【数学】2020届一轮复习北师大版平面与平面平行的性质作业

【数学】2020届一轮复习北师大版平面与平面平行的性质作业

‎2020届一轮复习北师大版 平面与平面平行的性质 作业 ‎(25分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是　(　　)‎ A.两两相互平行 B.两两相交于同一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 ‎【解析】选A.根据平面与平面平行的性质可知,所得四条直线两两相互平行.‎ ‎2.(2018·广州高一检测)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“若α∩β=m,n⊂γ,且______,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为正确命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ,可以填入的条件有　(　　)‎ A.①② B.②③‎ C.①③ D.①②③‎ ‎【解析】选C.①可以,由n⊂γ,n⊂β知β∩γ=n,又α∩β=m,α∥γ,所以m∥n;②m∥γ,n∥β,不可以,举出反例如下:使β∥γ,n⊂γ,m⊂β,则此时能有m∥γ,n∥β,但不一定有m∥n;③n∥β,m⊂γ可以,由n∥β,α∩β=m知,m,n无公共点,再由m⊂γ,n⊂γ,可得两直线平行.综上可知满足的条件有①和③.‎ ‎3.设平面α∥平面β,点A∈α,点B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C　(　　)‎ A.不共面 B.不论A,B如何移动,都共面 C.当且仅当A,B分别在两直线上移动时才共面 D.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 ‎【解析】选B.如图,不论点A,B如何移动,点C都共面,且所在平面与平面α、平面β平行.‎ ‎4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线　(　　)‎ A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条 ‎【解题指南】作辅助线,分别在平面ADD1A1与平面D1EF内找到两条互相平行的直线.‎ ‎【解析】选D.取D1F的中点M,DD1上靠近D1的四等分点N,连接EM,AN,MN,‎ 可得AE=MN,AE∥MN,所以四边形MNAE为平行四边形,‎ 所以AN∥平面D1EF,即平面ADD1A1中与AN平行的直线都与平面D1EF平行,这样的直线有无数条.‎ ‎5.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为　(　　)‎ A.2∶5 B.2∶7‎ C.4∶49 D.9∶25‎ ‎【解题指南】相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方.‎ ‎【解析】选C.因为平面α∥平面ABC,A′B′⊂α,AB⊂平面ABC,‎ 所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB=PA′∶PA.‎ 又PA′∶AA′=2∶5,所以A′B′∶AB=2∶7.‎ 同理B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,‎ 所以△A′B′C′∽△ABC,‎ 所以S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则MN=________AC.‎ ‎【解析】因为平面MNE∥平面ACB1,‎ 平面ABCD∩平面MNE=MN,‎ 平面ABCD∩平面ACB1=AC,‎ 所以MN∥AC.‎ 同理可证EM∥AB1,EN∥B1C.‎ 因为E是B1B的中点,‎ 所以M,N分别是AB,BC的中点,‎ 所以MN=AC.‎ 答案:‎ ‎7.(2018·汉中高一检测)夹在两个平面间的三条线段,它们平行且相等,则两平面的位置关系为________.‎ ‎【解析】平行或相交,如图:‎ 答案:平行或相交 ‎【误区警示】此题容易忽略相交这种情况.‎ ‎8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为________.‎ ‎【解析】因为平面α∥平面BC1E,‎ 平面α∩平面AA1B1B=A1F,‎ 平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,‎ 所以A1F∥BE.又A1E∥BF,‎ 所以四边形A1EBF是平行四边形,‎ 所以A1E=BF=2,‎ 所以AF=1.‎ 答案:1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.‎ 求证:EC∥A1D.　‎ ‎【证明】因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,‎ BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.‎ 因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,‎ BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.‎ 又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,‎ 所以平面BCE∥平面AA1D.‎ 又平面A1DCE∩平面BCE=EC,‎ 平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,‎ 所以EC∥A1D.‎ ‎【拓展延伸】线线、线面、面面平行转化的记忆口诀 空间之中两直线,平行相交和异面.‎ 线线平行同方向,等角定理进空间.‎ 判断线和面平行,面中找条平行线.‎ 已知线和面平行,过线作面找交线.‎ 要证面和面平行,面中找出两交线.‎ 线面平行若成立,面面平行不用看.‎ 已知面与面平行,线面平行是必然.‎ 若与第三面相交,则得两条平行线.‎ ‎10.如图,在三棱锥A-BCD中,P,Q分别在线段AB,AC上,AP=3PB,AQ=2QC,M是BD的中点.证明:DQ∥平面CPM.　‎ ‎【证明】取AB的中点E,连接ED,EQ,‎ 则=2=,所以EQ∥PC,‎ 又EQ⊄平面CPM,所以EQ∥平面CPM.‎ 又PM是△BDE的中位线,‎ 所以DE∥PM,‎ 又因为DE⊄平面CPM,PM⊂平面CPM,‎ 从而DE∥平面CPM.‎ 又DE∩EQ=E,‎ 所以平面DEQ∥平面CPM,‎ 因为DQ⊂平面DEQ,所以DQ∥平面CPM.