2020年高中数学第三章复数代数形式的乘除运算

2020年高中数学第三章复数代数形式的乘除运算

‎3.2.2‎‎ 复数代数形式的乘除运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．(2014·高考山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i ‎ C．3－4i D．3＋4i 解析：根据已知，得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.‎ 答案：D ‎2．(2014·高考湖南卷)满足＝i(i是虚数单位)的复数z＝(　　)‎ A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i 解析：式子＝i去分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，‎ 解得z＝＝＝＝－i，选B.‎ 答案：B ‎3．(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)‎ A．－2 B．－2i ‎ C．2 D．2i 解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝＋i(1－i)＝(－i＋1)＋(i＋1)＝2.‎ 答案：C ‎4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)‎ A．－1 024 B．1 024‎ C．0 D．1 023‎ 解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.‎ 答案：C ‎5．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i 5‎ C．－1＋i D．－1－i 解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.‎ 答案：D ‎6．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.‎ 解析：＝＝，因为是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．‎ 解析：－＝－＝－＝，其虚部为.‎ 答案： ‎8．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．‎ 解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.‎ 答案： ‎9．计算：‎ ‎(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；‎ ‎(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；‎ ‎(3)－.‎ 解析：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)‎ ‎＝1－i2＋(－1＋i)‎ ‎＝2－1＋i＝1＋i.‎ ‎(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝ ‎＝＝＋i.‎ ‎(3)－ ‎＝ 5‎ ‎＝＝＝2i.‎ ‎10．已知复数z＝.‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．‎ 解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.‎ ‎(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，‎ 所以解得 ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.‎ 答案：A ‎2．若z1，z2∈C，z12＋1z2是(　　)‎ A．纯虚数 B．实数 C．虚数 D．不能确定 解析：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝‎2ac＋2bd∈R.‎ 答案：B ‎3．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋2＝1，则sin2 θ＝________.‎ 解析：z2＋2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2‎ ‎＝2cos 2θ＝1⇒sin2 θ＝.‎ 答案： ‎4．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.‎ 解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.‎ 5‎ 答案：3‎ ‎5．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋yi＋2i＝x＋(2＋y)i.‎ 由于z＋2i是实数，则2＋y＝0，解得y＝－2，‎ ＝＝ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i，‎ 由于是实数，则(x－4)＝0，‎ 解得x＝4，∴z＝4－2i，‎ ‎∴(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2‎ ‎＝(12＋‎4a－a2)＋8(a－2)i，‎ 由(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得 解得2＜a＜6，‎ ‎∴实数a的取值范围是(2,6)．‎ ‎6．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.‎ ‎(1)求z2；‎ ‎(2)若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．‎ 解析：(1)z2＝· ‎＝·＝＝－＝－i.‎ ‎(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列．‎ ‎∴2B＝A＋C＝π－B，‎ ‎∴3B＝π，‎ ‎∴B＝，A＋C＝，‎ 又由(1)得z2＝－i，‎ ‎∴u＋z2＝cos A＋2icos2－i 5‎ ‎＝cos A＋i(2cos2 －1)‎ ‎＝cos A＋icos C，‎ ‎∴|u＋z2|2＝cos‎2A＋cos‎2C ‎＝＋ ‎＝1＋(cos ‎2A＋cos ‎2C)‎ ‎＝1＋(cos ‎2A＋cos 2(－A))‎ ‎＝1＋(cos ‎2A＋cos(－‎2A))‎ ‎＝1＋(cos ‎2A＋cos(π＋－‎2A))‎ ‎＝1＋(cos ‎2A－cos (－‎2A))‎ ‎＝1＋[cos ‎2A－(coscos ‎2A＋sinsin ‎2A)]‎ ‎＝1＋(cos ‎2A－sin ‎2A)‎ ‎＝1＋sin(－‎2A)‎ ‎＝1－sin(‎2A－)．‎ ‎∵A＋C＝，‎ ‎∴0＜A＜，‎ ‎∴－＜‎2A－＜，‎ ‎∴≤1－sin(‎2A－)＜，‎ ‎∴≤|u＋z2|2＜，‎ ‎∴≤|u＋z2|＜，‎ 即|u＋z2|的取值范围是[，)．‎ 5‎