2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ）‎ A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样 D. 简单随机抽样，系统抽样 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，对于个体比较多的总体，采用系统抽样，故选D ‎【考点】简单随机抽样 点评：本题考查简单随机抽样和系统抽样，对于同一总体采取的两种不同抽样方式，注意两者的相同点和不同点，得到的样本可能不同，但不管用什么抽样方式，每个个体被抽到的概率相等 ‎2．在一袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 至少有一个白球；至少有一个红球 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 ‎【答案】B ‎【解析】选项A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明两个全为白球，‎ 这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；‎ 选项B，“至少一个白球”发生时，“红，黑球各一个”不会发生，故B互斥，当然不对立；‎ 选项C，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；‎ 选项D，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．“点到两坐标轴距离相等”是“点在曲线上”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】点到两坐标轴距离相等，则点M的轨迹方程为： ，‎ 据此可得：“点到两坐标轴距离相等”是“点在曲线上”的必要不充分条件.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4．双曲线的焦距是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：双曲线中，‎ 则，焦距为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．执行如图所示的程序，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】依照题中的语句执行程序，‎ 数据初始化： ，‎ 第一次循环： ，此时不满足的值小于，继续执行循环语句，‎ 第二次循环： ，此时满足的值小于，应跳出循环程序，‎ 据此可得：输入的正整数的最小值为2.‎ 本题选择D选项.‎ ‎6．已知一组数据，4,2,5,3的平均数为，且、是方程的两根，则这组数据的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，可得，‎ 化简可得m=5n-14，①‎ 因为m，n是方程x2-4x+3=0的两根，‎ 所以m+n=4，②‎ 联立①②解得，‎ 所以.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．‎ ‎7．古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）‎ A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.‎ ‎【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.‎ ‎8．如图， 是平面的斜线段， 为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 一条直线 C. 椭圆 D. 两条平行直线 ‎【答案】C ‎【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，‎ 因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，‎ 分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，‎ 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．集合和，分别从集合， 中随机取一个数作为和，则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】从集合， 中随机取一个数作为和，共有种取法，‎ 方程即，它表示焦点落在轴上的椭圆，则： ，‎ 据此可得满足题意时应有： ，‎ 即满足题意的数对包括： ，‎ 其中横坐标表示的值，纵坐标表示的值，‎ 结合古典概型计算公式可得：‎ 方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎10．已知两定点， ，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，则，即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于.故选B．‎ ‎【考点】（1）曲线的轨迹方程；（2）圆的面积．‎ ‎【方法点晴】考查两点间距离公式及圆的性质及曲线的轨迹方程，数基础题型是训练基础知识的好题，可设点的坐标为，用平面内两点间的距离公式坐标表示、，代入等式，化简整理即得点的轨迹方程为，可得该曲线是以为圆心，为半径的圆，然后根据轨迹确定其面积为.‎ ‎11．已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于， 两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线的标准方程为，由题意知c=3,a2+b2=9，‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有： ，‎ 两式作差得： ，‎ 又AB的斜率是，‎ 所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得：a2=4,b2=5.‎ 所以双曲线的标准方程是，‎ 则双曲线的渐近线方程为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12．已知， 是椭圆： （）的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 连接PF1，OQ，‎ 由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=|PF1|，‎ 圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，‎ 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a−2b，‎ 又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，‎ 即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，‎ 即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，‎ 化为2a=3b,即b=a，‎ ‎，‎ 则 当且仅当,即a=1时, 取得最小值.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ 二、填空题 ‎13．高二某班有学生人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，‎ ‎∴样本组距为56÷4=14，‎ 则5+14=19，‎ 即样本中还有一个学生的编号为19.‎ ‎14．程序框图如图所示，若输出的，那么输入的为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算分段函数 的函数值，‎ 当x＜0时，y=x+3=0，∴x=-3满足要求，‎ 当x=0时，y=0，∴x=0满足要求，‎ 当x＞0时，y=x+5，∴x=-5，不满足要求，‎ 故输入的x的值为：-3或0.‎ ‎15．双曲线（， ）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为，‎ 据此有： ，‎ 则： .‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式e＝；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎16．有下列四种说法：‎ ‎①命题“”为假，则、至少一个为假；‎ ‎②命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数都不是单调函数”；‎ ‎③动点到点 与到点的距离之和为2，则点的轨迹是焦点在轴上的椭圆；‎ ‎④命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题是真命题．