2020版高中数学 第二章独立重复试验与二项分布

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文档介绍

2020版高中数学 第二章独立重复试验与二项分布

‎2.2.3 ‎独立重复试验与二项分布 学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.‎ 知识点一 独立重复试验 思考1 要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.其前提是什么?‎ 答案 条件相同.‎ 思考2 试验结果有哪些?‎ 答案 正面向上或反面向上,即事件发生或者不发生.‎ 思考3 各次试验的结果有无影响?‎ 答案 无,即各次试验相互独立.‎ 梳理 (1)定义:在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.‎ ‎(2)基本特征:‎ ‎①每次试验是在同样条件下进行.‎ ‎②每次试验都只有两种结果:发生与不发生.‎ ‎③各次试验之间相互独立.‎ ‎④每次试验,某事件发生的概率都是一样的.‎ 知识点二 二项分布 在体育课上,某同学做投篮训练,他连续投篮3次,每次投篮的命中率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件,用Bk表示仅投中k次这个事件.‎ 思考1 用Ai如何表示B1,并求P(B1).‎ 15‎ 答案 B1=(A12 3)∪(‎1A23)∪(1 ‎2A3),‎ 因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8,‎ 且A12 3,‎1A23,1 ‎2A3两两互斥,‎ 故P(B1)=0.8×0.22+0.8×0.22+0.8×0.22‎ ‎=3×0.8×0.22=0.096.‎ 思考2 试求P(B2)和P(B3).‎ 答案 P(B2)=3×0.2×0.82=0.384,‎ P(B3)=0.83=0.512.‎ 思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论?‎ 答案 P(Bk)=C0.8k0.23-k(k=0,1,2,3).‎ 梳理 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,‎ 则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.‎ 此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.‎ ‎1.有放回地抽样试验是独立重复试验.( √ )‎ ‎2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响.( √ )‎ ‎3.在n次独立重复试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同.( × )‎ ‎4.如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.( √ )‎ 类型一 独立重复试验的概率 例1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)‎ ‎(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;‎ ‎(2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.‎ 考点 独立重复试验的计算 题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,知射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P(1)=1-3=.‎ 15‎ ‎(2)记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B2,则P(A2)=C×2=,P(B2)=C×1×=,由于甲、乙射击相互独立,故P(A2B2)=×=.‎ 引申探究 ‎1.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.‎ 解 记“甲击中目标1次”为事件A3,“乙击中目标1次”为事件B3,则P(A3)=C××=,P(B3)=,‎ 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)=×=.‎ ‎2.在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.‎ 解 记“甲未击中目标”为事件A4,“乙击中2次”为事件B4,则P(A4)=C2=,P(B4)=C2=,所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)=×=.‎ 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤 ‎(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.‎ ‎(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.‎ ‎(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.‎ 跟踪训练1 某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):‎ ‎(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.‎ 考点 独立重复试验的计算 题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 解 (1)记“预报一次准确”为事件A,则P(A)=0.8,‎ ‎5次预报相当于5次独立重复试验.‎ ‎“恰有2次准确”的概率为 P=C×0.82×0.23=0.051 2≈0.05,‎ 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.‎ 其概率为P=C×(0.2)5+C×0.8×0.24=0.006 72.‎ 所以所求概率为1-P=1-0.006 72≈0.99.‎ 15‎ 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.‎ 类型二 二项分布 例2 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的.‎ ‎(1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率.‎ 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 (1)由题意,得随机变量X可能取值为0,1,2,3,‎ 则X~B.‎ 即P(X=0)=C03=,‎ P(X=1)=C12=,‎ P(X=2)=C21=,‎ P(X=3)=C3=.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,每次试验又是相互独立的,‎ 因此所求概率为P=C3×3×=.‎ 反思与感悟 (1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.‎ ‎(2)解决二项分布问题的两个关注点 ‎①对于公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能应用该公式.‎ ‎②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.‎ 15‎ 跟踪训练2 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.‎ 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 由题意可知X~B,‎ 所以P(X=k)=Ck·3-k,k=0,1,2,3,‎ 即P(X=0)=C×0×3=;‎ P(X=1)=C××2=;‎ P(X=2)=C×2×=;‎ P(X=3)=C×3=.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 类型三 二项分布的综合应用 例3 一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.‎ ‎(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;‎ ‎(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;‎ ‎(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.‎ 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (1)由ξ~B,则P(ξ=k)=Ck5-k,k=0,1,2,3,4,5.‎ 即P(ξ=0)=C×0×5=;‎ P(ξ=1)=C××4=;‎ 15‎ P(ξ=2)=C×2×3=;‎ P(ξ=3)=C×3×2=;‎ P(ξ=4)=C×4×=;‎ P(ξ=5)=C×5=.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(2)η的分布列为P(η=k)=P(前k个是绿灯,第k+1个是红灯)=k·,k=0,1,2,3,4,‎ 即P(η=0)=0×=;‎ P(η=1)=×=;‎ P(η=2)=2×=;‎ P(η=3)=3×=;‎ P(η=4)=4×=;‎ P(η=5)=P(5个均为绿灯)=5.‎ 故η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(3)所求概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)‎ ‎=1-5=.‎ 反思与感悟 对于概率问题的综合题,首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次,要判断事件是A+B 15‎ 还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别应用相加或相乘事件公式;最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.‎ 跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中3个红球和(n-3)个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N,有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,求p与n的值.‎ 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 由题设知,Cp2(1-p)2>.‎ ‎∵p(1-p)>0,‎ ‎∴不等式化为p(1-p)>,‎ 解得
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