2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

等比数列的概念与通项公式 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 若－1，x，－4成等比数列，则x的值为________。‎ ‎*2.（苏州检测）在等比数列{an}中，a1＜0，a‎2a4＋‎2a3a5＋a‎4a6＝36，则a3＋a5＝________。‎ ‎*3.（无锡检测）等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为________。‎ ‎*4.（泗阳检测）已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________。‎ ‎**5. 已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y＝x2－2x＋3的顶点为（b，c），则ad＝________。‎ ‎*6. （德州高二检测）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小角的正弦值为________。‎ ‎**7. 若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状。‎ ‎**8.（烟台高二检测）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋1。‎ ‎（1）求证{an－3}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项。‎ ‎**9.（杭州高二检测）设{an}是公差大于0的等差数列，bn＝（）an，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝。‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求等差数列{an}的通项an。‎ 3‎ ‎1. 2或－2 解析：x2＝（－1）×（－4）＝4，∴x＝2或x＝－2.‎ ‎2. －6 解析：由等比中项知：a‎2a4＝a，a‎4a6＝a，‎ ‎∴a＋‎2a3a5＋a＝36，∴（a3＋a5）2＝36。‎ 又∵等比数列{an}中，a1＜0，∴a3＜0，a5＜0，‎ ‎∴a3＋a5＜0，∴a3＋a5＝－6。‎ ‎3. 16 解析：∵等差数列{an}中，a7＝＝＝4，‎ ‎∴b7＝a7＝4，由等比中项，∴b6·b8＝b＝16。‎ ‎4. 解析：由－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，‎ 则3d＝－4－（－1）＝－3，∴d＝－1，‎ ‎∴a2－a1＝d＝－1。‎ 又－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，‎ ‎∴b＝（－1）×（－4）＝4。‎ 又易知b2＜0，∴b2＝－2，∴＝＝。‎ ‎5. 2 解析：易知抛物线y＝x2－2x＋3的顶点为（1,2），‎ ‎∴b＝1，c＝2，由等比数列的性质ad＝bc＝2。‎ ‎6. 解析：设直角三角形最小内角为α，则三内角由小到大为：α，90°－α，90°。‎ 由已知sin α，sin（90°－α），sin 90°成等比数列，‎ ‎∴sin2（90°－α）＝sin α·sin 90°，即cos2α＝sin α，‎ ‎∴sin2α＋sin α－1＝0，‎ ‎∴sin α＝或sin α＝（舍去）。‎ ‎7. 等边三角形 解析：∵角A、B、C成等差数列，‎ ‎∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝，‎ 又∵边a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2＝ac，由余弦定理 ‎∴cos B＝＝＝cos＝， ‎ ‎∴a2＋c2－ac＝ac，‎ ‎∴（a－c）2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴△ABC为等边三角形。‎ ‎8.（1）见解析 （2） an＝3－2（）n－1‎ ‎【解析】　（1）证明：∵an＋1＝an＋1，‎ 3‎ ‎∴an＋1－3＝an＋1－3＝ （an－3）。‎ ‎∵a1＝1，∴a1－3＝－2，∴an－3≠0，‎ ‎∴＝ （n∈N*），‎ ‎∴{an－3}是以－2为首项，以为公比的等比数列。‎ ‎（2）由（1）知an－3＝（－2）×（）n－1，‎ ‎∴an＝3－2（）n－1。‎ ‎9.（1）见解析 （2） an＝2n－3‎ 解析：（1）证明：设{an}的公差为d（d＞0），‎ ‎∵＝（）an＋1－an＝（）d为常数，‎ 且b1＝（）a1＞0，‎ ‎∴{bn}为以（）a1为首项，公比为（）d的等比数列。‎ ‎（2）∵b1b2b3＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴b2＝，‎ ‎∴‎ ‎∴或 ‎∵q＝（）d∈（0,1），‎ ‎∴b1＞b3，‎ ‎∴∴bn＝（）2n－3，‎ ‎∴an＝2n－3，（n∈N*）。‎ 3‎