‎ 其中正确的有__________．（填写序号）‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】由真值表可知：“”为假，则、至少一个为假，说法①正确；‎ 命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数不都是单调函数”，说法②错误；‎ 动点到点 与到点的距离之和为2，则点的轨迹是以A,B为端点的直线，说法③错误；‎ 命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题：“若直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切”是假命题，有可能直线平行于双曲线的渐近线，说法④错误；‎ 综上可得四种说法中，正确的有①.‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足，其中； ：实数满足，且是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得：令（）, ,由题意可得，据此分类讨论可得的取值范围是．‎ 试题解析：‎ 令 （）,‎ ‎,‎ ‎∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴，且，即，且，‎ 则，‎ ‎∴或∴，‎ 故的取值范围是．‎ ‎18．某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）如果当地政府希望使左右的居民每月的用电量不超出标准，根据样本估计总体的思想，你认为月用电量标准应该定为多少合理？‎ ‎【答案】（1）（2）众数230，中位数224（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用频率分布直方图的面积为1列出方程，求解方程可得直方图中的值是．‎ ‎(2)由频率分布直方图中最高部分可得月平均用电量的众数是，利用中位数将频率分布直方图分割为面积相等的两部分可得月平均用电量的中位数是224．‎ ‎(3) 由频率分布直方图可看出，大约有的居民用电量在度以上， 的居民用电量在度以下，因此较合理．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由直方图的性质，可得，‎ 的，所以直方图中的值是．‎ ‎（2）月平均用电量的众数是．　‎ 因为，‎ 所以月平均用电量的中位数在内，‎ 设中位数为，由，得，‎ 所以月平均用电量的中位数是224．‎ ‎（3）由频率分布直方图可看出，‎ 月用电量在度以上的有，‎ 即大约有的居民用电量在度以上， 的居民用电量在度以下，因此较合理．‎ 点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；‎ 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎19．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．‎ 第30届伦敦 第29届北京 第28届雅典 第27届悉尼 第26届亚特兰大 中国 ‎38‎ ‎51‎ ‎32‎ ‎28‎ ‎16‎ 俄罗斯 ‎24‎ ‎23‎ ‎27‎ ‎32‎ ‎26‎ ‎（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；‎ ‎（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：‎ 时间（届）‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 金牌数之和（枚）‎ ‎16‎ ‎44‎ ‎76‎ ‎127‎ ‎165‎ 作出散点图如图：‎ 由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？‎ 附：对于一组数据， ，…， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．（2），金牌数之和238‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由茎叶图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．‎ ‎(2)有散点图结合回归方程系数公式可得回归方程为，利用回归方程的预测作用可得金牌数之和238.‎ 试题解析：‎ ‎（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：‎ 由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散．‎ ‎（2）因为， ， ， ，‎ 所以，‎ ‎ ，‎ 所以金牌数之和关于时间的线性回归方程为，‎ 当时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值，‎ 故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚．‎ ‎20．某港口船舶停靠的方案是先到先停．‎ ‎（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2,3，4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．‎ ‎（2）根据以往经验，甲船将于早上到达，乙船将于早上到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记， 都是之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足，有6次满足．‎ ‎【答案】（1）不公平（2）0.88‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用古典概型计算公式结合题意设甲胜为事件，乙胜为事件，计算可得甲胜的概率，乙胜的概率，则这种游戏规则不公平．‎ ‎(2) 应用随机模拟的方法，如果，则甲船先停靠，根据题意，100次试验有12次结果满足，则甲船先停靠的概率是．‎ 试题解析：‎ ‎（1）这种规则是不公平的；‎ 设甲胜为事件，乙胜为事件，基本事件总数为种，‎ 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个： ， ， ， ， ， ,,,,,,,，‎ ‎∴甲胜的概率，乙胜的概率，‎ ‎∴这种游戏规则不公平．‎ ‎（2）应用随机模拟的方法，如果，即，则甲船先停靠，‎ 根据题意，100次试验有12次结果满足，‎ 所以甲船先停靠的概率是．‎ ‎21．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，并且经过点．‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）直线： 与的左支有两个相异的公共点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意计算可得即， ， ，则双曲线的标准方程为．‎ ‎(2)联立直线与双曲线的方程，据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，双曲线的焦点坐标为， ，‎ 设双曲线的标准方程为（， ），‎ 则，即，‎ 又因为，所以，‎ 故双曲线的标准方程为．‎ ‎（2）由得，‎ 依题意 解得，即的取值范围是．‎ ‎22．已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于， 两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问： 轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）点的坐标为或 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得则椭圆的方程为；‎ ‎(2)很明显直线的斜率存在，利用弦长公式得到关于斜率k的方程，解方程可得的方程为．‎ ‎(3) 假设轴上存在点，使得，原问题等价于满足，据此整理计算可得点的坐标为或．‎ 试题解析：‎ 解：（1）由已知，点在椭圆上，‎ 因此解得 所以椭圆的方程为．　‎ ‎（2）依题意，直线的斜率必存在，设的方程为， ， ，‎ 则 ，‎ 故， ，‎ ‎∴ ，‎ 整理得，即，‎ ‎∴的方程为．‎ ‎（3）假设轴上存在点，使得，‎ ‎“存在点使得”等价于“存在点使得”‎ 即满足，‎ 因为，所以，‎ 直线的方程为，‎ 所以，即，‎ 因为点与点关于轴对称，所以．‎ 同理可得，‎ 因为， ， ，‎ 所以，‎ 所以或，‎ 故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