数都不同
,
找中间量
;
(4)
若底数为同一参数
,
则根据底数对对数函数单调性的影响
,
对底数进行分类讨论
.
提醒
:
比较数的大小时先利用性质比较出与
0
或
1
的大小
.
2.
关于定点问题
求函数
y=m+log
a
f(x)(a>0,
且
a≠1)
的图象过定点时
,
只需令
f(x)=1
求出
x,
即得定点为
(x,m).
3.
关于复合函数
y=log
a
f
(x)
(a>0,
且
a≠1)
的单调性、值域
先求出定义域
A,
再令
t=f
(x)
,y=log
a
t,
(1)
单调性
:
分别考查两个函数的单调性
,
复合法则是“同增异减”
.
即定义域
A
内两个函数单调性相同的区间为单调增区间
,
两个函数单调性相反的区间为单调减区间
;
(2)
值域
:
先求
t
的范围
,
即函数
t=f
(x)
,x∈A
的值域
B,
再求函数
y=log
a
t,t∈B
的
值域
,
即为原函数的值域
.
【
题组训练
】
1.
已知
a= 4,b=log
4
5,c=0.5
0.4
,
则
(
)
A.a
lo
g
4
4=1,0<0.5
0.4
<0.5
0
=1,
所以
a0
且
a≠1)
的图象可能是
(
)
【
解析
】
选
D.
对于
A
项
,
对数函数过
(1,0)
点
,
但是幂函数不过
(0,1)
点
,
所以
A
项不满足要求
;
对于
B
项
,
由幂函数得
a>1,
由对数函数得
01,
所以
C
项不满足要求
;
对于
D
项
,
由幂函数与对数函数都可得
00,
得
x<2.
又函数
y=2-x
在
(-∞,2)
上单调递减
,
所以函数
f(x)=ln(2-x)
的单调减区间为
(-∞,2).
答案
:
(-∞,2)
