2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第1讲　不等关系与不等式

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第1讲　不等关系与不等式

第 1 讲　不等关系与不等式 　　　　　　　 一、知识梳理 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a－b > 0⇔a > b a－b＝0⇔a＝b（a，b ∈ R） a－b < 0⇔a < b . (2)作商法{a b > 1⇔a > b a b＝1⇔a＝b（a ∈ R，b > 0） a b < 1⇔a < b . 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ Error!⇒ac>bc 对乘性 Error!⇒acb＋d ⇒ 同向同正可乘 性 Error!⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b 同为正数 可开方性 a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2) 常用结论 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1 a<1 b； ②a<0b>0，0b d； ④0b>0，m>0，则 ①b ab－m a－m(b－m>0)； ②a b>a＋m b＋m；a b0)． 二、教材衍化 1．若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A. a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2， 但由 a2－b2>0⇒/ a－ b>0. 2． 1 5－2 ______ 1 6－ 5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2 ＝ 5＋2， 1 6－ 5 ＝ 6＋ 5，显然 5＋2< 6＋ 5，所以 1 5－2 < 1 6－ 5. 答案：< 3．若 0b，a＝b，a1，则 a>b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (5)a>b>0，c>d>0⇒a d>b c.(　　) (6)若 ab>0，则 a>b⇔1 a<1 b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错； (3)求范围乱用不等式的加法原理致错． 1．若 a>b>0，c0 B．a c－b d<0 C.a d>b c D．a dac， 又因为 cd>0，所以bd cd>ac cd，即b c>a d. 2．设 a，b∈R，则“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的________条件(填“充分不 必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若 a>2 且 b>1，则由不等式的同向可加性可得 a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向 同正可乘性可得 ab>2×1＝2.即“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的充分条件；反之，若 “a＋b>3 且 ab>2”，则“a>2 且 b>1”不一定成立，如 a＝6，b＝1 2.所以“a>2 且 b>1”是“a ＋b>3 且 ab>2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 3．若－π 2<α<β<π 2，则 α－β 的取值范围是________． 解析：由－π 2<α<π 2，－π 2<－β<π 2，α<β， 得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 　　　　　比较两个数(式)的大小(自主练透) 1． 已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是(　　) A．MN C．M＝N D．不确定 解析：选 B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， 所以 a1－1<0，a2－1<0. 所以(a1－1)(a2－1)>0， 即 M－N>0，所以 M>N. 2．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．AB 解析：选 B.由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B. 3．(一题多解)若 a＝ln 3 3 ，b＝ln 4 4 ，c＝ln 5 5 ，则(　　) A．ab； b c＝5ln 4 4ln 5＝log6251 024>1. 所以 b>c.即 ce 时，函数 f(x)是减少的． 因为 e<3<4<5， 所以 f(3)>f(4)>f(5)，即 cb 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.因为 c>d，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得 a(c－d)>b(c－ d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 ab 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件． 2．已知 a0，b 的符号不定，对于 b>a，两 边同时乘以正数 c，不等号方向不变． 3．若1 a<1 b<0，则下列不等式①a＋b|b|；③a0，所以 a＋b0>b>－a，cbc；②a d＋b c<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d －c)中，成立的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C.因为 a>0>b，c0， 所以 ad0>b>－a， 所以 a>－b>0， 因为 c－d>0， 所以 a(－c)>(－b)(－d)，所以 ac＋bd<0， 所以a d＋b c＝ac＋bd cd <0，故②正确． 