2019学年高一数学下学期第三次月考试题 新人教版新版

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文档介绍

2019学年高一数学下学期第三次月考试题 新人教版新版

‎2019第三次月考数学试题 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎2.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为(  )‎ A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n ‎4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(  )‎ A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312‎ ‎5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆 为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )‎ A.14斛 B.22斛 ‎ C.36斛 D.66斛 ‎7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )‎ A. B.‎ - 27 -‎ C. D.‎ ‎8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  ) ‎ A.(kπ﹣,kπ+),k∈z ‎ B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z ‎9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎10.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎12.(5分)设函数f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(  )‎ A.[) B.[) C.[) D.[)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=   .‎ - 27 -‎ ‎14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为   .‎ ‎15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为   .‎ ‎16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:‎ ‎17.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面 ABCD,BE=2DF,AE丄EC.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC ‎(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ - 27 -‎ ‎(xi﹣)2‎ ‎(wi﹣)2‎ ‎(xi﹣)(yi﹣)‎ ‎(wi﹣)(yi﹣)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=i,=‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.‎ ‎20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.‎ ‎(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)‎ - 27 -‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx ‎(i)当 a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;‎ ‎(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.‎ 选修4一4:坐标系与参数方程 ‎22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎ ‎ 选修4一5:不等式选讲 ‎23.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ - 27 -‎ 参考答案与试题解析 ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【分析】先化简复数,再求模即可.‎ ‎【解答】解:∵复数z满足=i,‎ ‎∴1+z=i﹣zi,‎ ‎∴z(1+i)=i﹣1,‎ ‎∴z==i,‎ ‎∴|z|=1,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可.‎ ‎【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°‎ ‎=sin20°cos10°+cos20°sin10°‎ ‎=sin30°‎ ‎=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为(  )‎ A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.‎ ‎【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n,‎ 故选:C.‎ - 27 -‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(  )‎ A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312‎ ‎【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知:同学3次测试满足X∽B(3,0.6),‎ 该同学通过测试的概率为=0.648.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定y0的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,‎ 所以﹣<y0<.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )‎ - 27 -‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.‎ ‎【解答】解:设圆锥的底面半径为r,则r=8,‎ 解得r=,‎ 故米堆的体积为××π×()2×5≈,‎ ‎∵1斛米的体积约为1.62立方,‎ ‎∴÷1.62≈22,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为,然后结合已知表示为的形式.‎ ‎【解答】解:由已知得到如图 由===;‎ 故选:A.‎ - 27 -‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量表示为.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  ) ‎ A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z ‎【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.‎ ‎【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).‎ 再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).‎ 由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得 2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.‎ ‎ ‎ - 27 -‎ ‎9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:第一次执行循环体后,S=,m=,n=1,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=2,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=3,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=6,不满足退出循环的条件;‎ 再次执行循环体后,S=,m=,n=7,满足退出循环的条件;‎ 故输出的n值为7,‎ 故选:C.‎ - 27 -‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎【分析】利用展开式的通项,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=,‎ 令r=2,则(x2+x)3的通项为=,‎ 令6﹣k=5,则k=1,‎ ‎∴(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.‎ ‎【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,‎ 截圆柱的平面过圆柱的轴线,‎ 该几何体是一个半球拼接半个圆柱,‎ ‎∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,‎ 又∵该几何体的表面积为16+20π,‎ ‎∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,‎ - 27 -‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)设函数f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(  )‎ A.[) B.[) C.[) D.[)‎ ‎【分析】设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于a的不等式组可得.‎ ‎【解答】解:设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,‎ 由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,‎ ‎∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),‎ ‎∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,‎ ‎∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,‎ 当x=0时,g(0)=﹣1,当x=1时,g(1)=e>0,‎ 直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,‎ 故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得≤a<1‎ 故选:D.‎ - 27 -‎ ‎【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= 1 .‎ ‎【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=xln(x+)为偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),‎ ‎∴(﹣x)ln(﹣x+)=xln(x+),‎ ‎∴﹣ln(﹣x+)=ln(x+),‎ ‎∴ln(﹣x+)+ln(x+)=0,‎ ‎∴ln(+x)(﹣x)=0,‎ ‎∴lna=0,‎ ‎∴a=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为 (x﹣)2+y2= .‎ ‎【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.‎ - 27 -‎ ‎【解答】解:一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.‎ 可知椭圆的右顶点坐标(4,0),上下顶点坐标(0,±2),‎ 设圆的圆心(a,0),则,解得a=,‎ 圆的半径为:,‎ 所求圆的方程为:(x﹣)2+y2=.‎ 故答案为:(x﹣)2+y2=.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为 3 .‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).‎ 设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,‎ 由图象知OA的斜率最大,‎ 由,解得,即A(1,3),‎ kOA==3,‎ - 27 -‎ 即的最大值为3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是 (﹣,+) .‎ ‎【分析】如图所示,延长BA,CD交于点E,设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,求出x+m=+,即可求出AB的取值范围.‎ ‎【解答】解:方法一:‎ 如图所示,延长BA,CD交于点E,则 在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,‎ ‎∴设AD=x,AE=x,DE=x,CD=m,‎ ‎∵BC=2,‎ ‎∴(x+m)sin15°=1,‎ ‎∴x+m=+,‎ ‎∴0<x<4,‎ 而AB=x+m﹣x=+﹣x,‎ ‎∴AB的取值范围是(﹣,+).‎ 故答案为:(﹣,+).‎ - 27 -‎ 方法二:‎ 如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,‎ 倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;‎ 当直线移动时,运用极限思想,‎ ‎①直线接近点C时,AB趋近最小,为﹣;‎ ‎②直线接近点E时,AB趋近最大值,为+;‎ 故答案为:(﹣,+).‎ ‎【点评】本题考查求AB的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:‎ ‎17.