高中数学选修2-2教案第三章 2_2(二)
2.2 最大值、最小值问题(二)
明目标、知重点
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路
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←
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
探究点一 面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得
S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.
当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 如图，
四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．
解 以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)．
设抛物线方程为y2＝2px.
∵点D在抛物线上，
∴22＝8p，解得p＝.
∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.
∴矩形游乐园的面积为
S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.
求导得S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得
3y2＋4y－4＝0，解得y＝或y＝－2(舍)．
当y∈时，S′>0，函数S为增函数；
当y∈时，S′<0，函数S为减函数．
∴当y＝时，S有最大值，得
|PQ|＝2＋y＝2＋＝，
|PN|＝4－y2＝4－2＝.
∴游乐园最大面积为Smax＝×＝(km2)，
即游乐园的两邻边分别为 km， km时，面积最大，最大面积为 km2.
探究点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0
0.
因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．
所以半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
半径为6 cm时，利润最大．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中30)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)．
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，
为32 000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．
反思与感悟 解答例3的过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解 (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(00)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(00；
当0.032 40，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
[呈重点、现规律]
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
一、基础过关
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (cm3)(00)，则L′＝2－(x>0)．
令L′＝0，得x＝±16，∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，
∴堆料场的长为＝32(米)．
7．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0，当10≤x≤15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
二、能力提升
8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
9.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．
依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12．为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率∈(0，t]，t为常数且t∈(0,2]．
(1)求y＝f(x)的表达式及定义域；
(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．
解 (1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，
当x＝时，y＝a3，即a3＝k·，
所以k＝8，所以f(x)＝8(a－x)x2.
因为0<≤t，所以函数的定义域是
{x|00，所以f(x)在(0，)上是增函数；当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在(，＋∞)上是减函数．所以x＝为极大值点．
当≥，即1≤t≤2时，ymax＝f()＝a3；当<，即03)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝(－r)．
由于l≥2r，因此03，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝ .
令 ＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，
令y′＝0，得r＝m.
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2，即3时，建造费用最小时r＝ 米．