因为 c－d， 因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)， a－c>b－d，故③正确． 因为 a>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)， 故④正确，故选 C. 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法 排除错误答案． [提醒]　利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．　 　　　　　　不等式性质的应用(典例迁移) 　已知－1a2b C. 1 ab2< 1 a2b D．b ab2，故 A 错；若 0a b，故 D 错；若 ab<0，即 a<0，b>0，则 a2b>ab2，故 B 错；故 C 正确．所以选 C. 2．(一题多解)已知 a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2<－ab B．|a|<|b| C.1 a>1 b D．(1 2 )a >(1 2 )b 解析：选 C.法一：当 a＝1，b＝－1 时，满足 a>0>b，此时 a2＝－ab，|a|＝|b|，(1 2 )a <(1 2 )b ，所以 A，B，D 不一定成立．因为 a>0>b，所以 b－a<0，ab<0，所以1 a－1 b＝b－a ab >0，所以1 a>1 b一定成立，故选 C. 法二：因为 a>0>b，所以1 a>0>1 b，所以1 a>1 b一定成立，故选 C. 3．(一题多解)若 m<0，n>0 且 m＋n<0，则下列不等式中成立的是　(　　) A．－n0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出1 a<1 b成立的有 (　　) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出1 a<1 b.由 a>0>b 得1 a>1 b，故 能推出1 a<1 b成立的条件有 3 个． 5．下列四个命题中，正确命题的个数为(　　) ①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，则c a>c b. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 C.易知①正确；②错误，如 3>2，－1>－3，而 3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③ 错误，如 3>1，－2>－3，而 3×(－2)<1×(－3)；④若 a>b>0，则1 a<1 b，当 c>0 时，c a2 且 y>2 B．x<2 且 y<2 C．02 且 0 0， x＋y > 0，则{x > 0， y > 0， 由 2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0， 得{x > 2， y > 2 或{0 < x < 2， 0 < y < 2， 又 xy<4，可得{0 < x < 2， 0 < y < 2. 7．若 a10， 即 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1 8．设 a>b，有下列不等式① a c2>b c2；②1 a<1 b；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有 ________．(填正确的序号) 解析：对于①，1 c2>0，故①成立； 对于②，a>0，b<0 时不成立； 对于③，取 a＝1，b＝－2 时不成立； 对于④，|c|≥0，故④成立． 答案：①④ 9．已知实数 a∈(1，3)，b∈(1 8， 1 4 )，则a b的取值范围是________． 解析：依题意可得 4<1 b<8，又 1y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤a y>b x这 五个式子中，恒成立的不等式的序号是________． 解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2. 符合题设条件 x>y，a>b. 因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5. 所以 a－x＝b－y，因此①不成立． 因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by，因此③不成立． 因为a y＝ 3 －3＝－1，b x＝ 2 －2＝－1， 所以a y＝b x，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④ [综合题组练] 1．若 6b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋1 b< b 2ab＋c>c＋a.由 a＋b>b＋c 可得 a>c；由 b＋c>c ＋a 可得 b>a，于是有 c b， a⊕b＝{b，a ≤ b， a，a > b. 若 m⊗n≥2，p⊕q≤2，则(　　) A．mn≥4 且 p＋q≤4 B．m＋n≥4 且 pq≤4 C．mn≤4 且 p＋q≥4 D．m＋n≤4 且 pq≤4 解析：选 A.结合定义及 m⊗n≥2 可得{m ≥ 2， m ≤ n 或{n ≥ 2， m > n， 即 n≥m≥2 或 m>n≥2，所以 mn≥4；结合定义及 p⊕q≤2，可得{p ≤ 2， p > q 或{q ≤ 2， p ≤ q， 即 qa>ab，则实数 b 的取值范围是________． 解析：因为 ab2>a>ab，所以 a≠0， 当 a>0 时，b2>1>b， 即{b2 > 1， b < 1， 解得 b<－1； 当 a<0 时，b2<1 1 无解． 综上可得 b<－1. 答案：(－∞，－1) 6 ． 已 知 △ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c 且 满 足 b ＋ c≤3a ， 则 c a的 取 值 范 围 为 ________． 解析：由已知及三角形的三边关系得{a < b＋c ≤ 3a， a＋b > c， a＋c > b， 所以{1 < b a＋c a ≤ 3， 1＋b a > c a， 1＋c a > b a， 所以{1 < b a＋c a ≤ 3， －1 < c a－b a < 1， 两式相加得，0<2×c a<4，所以c a的取值范围为(0，2)． 答案：(0，2)