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ - 27 -‎ ‎【分析】(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)求出bn=,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,‎ 即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),‎ ‎∵an>0,∴an+1﹣an=2,‎ ‎∵a12+2a1=4a1+3,‎ ‎∴a1=﹣1(舍)或a1=3,‎ 则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:‎ ‎(Ⅱ)∵an=2n+1,‎ ‎∴bn===(﹣),‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.‎ ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面 ABCD,BE=2DF,AE丄EC.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC ‎(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到;‎ - 27 -‎ ‎(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G﹣xyz,求得A,E,F,C的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)连接BD,‎ 设BD∩AC=G,‎ 连接EG、EF、FG,‎ 在菱形ABCD中,‎ 不妨设BG=1,‎ 由∠ABC=120°,‎ 可得AG=GC=,‎ BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,‎ 可知AE=EC,又AE⊥EC,‎ 所以EG=,且EG⊥AC,‎ 在直角△EBG中,可得BE=,故DF=,‎ 在直角三角形FDG中,可得FG=,‎ 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,FD=,可得EF==,‎ 从而EG2+FG2=EF2,则EG⊥FG,‎ ‎(或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1,‎ 可得∠EGB+∠FGD=90°,则EG⊥FG)‎ AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC,‎ 由EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC;‎ ‎(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,‎ 建立空间直角坐标系G﹣xyz,由(Ⅰ)可得A(0,﹣,0),E(1,0,),‎ F(﹣1,0,),C(0,,0),‎ 即有=(1,,),=(﹣1,﹣,),‎ 故cos<,>===﹣.‎ - 27 -‎ 则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎(xi﹣)2‎ ‎(wi﹣)2‎ ‎(xi﹣)(yi﹣)‎ ‎(wi﹣)(yi﹣)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=i,=‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ - 27 -‎ ‎(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出,‎ ‎(Ⅱ)先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w,问题得以解决;‎ ‎(Ⅲ)(i)年宣传费x=49时,代入到回归方程,计算即可,‎ ‎(ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;‎ ‎(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于==68,‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6,‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68,‎ ‎(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,‎ ‎(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,‎ 当==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.‎ ‎【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>‎ - 27 -‎ ‎0)交于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.‎ ‎(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)‎ ‎【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y′=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.‎ ‎(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明.‎ ‎【解答】解:(I)联立,不妨取M,N,‎ 由曲线C:y=可得:y′=,‎ ‎∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:y﹣a=,化为.‎ 同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.‎ ‎(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明:‎ 设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.‎ 联立,化为x2﹣4kx﹣4a=0,‎ ‎∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a.‎ ‎∴k1+k2=+==.‎ 当b=﹣a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,‎ ‎∴∠OPM=∠OPN.‎ - 27 -‎ ‎∴点P(0,﹣a)符合条件.‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx ‎(i)当 a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;‎ ‎(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.‎ ‎【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.‎ ‎(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.‎ 当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;‎ 当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤﹣3或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调性极值即可得出.‎ ‎【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.‎ 设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,‎ ‎∴,解得,a=.‎ 因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;‎ ‎(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,‎ ‎∴函数h(x)=min { f(x),g(x)}<0,‎ 故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.‎ 当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,‎ ‎∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;‎ - 27 -‎ 若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;‎ 当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.‎ ‎①当a≤﹣3或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,‎ 而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,‎ 当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.‎ ‎②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=.‎ 若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.‎ 若=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.‎ 若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,‎ ‎∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.‎ 综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.‎ 当时,h(x)有一个零点;‎ 当a=或时,h(x)有两个零点;‎ 当时,函数h(x)有三个零点.‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ 选修4一1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.‎ ‎(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;‎ ‎(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.‎ - 27 -‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;‎ ‎(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,‎ 在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,‎ 连接OE,则∠OBE=∠OEB,‎ 又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,‎ ‎∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;‎ ‎(Ⅱ)设CE=1,AE=x,‎ 由已知得AB=2,BE=,‎ 由射影定理可得AE2=CE•BE,‎ ‎∴x2=,即x4+x2﹣12=0,‎ 解方程可得x=‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题.‎ ‎ ‎ 选修4一4:坐标系与参数方程 ‎23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2‎ - 27 -‎ ‎=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,‎ 故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:‎ ‎(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,‎ 化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.‎ ‎(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入 圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,‎ 可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,‎ 求得ρ1=2,ρ2=,‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,‎ ‎△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.‎ ‎【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ - 27 -‎ 选修4一5:不等式选讲 ‎24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,‎ 即①,或②,‎ 或③.‎ 解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.‎ 综上可得,原不等式的解集为(,2).‎ ‎(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,‎ 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),‎ B(2a+1,0),‎ 故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),‎ 由△ABC的面积大于6,‎ 可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.‎ 故要求的a的范围为(2,+∞).‎ - 27 -‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ - 27 -‎
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