‎ ‎(20分钟　40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积为　(　　)‎ A.2 B.4 C. D.5‎ ‎【解析】选C.如图,由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求MN=,CD1=2,MD1=NC=,‎ 所以此截面的面积S=×(+2)×‎ ‎=.‎ ‎2.(2018·绍兴高一检测)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CC1上一动点,过直线AQ的平面分别与棱BB1,DD1交于点P,R,则下列结论错误的是　(　　)‎ A.对于任意的点Q,都有AP∥QR B.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形 C.存在点Q,使得△ARP为等腰直角三角形 D.存在点Q,使得直线BC∥平面APQR ‎【解析】选C.因为AB∥CD,AA1∥DD1,所以平面ABB1A1∥平面CDD1C1,因为平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,所以AP∥QR,故A正确.‎ 因为四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,所以平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行,因为平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,‎ 所以PQ与AR不平行,故四边形APQR不可能为平行四边形,故B正确.‎ 延长CD至M,使得DM=CD,则四边形ABCM是矩形,所以BC∥AM.当R,Q,M三点共线时,AM⊂平面APQR,所以BC∥平面APQR,故D正确.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD∥BE,AC∥DG∥EF,且AB=DE,DG=2EF,则下列说法中,正确的是________(填序号).‎ ‎①BF∥平面ACGD;‎ ‎②CF∥平面ABED;‎ ‎③BC∥FG;‎ ‎④平面ABED∥平面CGF.‎ ‎【解析】①正确,取DG的中点为M,‎ 连接AM,FM,如图所示.‎ 则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,‎ 所以DE∥FM.‎ 因为平面ABC∥平面DEFG,‎ 平面ABC∩平面ADEB=AB,‎ 平面DEFG∩平面ADEB=DE,‎ 所以AB∥DE,所以AB∥FM.‎ 又AB=DE,所以AB=FM,‎ 所以四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.‎ 又BF⊄平面ACGD,‎ 所以BF∥平面ACGD.‎ ‎②错误.在四边形AEFC中,AC∥EF,但AC与EF不一定相等,所以CF有可能与AE相交,故CF与平面ABED不一定平行.‎ ‎③错误.由①的证明过程知BF∥AM,但是AM与CG未必平行(因为AC与MG不一定相等),所以BF与CG有可能为异面直线,从而BC与FG也可能异面.‎ ‎④错误.由FG与DE相交易知.‎ 答案:①‎ ‎4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=________.　‎ ‎【解题指南】先证明点H是DE的中点,再由平面AGF∥平面PEC推出GH∥PE,最后在等边三角形PAB中求PE,利用三角形中位线的性质求GH.‎ ‎【解析】因为ABCD是平行四边形,‎ 所以AB∥CD,AB=CD,‎ 因为E,F分别是AB,CD的中点,‎ 所以AE=FD,‎ 又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,‎ 所以△AEH≌△FDH,‎ 所以EH=DH.‎ 因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,‎ 所以GH∥PE,‎ 所以G是PD的中点,‎ 因为PA=PB=AB=2,‎ 所以PE=2×sin60°=.‎ 所以GH=PE=.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎5.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.　‎ ‎【证明】设FC的中点为I,连接GI,HI,‎ 在△CEF中,因为G是CE的中点,‎ 所以GI∥EF,又EF∥OB,所以GI∥OB,‎ 在△CFB中,因为H是FB的中点,‎ 所以HI∥BC,又HI∩GI=I,‎ 所以平面GHI∥平面ABC,‎ 因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.‎ ‎6.(2018·南通高一检测)如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,‎ 点D,D1分别为AC,A1C1上的点.‎ ‎(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.‎ ‎【解析】(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时=1.‎ 连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,‎ 所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1.‎ 又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,‎ 所以BC1∥平面AB1D1.‎ 所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,‎ 所以=,‎ 又由题(1)可知=,=1,‎ 所以=1,即=1.‎ ‎【补偿训练】如图,已知平面α∥平面β,线段PQ,PF,QC分别交平面α于A,B,C点,交平面β于D,F,E点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC的面积是72,试求△DEF的面积.(提示:S△DEF=·DF·DE·sin∠EDF,S△ABC=·AB·AC·sin∠CAB)‎ ‎【解析】因为平面α∥平面β,‎ 所以AB∥DF,AC∥DE,‎ 所以∠CAB=∠EDF.‎ 在△PDF中,AB∥DF,DF=·AB=AB,‎ 同理DE=AC.‎ S△DEF=·AB·AC·sin∠CAB ‎=S△ABC=96.‎